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文档简介

第五节欧氏空间Rn一内积三Gram-Schmidt正交化方法二标准正交向量组本节主要从几何的角度来讨论向量〔组〕的性质一、内积的定义对n维向量空间Rn中任意两个向量定义了上述内积的向量空间称为欧氏空间定义其内积为1、内积的性质2、长度、夹角与单位向量的定义为向量的长度长度：称夹角：为向量的夹角余弦，为其夹角单位向量：长度为1的向量.非零向量的单位化：

正交几何中垂直概念的推广二、标准正交向量组1、定义：设

为欧氏空间中两个向量，若内积,则称与正交或互相垂直，记作注：

①零向量与任意向量正交.②若一个向量组中的向量两两正交，称该向量组为正交向量组。假设每个向量的长度为1，那么称该向量组为标准〔标准〕正交向量组。注：①②为标准正交向量组的充要条件是定理：若正交向量组中不含零向量，则线性无关。证明：对任意的考虑如下等式：等式两端与作内积，且故有：注：①Rn中不含零向量的正交组最多还有n个向量②假设正交组含有r〔r<n〕个向量，可以将其扩充为含n个非零向量的正交组例：设为Rn中m（m<n）个非零正交向量，则存在非零向量X，使X与均正交提示：，进一步可得故A的列向量组线性相关，即存在非零X满足满足标准正交基：三、Gram-Schmidt正交化方法设1,2,…,m是一组线性无关的向量，利用这组向量可构造出正交向量组。1、正交化(1)令1=1；(2)求2=211使0=(2,1)=(211,1)

=(2,1)1(1,1).得1=(2,1)/(1,1),

(3)

求3=31122,使=(3,1)1(1,1)+2(2,1)

0=(3,1)=(31122,1)=(3,2)1(1,2)2(2,2)0=(3,2)=(31122,2)得(4)类似地，得：(i=1,2,…,m)1,2,…,m

是一组正交向量组。2、单位化：则1,2,…,m

是一组标准正交向量组。取例：证明1=(1,2,1)T,2=(1,3,1)T,3=(4,1,0)T,为R3的一组基并用施密特正交化方法构造R3的一组标准正交基。解：那么r(A)=3.从而1,2,3线性无关,构成R3的一组基.令1=1=(1,2,1)

T,(1)正交化1=(1,2,1)

T,2=(1,3,1)

T,3=(4,1,0)

T,1=(1,2,1)

T,

3=(2,0,2)

T.(2)单位化则1,2,3

是一组标准正

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