理学扭转材料力学

理学扭转材料力学第1页/共77页2概述§1扭矩及扭矩图§2薄壁圆筒的扭转§3圆杆扭转应力·强度§4圆杆扭转变形·刚度扭转超静定问题§5密圈螺旋弹簧§6非圆截面杆自由扭转§7薄壁截面自由扭转应力第三章扭转第2页/共77页3O轴：工程中以扭转为主要变形的构件.受力特点：AB扭转角：变形特点:切应变：直角的改变量.任意两截面绕轴线转动产生的角位移.外力偶——任意两截面绕轴线相对转动.如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等.转动面垂直于杆轴线概述第3页/共77页4工程实例电主轴

螺旋钻杆

第4页/共77页5工程实例传动主轴扭转操纵杆第5页/共77页6扭转工程实例汽车传动主轴轮轴第6页/共77页7扭转工程实

例方向盘操纵杆第7页/共77页8钻机

第8页/共77页9石油钻旋挖式入岩钻机第9页/共77页10一.外力偶矩NP—功率，千瓦（kW）

马力（PS）

n—转速，转/分（r/min）传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：§1

扭矩(图)1kW=1.36PS,

1PS=735.5N·m/s扭转第10页/共77页11扭矩矢

(右手螺旋法则定)拉为正

二.扭矩及扭矩图

由求出1

扭矩T

：MeMeMexT(扭矩矢沿外法线方向，背离截面为正,反之为负)扭转转动面垂直于轴线的内力偶矩

符号规定：

第11页/共77页12

2

扭矩图：①扭矩变化规律②|T|max值及其截面位置,强度计算（危险截面）扭转Me1Me2MeMe3表示沿杆轴线各横截面位置---相应截面扭矩的变化关系图线。第12页/共77页13[例1]已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入

P1=500kW，从动轮输出

P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图m2m3

m1

m4解：①计算外力偶矩扭转ABCD第13页/共77页14②求扭矩（按正方向设）6.374.784.784.78T4.789.566.37–（kNm）BC段为危险截面6.3715.94.784.78ABCD123第14页/共77页15CmLM已知[例]

钻机钻杆，绘制扭矩图.设工件阻力矩m沿杆长度均匀分布.解：①求阻力矩——整体平衡②截面法——部分平衡xT(x)T图x第15页/共77页16§2薄壁圆筒受扭一、薄壁圆筒受扭

实验前：圆筒壁厚（r为平均半径）①绘纵向线，r②施加一对外力偶圆周线；第16页/共77页17扭转实验后：(各矩形网格均成同样的歪斜平行四边形)①各圆周线形状大小和间距均未改变，

变形前为平面的横截面变形后仍为平面，仅绕轴线作相对转动平面假设：②各纵向线均倾斜同一微小角度

仅绕轴线作相对转动第17页/共77页18结论：横截面无正应力,仅有切应力观察分析②方向垂直于半径①大小沿圆周和壁厚不变（沿周向、径向均匀分布）（左右两微面无距离改变，仅相对错动）(变形极对称、筒壁很薄)(错动沿圆周切线方向)扭转δ筒壁表面变形

横截面切应力分布推论：T（转向与截面扭矩一致）g第18页/共77页19δr

薄壁圆筒

大小：(由合力矩定理)扭转T第19页/共77页20z二、切应力互等

单元体相互垂直两微面上，切应力必成对出现，且（数值）相等，（方向）相反上式称为切应力互等定理

单元体上只有切应力而无正应力作用，称为纯剪切应力状态（都垂直于两微面交线，方向都同指向或背离该交线）各微面切应力关系第20页/共77页21三、剪切Hooke定律：

lT切应力不超过材料剪切比例极限时（τ≤τp)，剪切Hooke定律：切应力与切应变成正比第21页/共77页22

式中：G

材料的弹性常数，称为剪切弹性模量，不同材料的G值可通过实验确定.

剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数.对各向同性材料可以证明，弹性常数G、E、υ存在关系扭转第22页/共77页23§3圆杆扭转应力

实验观察：

同样可得平面假设表面变形全同薄壁圆筒同样可得结论:

横截面上无正应力,仅有切应力扭转RR第23页/共77页24oodx①变形几何关系一、扭转切应力：取微段，两截面相距dx.相对扭转角b'ba②物理关系③静力学关系xdx第24页/共77页25ooR1.变形几何关系：距圆心为任一点处——

扭转角沿长度方向变化率切应变分布规律:bb'方向垂直于半径.与其到圆心的距离成正比，第25页/共77页26T2.物理关系：代入Hooke定律：切应力分布规律:距圆心为任一点处与该点到圆心距离成正比,（Note:任一直径，圆点两侧对称等距离两点——相等相反、平行不共线而形成力偶）方向垂直于半径.第26页/共77页273.静力学关系：T(令)dA由合力矩定理得:(

剪力微分)O(扭矩=各微剪力对圆形心之矩)

代入关系式：pITrtr=第27页/共77页28—横截面上距圆心为

处任一点切应力仅适用于各向同性、线弹性材料，小变形的等圆截面直杆②式中：T—横截面上扭矩,③也适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同（可仿照实圆杆导出同样公式）扭转4.公式说明：Ip—极惯性矩，几何量

—该点到圆心的距离第28页/共77页29DddD实心圆截面：空心圆截面：扭转OOd第29页/共77页305080[例]浆叶搅拌器轴求n截面k点和轴的1KNm3KNm4KNmnk30解：①求②求第30页/共77页31TT（实心截面）二、扭转强度计算

应力分布1.最大切应力：

由截面应力分布可知:（空心截面）扭转出现在截面边缘()第31页/共77页32Wt

—抗扭截面系数（模量），实心圆截面：空心圆截面：几何量，单位：mm3或m3.D第32页/共77页33强度条件：(许用切应力)强度计算三问题：①校核强度：②

设计截面尺寸：③

计算许可载荷：即:2.强度计算第33页/共77页34[例2]功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力

[]=30MPa,试校核其强度。Tm解：①求扭矩及扭矩图②计算并校核切应力强度满足强度要求D3=135D2=75D1=70ABCmm第34页/共77页35主轴牙嵌式离合器,已知：

[]=60MPa,传递最大偶矩为1.5KNm,空心圆轴的内外径之比

=0.8。二轴长度相同。求:实心轴径d1和空心轴内外径；比较二轴重量比[例]TT扭转第35页/共77页36解：①②③重量比[τ]=60MPaT=1.5KNm

=0.8第36页/共77页37TtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）

工程上有时采用空心截面构件：以提高强度,节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛扭转[讨论]:如果其它条件相同,空心轴比实心轴重量轻,耗材少.此现象可用扭转应力分布规律或截面材料分布来说明.第37页/共77页38车载旋挖钻机扭转

但其加工工艺难,壁厚过薄则易失稳,且管若开口(有缝)则承载力大为降低.第38页/共77页39开口/闭口薄壁杆件扭转比较扭转第39页/共77页40§4圆杆扭转变形

一、扭转变形②若两截面间值变化，则应分段应用上式任意相距

dx两截面间相对扭转角相距

l两截面间相对扭转角①若两截面间值均不变(常数):l代数求和（离散变化）或积分（连续变化）x第40页/共77页41阶梯形圆轴,求[例1]解：T（N·m）[例]（思考：代数和＋－？）1400620ACB1400N·m620N·m780N·m第41页/共77页42ACBLM已知m[例2]xxT(x)解：T图前已解出：dx(微段dx的相对扭转角）(A-B相对扭转角=无数微段相对扭转角集合）求A、B间相对扭转角钻杆，（已知L

、G、IP

）设工件阻力矩m

沿杆长度均匀分布.（思考:如何求A-C之间相对扭转角?）mdφ第42页/共77页43单位扭转角：二、刚度条件GIp反映截面抵抗扭转变形的能力，称为截面抗扭刚度（许用单位扭转角）刚度条件

轴类零件除满足强度条件外，还不应有过大的扭转变形，如：工程中扭转变形可通过单位扭转角控制

车床丝杠、磨、镗床传动轴若扭角过大，则易影响进刀或引起扭振，影响加工精度、光洁度第43页/共77页44500400P1P3P2

ACB

[例3]某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率P1=368KW，输出功率分别P2=147KW,P3=221KW，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1º/m

，试确定：①AB

段直径d1和BC段直径d2

？②若全轴选同一直径，应为多少？解：①扭矩图Tx–7.024–4.21(kNm)7.0244.212.814③主动轮与从动轮如何安排合理？第44页/共77页45

.由刚度条件：综上：②全轴选同一直径时.由强度条件：–7.024–4.21G=80GPa，[]=70MPa，[]=1º/m(kNm)T第45页/共77页46Tx–4.21(kNm)2.814T–7.024–4.21(kNm)500400

ACB

500400

ACB

③轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应

该换位.7.0244.212.8147.0244.212.814换位后,扭矩图所示,轴此时最大直径为75mm第46页/共77页47三、扭转超静定问题①②MeMAMB（基本方法步骤同拉压,以例说明）解：①轴力偶平衡①②变形几何关系:③力偶-变形关系

③联立①③②（T1=－MA

）①②ACBMe第47页/共77页48①②2.二轴因扭转变形各企图回弹,但受另端(固端)阻抗;3.二轴间有相互作用力偶(相等相反),即二轴的扭矩

装配后,1.二轴端必在两孔间某一位置相联;分析思考:（已知

）管1与轴2相互套接，端部销钉孔相差角

求两构件装配后所受扭矩[例5]第48页/共77页49①

力偶平衡②变形几何关系:装配后,1.二轴端必在两孔间某一位置相联;③力偶-转角关系②联立①③①③2.二轴因扭转变形各企回弹,但受另一端(固端)阻抗;3二轴间有相互作用力偶(相等相反),即为二轴的扭矩①②解：第49页/共77页50平衡方程；几何方程（变形协调方程）；物理方程平衡-补充方程联立求解①②③④补充方程：(由几何方程和物理方程得)扭转超静定问题求解方法步骤：第50页/共77页51(功之微分)(体积微分)考虑纯剪切状态的一单元体，计算其应变能密度四、剪切应变能第51页/共77页52[例]长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，若杆内外径之比

=0.8，G=80GPa，许用切应力[]=30MPa，试设计杆的外径；[]=2º/m，试校核此杆刚度，并求右端面转角。解：①计算杆外径2mm=20Nm/m第52页/共77页5340NmxT代入数值得：D0.0226m。②刚度条件校核刚度2mm=20Nm/m第53页/共77页5440NmxT③右端面转角为：(弧度)第54页/共77页55[例5]长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，外径D=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。①平衡方程为：②几何方程——变形协调方程mm=20Nm/m2mABmAmB受力图如图示，

一次超静定问题解：第55页/共77页56③综合物理方程与几何方程——补充方程：④由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果O第56页/共77页57

常用于缓冲减振（机车底盘压簧、振动机械的缓冲簧、沙发压簧……

）；§5圆柱形密圈螺旋弹簧缓冲减振、制动圆柱形螺旋弹簧工程应用广泛：第57页/共77页58机车底盘扭转复位弹簧刀杆凸轮机构顶杆

又多用于控制机械的返回运动（凸轮机构顶杆弹簧、气阀弹簧、刹车制动系统的复位弹簧……）；

另外，还可用于测力（弹簧秤中的拉、压、扭簧……）第58页/共77页59

螺旋弹簧其轴线为空间螺线，所以应力、变形精确分析很复杂.固工程计算一般近似处理：①当螺旋角很小，可近似认为簧丝横截面与簧圈轴线在同一平面②

当簧丝直径d远小于簧圈平均直径D时，可略去簧丝曲率影响，近似用直杆公式计算d(丝径)D(圈径)第59页/共77页60一.簧丝横截面应力+=T（平移剪切）(旋转剪切)（截面周边）近似值：当时：可省略：TDd(丝径)(圈径)D/2第60页/共77页61

簧丝强度条件:其中：称为弹簧指数称为曲度系数（修正公式）当可省略：考虑弹簧曲率及切应力不均匀影响第61页/共77页62二.簧圈变形(能量法）（外力功）（应变能）（L—簧丝全长）（n—

有效圈数）思考：欲弹簧形变小？形变大？（V—

簧丝体积）d(丝径)第62页/共77页63ABDEa/2a/2bL

Fd（轴承）（轴承）

轴AB

两端与两刚杆（变形不计）刚性连接，两根弹簧刚度皆为C.加载前轴与两杆都在水平面内.[例]扭转分析思考:C点位移是因轴B点转动引起:轴AB自身扭转变形;轴AB因弹簧变形刚体转动求力F

作用点位移.第63页/共77页64ABDEa/2a/2bL

Fd解：②轴扭转变形：(弹簧位移)(弹簧杆转角)①轴刚体转动③总转角C点位移扭转第64页/共77页65[例]

圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直径为：d=18mm，受拉力P=500N的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若G=82GPa，欲使弹簧变形等于6mm，问弹簧至少应有几圈？解：①最大剪应力的近似值：第65页/共77页66②最大剪应力的精确值：③弹簧圈数：（圈）第66页/共77页67各截面发生翘曲——不保持平面.

非圆截面杆的翘曲情况，随杆端约束情况不同而不同§6非圆截面杆自由扭转非圆截面杆：平面假设不成立.一、自由和约束扭转由等直圆杆扭转推出的应力、变形公式不再适用.须由弹性力学方法求解第67页/共77页68（各截面翘曲不受约束）（截面翘曲受约束）自由扭转①约束扭转②

任意两相邻截面的翘曲程度完全相同

——

相邻截面翘曲程度不同，不可自由变形

——仅无既