2023年四川省三台高考数学全真模拟密押卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设点A,B,C不共线，则"（诟是而|=|而卜，（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

2.记集合A={（x,y）,+/<16}和集合B={（x,y）\x+y<4,x>0,y>0}表示的平面区域分别是Q和5，若在区

域5内任取一点，则该点落在区域。2的概率为（）

1117T-2

A.—B.-C.--D.----

4〃712万4〃

3.设加，〃是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若a1/3,mua,nu0,则

B.若根ua,则/”〃〃

C.若aua,〃u力，则a_L£

D.若〃?_La,mlIn,nll/3,则aJ■分

4.已知集合人=（目言<0，，8={-1,0,1},则ACI8等于（）

A.{^-1<X<1}B.{-1,0,1}C.{-1,0}D.{0,1}

5.已知抛物线V=4x的焦点为尸，抛物线上任意一点P,且轴交y轴于点。，贝！I而•丽的最小值为（）

11

A.--B.--C.-ID.1

42

|logx|,x>0

6.已知函数/（%）=I2：ocC，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合则“函

X2+2X+2,X<0

数歹（x）=/（x）-做xe。）有两个零点，，是，，%＞；”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知数列｛4｝是公差为"3工。）的等差数列，且4，%，纥成等比数列，则，=（）

A.4B.3C.2D.1

vrcq

8.函数/（幻=守仁X在一彳TC,刀上的图象大致为（）

2+222

9.函数/（x）=cos2x（xw[-肛2句）的图象与函数g（x）=sinx的图象的交点横坐标的和为（）

M

11.设复数二满足二=1+3贝！|z=()

z

11.11.11.11.

A.—+—lB.——+—zC.--------1D.---------1

22222222

v+1

12.若点Gj池于由曲线,\=8-2|+/与*=3围成的封闭区域内(包括边界)，则0的取值范围是()

x-2

A.[-3,1]B.[-3,5]C.(-oo,-3]U[5,+oo)D・(-oo,-3]^[1,+oo)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数/(x)=cos2x的最小正周期是,单调递增区间是.

14.已知尸为抛物线C：好=打的焦点，尸为C上一点，M(-4,3),则APMF周长的最小值是.

15.在区间[-6,2]内任意取一个数%,则.%恰好为非负数的概率是.

16.设函数f(x)=-3/+6x在区间口,加上的值域是[-9,3],则方一a的取值范围是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=(x—a)/nx(aeR),它的导函数为/'(x).

(1)当aM时，求/、'(力的零点；

(2)当a=0时，证明：f(x)<ex+cosx-l.

18.(12分)在如图所示的多面体中，四边形43EG是矩形，梯形。GEE为直角梯形，平面OGEE_L平面的EG,

且OGLGE,DF//GE,AB=2AG=2DG=2DF=2.

(1)求证：FG上平面BEF.

(2)求二面角A-M-E的大小.

19.(12分)某公司欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格))'(单位:万元)是每日产量“单

32尤2

位:吨)的函数：y=~-lnx^x>1).

(1)求当日产量为3吨时的边际成本(即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数)；

(2)记每日生产平均成本2=愣,求证：加<16；

X

（3）若财团每日注入资金可按数列%=「一（单位:亿元）递减，连续注入60天，求证:这60天的总投入资金大于

-1

历11亿元.

20.（12分）在①。=2,②a=b=2,③匕=c=2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AAZ?。的面积

的值（或最大值）.已知AABC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,三边。，b,c与面积S满足关系式:

4S=b2+c2-a2,且_____________,求△ABC的面积的值（或最大值）.

x-2+Icosa

21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为〈汽.（a为参数）.以平面直角坐标系的原

y-2sma

点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为°sin8=6.

（1）求曲线G的极坐标方程；

（2）设G和G交点的交点为A8,求A4O3的面积.

22.（10分）设X,y,ZGR,z（x+2y）=m.

（1）若尤2+2V+3z2的最小值为4,求的值；

（2）若X?+4）、+'z221,证明：/篦〈一1或根21.

2

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.

【详解】

由于点A,B,C不共线，贝!|

（Afi+AC）±fiC^（A6+^C）-fiC=0<»（AB+AC）-（AC-Ae）=AC2-AB2=0。/?=府

府卜时卜；

故"(而+衣)，方”是“I词=I码”的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.

2.C

【解析】

据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求M落在区域内的概率，只要求A、3所表示区域的面积，然后代入

区域的面积

概率公式2=计算即可得答案.

区域R的面积

【详解】

根据题意可得集合A={(x,y)|/+16)所表示的区域即为如图所表示:

的圆及内部的平面区域，面积为16%,

集合3={(x,y)|x+y-4,,0,%..0,%。}表示的平面区域即为图中的RtAAOB,5凶理=gx4x4=8,

Q1

根据几何概率的计算公式可得2=3=4，

16%2万

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型.解决本题的关键是要准确求出两区域的面积.

3.D

【解析】

试题分析：e,卮/q二a〃||£,二。J■万，故选D.

考点：点线面的位置关系.

4.C

【解析】

先化简集合A,再与集合8求交集.

【详解】

因为A中工(°

x\-2<x<l],5={-1,0,1),

所以AcB={-l,0}.

故选：C

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.

5.A

【解析】

设点P,则点。(0,y),尸(1,0),利用向量数量积的坐标运算可得22•而=高(〉2-2)2—利用二次函

数的性质可得最值.

【详解】

解：设点P,则点。(0,y),尸(1,0),

：.~PQ=-4,0,PF

(y2

l-拳-y

:.PQPF=IU4,oJ\

716

当y2=2时，丽.并取最小值，最小值为-L.

4

故选：A.

【点睛】

本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题.

6.A

【解析】

作出函数f(x)的图象，得到D=(2,4],把函数F(x)=f(x)-kx(xeD)有零点转化为y=kx与y=f(x)在(2,

4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得k的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断.

【详解】

“、|logx|,x>0

作出函数f(x)=J9八的图象如图，

''x'+2x+2,x<0

由图可知，D=(2,4],

函数F(x)=f(x)-kx(xGD)有2个零点，即f(x)=kx有两个不同的根,

也就是y=kx与y=f(x)在(2,4]上有2个交点，贝!|k的最小值为1;

设过原点的直线与y=10g2X的切点为(x()』Og2Xo),斜率为一jl，

xrtiri，

x

则切线方程为y-iog2=--x0),

x0ln2

把(0,0)代入，可得—log,Xo=—」，即x0=e,.•.切线斜率为工，

m2eln2

(11、

Jk的取值范围是―5,

12eln2J

函数F(x)=f(x)-kx(x€D)有两个零点”是“k>g”的充分不必要条件,

故选A.

【点睛】

本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上

某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题.

7.A

【解析】

根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.

【详解】

由4，%，4成等比数列得d=。「。6,即(q+2d)2=q(q+5d),已知“工0,解得号=4.

故选：A.

【点睛】

本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.

8.C

【解析】

根据函数的奇偶性及函数在0<x<~~时的符号，即可求解.

【详解】

rCOSX

由F（-%）=FF=-/«可知函数为奇函数・

2+2

所以函数图象关于原点对称，排除选项A,B；

冗

当0cxe工时，cosx>0,

2

.•./。）=乎巴>0,排除选项O,

2+2

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题.

9.B

【解析】

根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.

【详解】

令sinx=cos2x,<sinx=l-2sin2x>所以sinx=-l或sinx=/.又xw[-»,2句，所以》=一,或》=号或

%=看或%=K，所以函数/'（x）=cos2x（xe[—肛2句）的图象与函数g（x）=sinx的图象交点的横坐标的和

TC3兀TC5TC-

s=------1----1---1---=2"，故选B.

2266

【点睛】

本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.

10.A

【解析】

11

由g）=J7>mE除选项。;彳_夕=一：7<°排除选项G由函数/G）有无数个零点，排除选项/3,从而可得结果.

【详解】

由/3=：7>0,可排除选项八，,、二可排除选项G由心）=0可得兀x=尿七=*乙，即函数/tv）有无数

、2）MI）=-e<0

个零点，可排除选项6,故选A.

【点睛】

本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特

点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、

单调性、奇偶性、特殊点以及10+,》-0\-+84一」时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一

一排除.

11.D

【解析】

根据复数运算，即可容易求得结果.

【详解】

z3_-z(l-Q11.

Z-T+7-(l+z)(l-z)-2

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，属基础题.

12.D

【解析】

V+J

画出曲线,、・=ly-2|+/与x=5围成的封闭区域，匕」表示封闭区域内的点位2和定点2-〃连线的斜率，然后结合图形

x-2

求解可得所求范围.

【详解】

画出曲线.、•=|》-2|+/与.\”3围成的封闭区域，如图阴影部分所示.

由题意得点A,B的坐标分别为

.12-(-1)

.•%=於=/，%=不-=-3，

••kN1或kW-39

y+/

I.——的取值范围为(-8,-3]U[l+8).

x-2t

故选D.

【点睛】

解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把」y4-7看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲

x-2

线所围成的封闭区域.考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.n[k7r+—,k左+万],keZ

2

【解析】

化简函数的解析式，利用余弦函数的图象和性质求解即可.

【详解】

函数/(jOnCOS:Xn/cOSZx+g,

•••最小正周期T===万，

2

令2攵4+悬必¥2%万+2万，keZ,可得攵万+^效!k%乃+万，keZ,

TT

所以单调递增区间是伙乃+],公■+%],k0z.

7T

故答案为：兀，[k"；,k7Z+7t],keZ.

【点睛】

本题主要考查了二倍角的公式的应用，余弦函数的图象与性质，属于中档题.

14.5+Vn

【解析】

△PMf的周长最小，即求IP用I+IPEI最小，过P做抛物线准线的垂线，垂足为。，转化为求IPMI+IPQI最小,

数形结合即可求解.

【详解】

如图，尸为抛物线C：/=8y的焦点，尸为C上一点，M(-4,3),

抛物线C：好=法的焦点为尸(0,2),准线方程为y=-2.

过p作准线的垂线，垂足为Q,则有IPRHPQI

\PM\+\PF\=\PM\+\PQ\>\MQ\=5,

当且仅当例,P,Q三点共线时，等号成立，

所以APMF的周长最小值为5+7（-4）2+（3-2）2=5+717.

故答案为：5+V17.

本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合与数学转化思想方法，属于中档题.

1

15.-

4

【解析】

先分析非负数对应的区间长度，然后根据几何概型中的长度模型，即可求解出“与恰好为非负数”的概率.

【详解】

当毛是非负数时，xoe[O,2],区间长度是2-0=2,

又因为[<2]对应的区间长度是2-（一6）=8,

所以“X。恰好为非负数”的概率是P=I=；.

o4

故答案为：

4

【点睛】

本题考查几何概型中的长度模型，难度较易.解答问题的关键是能判断出目标事件对应的区间长度.

16.[2,4|.

【解析】

/（%）=-3/+6%配方求出顶点，作出图像，求出/。）=-9对应的自变量，结合函数图像，即可求解.

【详解】

/(x)=-3x2+6x=-3(x-1)2+3,顶点为(1,3)

因为函数的值域是[-9,3],

令一3》2+6工=-9，可得％=-1或x=3.

又因为函数f\x)=-3x2+6x图象的对称轴为x=1,

且/⑴=3,所以b—a的取值范围为⑵4].

故答案为:[2,4].

【点睛】

本题考查函数值域，考查数形结合思想，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)当a=l时，求函数的导数/'(%),判断导函数的单调性，计算/'(1)=仇1+1-1=0即为导函数的零点;

⑵当a=()时，分类讨论x的范围，可令新函数〃(x)=e'+cosx-x/nx-l,计算新函数的最值可证明

/(x)<ex+cosx—1.

【详解】

(1)”力的定义域为(0，+8)

当a=4时，/(x)=(x-l)/nx,f'[x)=lnx+\--,

X

易知广(%)=加+1-，为(。，+8)上的增函数，

又/⑴=/〃1+1-1=0,

所以k1是/(X)的唯一零点；

(2)证明：当a=0时，/(x)=x/nx,

①若OVxW1,则ex+cosx-1>O»xlnx<0

所以/(x)<ex+cosx-1成立，

②若x>l,设h(x)=ex+cosx—xlnx—1,则(x)=e*—sinx—Inx—1,

令x)=〃'(x),则加(x)=e*-工—cosx,

因为x>l,所以戒(x)>e—1—E>0,

从而加(x)在(1，+8)上单调递增，

所以w(x)>m(1)=e-5ml—1>0,

即m(x)=〃(x)X),〃(x)在(1，+°°)上单调递增；

所以/z(x)>/z(l)=e+cvAvl-lX),即xlnx<ex+cosx-1>

故(x)<e*+cosx-1.

【点睛】

本题主要考查导数法研究函数的单调性，单调性，零点的求法.注意分类讨论和构造新函数求函数的最值的应用.

18.(1)见解析；(2)y

【解析】

(1)根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明BE_LFG；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理,可证明FE1FG,

进而由线面垂直的判定定理证明FG工平面BEF.

(2)建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面AFB和平面由的法向量，由空间向量法求得两个平面

夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角A—M—E的大小.

【详解】

(1)证明：•.•平面DGM_L平面ABEG,且BELGE,

ABE1平面DGEF,

：.BELFG,

由题意可得FG=FE=y/2,

:.FG2+FE2=GE1，

VFE1FG,且FEcBE=E,

尸G_L平面BEE.

(2)如图所示,建立空间直角坐标系，则4(1,0,0),8(1,2,0),七(0,2,()),-0,1,1),丽=(1,-1,-1),而=(1』,一1),

丽=(0,1,-1).

设平面AFB的法向量是〃=(F，y,zJ,

FA-n=0WZ]=0玉=4

则__n=4

FB-n=0M+y—Z]=0凹=。'

令%=1,n=(l,0,l),

由(1)可知平面EEB的法向量是送=砺=(0,1,1),

n-m1_1

:.cos<n,m>-

72x72~2

由图可知，二面角A—BF—E为钝二面角，所以二面角A-M-E的大小为丁.

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.

19.(1)12-3103;(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】

3?2

(1)求得函数)，=¥\/Y〃x(x〉l)的导函数，由此求得求当日产量为3吨时的边际成本.

(2)将所要证明不等式转化为证明21nx—x+：<0,构造函数/?(x)=21nx—x+J,利用导数证得/z(x)<0,由

此证得不等式成立.

。1。1\1(01\

(3)利用⑵的结论，判断出册=="-一卢7>-ln,由此结合对数运算，证得560>lnll.

4/1-1412〃-12/1+1y2\2n-\J

【详解】

3?r2

(1)因为y=^^lnx,(x>l)

X—1

._32x64%lnx

所以，二「一百『

当x=3时，y|J=3=12-31n3

(2)要证上<16,

X

X2-111

只需证21nx<二--=即证21nx-x+—v0,

XXX

设〃(x)=21nx-x+L

贝心)=一丝1_<0

所以妆x）在（1,例）上单调递减,

所以〃(x)〈〃⑴=0

所以工<16,即机<16；

X

2n_1(2〃+12"-1]

（3）因为为4〃2-1—42〃-12n+lJ

又由（2）知，当x>l时，x-->2\nx

x

2〃+12n—l…f2n+l

所以----->21n-----

2n-\2几+112〃—1

所以%>|ln2〃+1]

2〃-1J

所以Seo>g（ln3+ln|+-+lnj^）=glnl21=lnll

【点睛】

本小题主要考查导数的计算，考查利用导数证明不等式，考查放缩法证明数列不等式，属于难题.

20.见解析

【解析】

若选择①，结合三角形的面积公式，^4S=4x^-bcsinA=b2+c2-a2,化简得到sinA="一十'、=cosA,则

22hc

tanA=l,又0°<A<180。，从而得到A=45。，

,222

将a=2代入一一'「=cosA,得〃+c2=j2c+4.

2bc

又+4=〃+/22Z?c,Z?c<44-2\/2>当且仅当。=c=j4+2>/5时等号成立・

S=—fccsinA<—x(4+2\/2)x-42+1,

故AABC的面积的最大值为a+1，此时h=c="+2&.

若选择②，a=b=2,结合三角形的面积公式,^4S=4x-hcsinA=h2+c2-a2,化简得到sinA==cosA,

2