高数常用公式手册

高等数学复习公式常用高数公式1、乘法与因式分解公式2、3、三角不等式 2、3、三角不等式 口ar3一元二次方程十方工十c=0的解4、某些数列的前n项和5、二项式展开公式6、基本求导公式7、基本积分公式8、一些初等函数两个重要极限9、三角函数公式正余弦定理10、莱布尼兹公式11、中值定理12、空间解析几何和向量代数13、多元函数微分法及应用14、多元函数的极值15、级数16、微分方程的相关概念1、乘法与因式分解公式——=(口—5)(0+8)1.11.2a*1.2a*土肥=（口土刃（口?干就十5力1.38为正整数）1.38为正整数）值为偶数）（口_耳（”_1十"一%十炉一&十…十就十$R_1）（口十十口〜2_乂吁力2十…十就吁14an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2—L-abn-2+bn-1)(n为奇数)2、三角不等式2.1…印I十同2.2"W十出24~\a\<a<同团三方任一方三反三b2.6第1页共9页

高等数学复习公式3、一元二次方程的解a=’十打工十c=03、一元二次方程的解3.2（韦达定理）根与系数的关系：b e£i+w±=——$ =1工±=—a af>0万桂白注尹一天以：三，三判机式，产—如^=口七程有相茸二买不.、qj方程右共靶复婪艰,4、某些数列的前n项和1十2十"…十『.丁）1十3+5十,,,十（2品-1）=砧亡4.22十4十6十…十（2%）=界（外十I）4.44十」十3之十…十然=」/+1+2"+1）4.5V十/十5*十…十（2汴-1）之=.同：—D色Gi3In3।q3। , 3n工+I）*4,0 1+£十J+,,,十四= 4.7F十竽十5号十一十（2"一1『=盯】2解£—1）4.74,3二2十2・3十…十酒汴十。=汴-十，汴+2）5、二项式展开公式5.1g十旷=/十仃/一8十里/U十一妙十上臀一浜十…十十弛匚号B型2b一审十十y第2页共9页高等数学复习公式6、基本求导公式:(C)(C)'=0(C为常数)(Xa)'=axa-1(a为实数)(cotx)，=-csc2x=- -sin2x(secx)'=secx-tanx(cscx)'=-cscx-cotx(ax)'=a(ax)'=axIna (ex)=ex(logx)'=-1-(Inx)'="axIna x(sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx(arcsin(arccosx)，=-(arctan11-x2x)'=-1+x2(tanx)(tanx)'=sec2xcos2x(arccotx)'=- ■-1+x27、基本积分公式J0dx=Cxa+1Jxadx=0+1+C(aw-7、基本积分公式J0dx=Cxa+1Jxadx=0+1+C(aw-1)J—dx=In|x|+CxJexdx=ex+CJsecxdx=1nbecx+tanxl+CJcscxdx=Inlcscx-cotxl+Cdx =arctanx+C1+x2

dx%12-

dxJaxdx=生-+C1nacos2x

dx=arcsinx+Cx2-=Jsec2xdx=tanx+C=Jcsc2xdx=-cotx+Ccosxdx=sinx+Csin2xsecx-tanxdx=secx+Csinxdx=-cosx+Ccscx-cotxdx=-cscx+C8、一些初等函数：两个重要极限:双曲余弦：chx=十「sinx1lim =1xf0xlim(1+1)x=e=2.718281828459045...xf8 xshxex—e-x双曲正切:thx= = chxex+e-xarshx=ln(x+%x2+1)Iarchx=±ln(x+--.x2-1)11+xarthx=In 21-x9、三角函数公式:第3页共9页■和差角公式:■和差化积公式:高等数学复习公式sin(a±P)=sinacosP±cosasinPcos(a±P)=cosacosP从sinasinPsina+sinP=2sintan(a±P■和差角公式:■和差化积公式:高等数学复习公式sin(a±P)=sinacosP±cosasinPcos(a±P)=cosacosP从sinasinPsina+sinP=2sintan(a±P)=tana±tanPsina-sinP=2cosa+P a-P cos 2 2a+P.a-P sin cot(a±P)=1htana-tanP

cota•cotPh1

cotP±cotacosa+cosP=2coscosa-cosP=2sin22

a+P a-P， cos 2 2a+Pa-P

sin ■倍角公式:sin2a=2sinacosacos2a=2cos2a-1=1-2sin2a=cos2a-sin2asin3a=3sina-4sin3acot2acot2a-1cos3a=4cos3a-3cosatan2a2cota2tanac 3tana-tan3atan3a= 1-3tan2a■半角公式:sina=±

2atan—21-tan2a.'1一cosaV2acos—2,11+cosa%±1-cosa1+cosa1一cosasinasinab1+cosaa

cot =±.I.2i.1+cosa1-cosa1+cosasinasina1-cosa.正弦定理：sinAsinBsinC=2R- c2=a2+b2-2abcosC■余弦定理：arctanx=--arccotx

22!-・反三角函数性质：arcsinx=2-x10、高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式(UV)(n)=»CkU(n-k)V(k)nk=0.n(n-1) n(n-1)A(n-k+1) A=u(n)v+nu(n-1)V+ u(n-2)V+A+ U(n-k)V(k)+A+UV(n)11、中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f«)(b-a)柯西中值定理:f(b)-f(a)=岑I)F(b)-F(a)F'(|)当^x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。12、空间解析几何和向量代数:第4页共9页

高等数学复习公式空间2点的距离：d=M1M\=\(x2—高等数学复习公式空间2点的距离：d=M1M\=\(x2—X1)2+(y2—yJ+(z2-zj向量在轴上的投影:PrjAB=AB-cosp"是AB与u轴的夹角。B,B BBPrj(a+a)=Prja+PrjaBbu=MWos。=ab+ab+ab,是一个数量,XXyy两向量之间的夹角:cos。=「zzab+ab+abaXbXjaybyazbz线速度：B=Wxu向量的混合积：［aabcu=(auxb)-cu=aybycyazbzcz=战b\'ICucosa,a为锐角时，代表平行六面体的体积。平面的方程：1、点法式：A(X-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,其中B={A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D=03、截距世方程:X+y+-=1abc平面外任意一点到该平面的距离：d=A0+By°、0C。+DA2+B2+C2x=x+mt空间直线的方程:^X0=y_y0=z0=t,其中B={m,n,〃};参数方程fy=y+ntmnp 0z=z+pt

0二次曲面：1、椭球面：工++左=1a2b2c22、抛物面4+y2-=z(p,q同号)2p2q3、双曲面：单叶双曲面声+.-三=1a2b2c2双叶双曲面兰-£+z2=(马鞍面)a2b2c213、多元函数微分法及应用第5页共9页高等数学复习公式全微分：dz=5zdx+*dyTOC\o"1-5"\h\z5x 5y,迦 迦 辿，du= dx+ dy+dz5x 0y 5z全微分的近似计算：Mxdz=f(x,y)Ax+f(x,y)Ay多元复合函数的求导法:z=f[u(t),v(t)]dz d.zdudzdvdt5u5t 5v5t5z 5z5u 5zdv—=—•一+—•一5x 5u5x 5v5x当u=u(x,y),v=v(x,y)时，,@u，、也u，

du=dx+dy5x 5y隐函数的求导公式:dx+"dy

5y亚=F一x,也5F5Fdy=一(——)+一(一r)-dxFydx25x Fy5y Fydx金—F金——F一5xx,F5yF隐函数F(x,y)=0,隐函数F(x,y,z)=0,zz隐函数方程组d5(F,G)

0(u,v)dFdudGdudF

dv

dG

dvFuGuFvGv5u_15(F,G)dv=15(F,G)5xJ5(x,v)5xJ5(u,x)5u15(F,G)生=15(F,G)5yJ5(y,v)5yJ5(u,y)微分法在几何上的应用:x=甲(t))w'(t)①’(t)空间曲线《y=v(t)在点M(x)w'(t)①’(t)z=®(t)在点M处的法平面方程：①’(t)(x-x)+v'(t)(在点M处的法平面方程：①’(t)(x-x)+v'(t)(y-y)+①'(t)(z-若空间曲线方程为：4FyGyFzGz0FzGzz0)=0FxGxFxGxFyGy曲面F(x,y,z)=0上一点M(x,y,z)，则:1、B0 00过此点的法向量：n={F(x0,y0,z0),F(x0,y0,z0),F(x0,y02、过此点的切平面方程：F(x,y,z)(x一x)+F(x,y,z)(y一y)+F(x,y,z)(z一z)=03、过此点的法线方程:x000 0x—x() =y—y0x0000 0z一z

0F(x0,y0,z0)14、多元函数的极值及其求法:设fx(设fx(x0，y0)=fy(x0，y0)=0令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=CAC-B2<AC-B2<0时，AC—B2=0时，[A<0,(x,y)为极大值A>0,(x0,y：)为极小值不确定15、级数常数项级数:第6页共9页高等数学复习公式等比数列：1+q+q2+A+qn-1=1—q1-q等差数列：1+2+3+A+n=(n+A)n2调和级数：1+1+1+A+1是发散的23n级数审敛法:1、正项级数的审敛法一一根植审敛法(柯西判别法)：‘P<1时，设：p=limnu，n一8‘P<1时，设：p=limnu，n一8n则jp>1时，p=1时级数收敛

级数发散

不确定2、比值审敛法:U-设：p=limn+1Un一8Jn'p<1时级数收敛

级数发散

不确定3、定义法：s=u+u+A+u；lims存在，则收敛；否则发散。nn一8交错级数%-u2+u3-u4+A(或-u1+u2-u3+A,u>0)的审敛法 莱布尼兹定理：u>u II如果交错级数满足人.nn+1，那么级数收敛且其和s<u，其余项r的绝对值|r|<u。limu=0 1 n n n+1、nnf8绝对收敛与条件收敛：(1)u+u+A+u+A，其中u为任意实数；(2)lu1+It1+lul+A+^l+A1 2 3如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。调和级数：工1发散，而Zu%收敛；n n级数：工,收敛；n2p级数：Z工P<1时发散p p>1时收敛幂级数：X<1时，收敛于1+x+x2+x3+A+xn+A 1—xX>1时，发散对于级数(3)a.+ax+ax2+A+axn+A，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全(U<R时收敛廿>R时发散，其中R称为收敛半径。x=R时不定(pH0时，R=jP=0时，R=+8p=+8时，R=0函数展开成幕级数：第7页共9页高等数学复习公式TOC\o"1-5"\h\z函数展开成泰勒级数：f(x)=f(x)(x-x)+f(x0)(x—x)2+A+f(")(x0)(x-x)n+A0 0 2! 0 n1 0余项：R=3&(x-x)n+1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR=0n (n+1)! 0 n-8nx=0时即为麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f'(0)x+f(°)x2+A+fn，⑼xn+A0 2! n!一些函数展开成幕级数：m(m-1) . m(m-1)A(m-n+1)(1+x)m=1+mx+ -x2+A+- - Lx++A (-1<x<1)2! n!. x3,x5sin. x3,x5sinx=x 1 3!5!+(—1)n-1 +A (—8<x<+8)(2n-1)!欧拉公式:eix+e-ixcosx= eixeix=cosx+isinx或＜. eix—e-ixsinx= 16、微分方程的相关概念：一阶微分方程：y'=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy=f(x)dx的形式，解法：Jg(y)dy=Jf(x)dx 得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成d=f(x,y)=中(x,y)，即写成”的函数，解法：dx x设u="，则d=u+x谑，u+—=^(u)