延安市第一中学2020届高三上学期第二次质量检测数学（理）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精陕西省延安市第一中学2020届高三上学期第二次质量检测数学（理）试题含解析市一中2019—2020学年度第一学期高三第二次质量检测（理科)数学试题一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设全集，集合，，则(）A. B. C. D。【答案】A【解析】【分析】先化简集合A，B,再判断每一个选项得解.【详解】∵，,由此可知,，，,故选A．【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题。2。设，则（）A。 B.C。 D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用所给的数所在的区间和指数函数的单调性比较大小即可。【详解】由题意可得：，，,指数函数单调递减，故，综上可得:。故选C。【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解,既快捷，又准确．3.“”是“"的（）A。充分不必要条件 B。必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】因为，所以．又因,所以,因此“”是“”的充分不必要条件．故选A．考点：充分性、必要性问题．4。函数的零点所在区间为(）A。 B。 C。 D.【答案】D【解析】【分析】分别验证区间端点值符号，结合零点存在定理可得到结果.【详解】,，，,，，由零点存在定理可知：零点所在区间为。故选：.【点睛】本题考查利用零点存在定理确定零点所在区间的问题，属于基础题.5.已知，，则（）A. B。 C. D.【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式可得，结合，可求出的值.【详解】因为，所以，又因为，所以.【点睛】本题考查了二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于基础题.6。已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得直线的斜率,即为倾斜角的正切值；结合同角三角函数关系式中齐次式的化简方法，即可得到最后的值．【详解】曲线，点的坐标为所以,在点处切线斜率，即所以分子分母同时除以可得所以选B【点睛】本题考查了导数的几何意义，三角函数式的化简求值，属于中档题．7。下列选项中说法正确的是（）A.函数的单调减区间为；B。命题“"的否定是“”；C.在三角形中,“若，则”的逆否命题是真命题D。幂函数过点，则.【答案】CD【解析】【分析】对选项逐一判断，可得答案。A项，先求函数定义域，再根据复合函数单调性的判断依据“同增异减”，可求函数的单调递减区间.B项，全称量词命题的否定是存在量词命题，注意“一改量词，二改结论”.C项,原命题与其逆否命题是等价命题,故可利用正弦定理判断原命题的真假。D项，由幂函数的定义可得的值，把点代入解析式，可得的值，即求.【详解】A项,令，可得或，函数的定义域为.又函数在上单调递减，且函数是增函数，函数的单调减区间为.故A错误.B项，全称量词命题的否定是存在量词命题，命题“"的否定是“”.故B错误.C项,三角形中，由正弦定理可得为三角形外接圆的半径。.命题：在三角形中，“若，则”是真命题。原命题与其逆否命题是等价命题，故其逆否命题是真命题。故C正确。D项,是幂函数，.又的图象过点,.故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查复合函数的单调性、含有一个量词的命题的否定、命题的真假及幂函数的有关知识，综合性较强，属于中档题.8.若函数在区间（2，＋∞）上为增函数，则实数的取值范围为（)A.（－∞，2） B。（－∞，2］ C. D。【答案】D【解析】【详解】∵，当时,恒成立，即恒成立,∴恒成立．，∴当时，，即在上单调递增,∴.故选：D。9。函数的图像大致为(）A. B. C。 D。【答案】A【解析】试题分析:为奇函数且时，函数无意义，可排除，又在是减函数，故选.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象。10。定义在上的函数满足及，且在上有则（）A. B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据已知可得是周期为的奇函数，将转化为，即可求出结论。【详解】由得，且,所以是周期为的奇函数，当时,.故选：A【点睛】本题考查函数的性质，利用函数的周期性和奇偶性求函数值，属于基础题。11。已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为,将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（)A.关于点对称 B。关于点对称C关于直线对称 D。关于直线对称【答案】B【解析】分析】先根据相邻两条对称轴距离可得周期为，从而，再根据平移变换得到新图像对应的解析式,根据其对称性可计算,从而可确定图像的对称轴和对称中心，故可得正确答案．【详解】因为相邻两条对称轴的距离为，故，，从而．设将的图像向左平移单位后，所得图像对应的解析式为，则，因的图像关于轴对称，故，所以，，所以，因,所以．又，令，故对称轴为直线，所以C，D错误；令，故,所以对称中心为，所以A错误，D正确．综上,选D．【点睛】一般地,我们研究的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的单调区间时,我们先确定的单调性，再函数的单调性确定外函数的单调区间后求出的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时,可以由的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心.12.已知是奇函数的导函数，当时，,则不等式的解集为A。 B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，可得为奇函数且在上单调递增，根据奇偶性可得在上单调递增，原不等式化为，从而可得结果.【详解】令，当时，，在上单调递增，为奇函数，也是奇函数，且在上单调递增，由化为得,，的解集为，故选B。【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题。联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了,准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状"变换不等式“形状"；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13。内角，，的对边分别为，，，若,则__________．【答案】【解析】∵，∴,即，∴，∴．14。已知.若，那么实数的值为________。【答案】【解析】【分析】先求f(1）=4，再求f（4）=14，得a的方程求解即可【详解】由题f（1）=4，则f（4）=16+,解a=故答案为【点睛】本题考查分段函数的函数值,考查计算求解能力，是基础题15。如图,矩形中曲线的方程分别为,,在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为____.【答案】【解析】【分析】运用定积分可以求出阴影部分的面积,再利用几何概型公式求出在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率。【详解】解:阴影部分的面积为,故所求概率为【点睛】本题考查了几何概型，正确运用定积分求阴影部分的面积是解题的关键。16。已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极小值,则实数c的值为______【答案】2【解析】【分析】求出,由函数f（x）=x(x﹣c)2在x=2处有极小值列方程,解得或，验证当时，，不满足函数f（x）=x(x﹣6）2在x=2处有极小值，问题得解．【详解】由题可得：因为函数f（x)=x（x﹣c）2在x=2处有极小值，所以，解得：或，当时，恒成立，不满足函数f（x)=x(x﹣6)2在x=2处有极小值，故舍去．所以.【点睛】本题主要考查了极值的概念及方程思想，考查计算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.已知。（1)化简；（2)若，求的值。【答案】（1）(2）【解析】【分析】(1)根据诱导公式化简可得答案；（2）将两边平方可得,再将通分可得答案.【详解】（1）(2）。【点睛】本题考查了利用诱导公式化简，考查了平方关系式,属于基础题.18.若函数f（x）＝ax2＋bx－lnx的导函数的零点分别为1和2．(I）求a，b的值；（Ⅱ)若当时，恒成立,求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）。【解析】【分析】(I）求出函数的导数，由，求出的值即可;（Ⅱ）当时，恒成立，等价于,利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出函数的最小值，从而求出的取值范围即可.【详解】（I）函数的定义域是，∵函数的零点分别为1和2，∴，得，b=2，(Ⅱ）当时,恒成立，当且仅当，由（I)得，．．由f′(x)＝0，得x＝1或x＝2．①当f′(x)＞0时1＜x＜2；②当f′(x）＜0时0＜x＜1或x＞2．当x变化时f′(x），f（x）的变化情况如下表：x（0，1）1(1，2）2f′(x）－0＋0－f(x）↘↗↘因此,f（x)的区间的最小值是和的较小者，∵,∴，∴f（x）的区间的最小值是,∴实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法:①分离参数恒成立（即可）或恒成立（即可）；②数形结合（图象在上方即可）；③讨论最值或恒成立；④讨论参数。19.在中，内角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若,，求的面积．【答案】（1）；（2）。【解析】【分析】（1)由两角和的正切得，进而得,即可求解C;(2),展开整理得，得,由正弦定理求a，则面积可求【详解】（1）因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以。（2)由及得，即，化简得，即.因为及，所以由正弦定理得，得,所以的面积.【点睛】本题考查两角和的正切公式，正弦定理解三角形，考查面积公式，熟记公式,准确计算是关键,是中档题20。已知函数（1)写出函数的最小正周期；（2)设，的最小值是,最大值是，求实数的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式可得，利用最小正周期的计算公式可得所求的最小正周期。（2）求出的范围后利用正弦函数的性质可求的最值，结合已知的最值可求的值.【详解】（1）,故的最小正周期为.(2）当时，,故,又，故，所以，故.【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、最值、对称轴方程和对称中心等．21。已知函数.（1）若过点的直线与曲线相切,求直线的斜率的值；（2）设，若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2)。【解析】【分析】(1）设直线的方程为,设切点坐标为，根据题意可得出关于、的方程组,求出、的值，进而可得出的值；（2）根据题意知，当时，,当时，,然后求得函数的导数，对实数的取值进行分类讨论,利用导数分析函数的单调性,验证条件“当时，，当时，”是否满足，由此可得出实数的取值范围.【详解】（1)因为直线过点，不妨设直线的方程为，由题意得,设切点为，则，解得.直线过点,则有，解得，即直线的斜率为;（2），①若，则当时,，函数在上单调递减,此时，即，不合乎题意;②若，则，当且仅当时等号成立.(i）当时，，函数在上单调递增。又，所以当时，；当时，。于是有;(ii)当时，记,则,当时，,所以函数在上单调递减，此时，即，不合乎题意；（iii）若，记，则,当时，,所以函数在上单调递减,此时，即，不合乎题意。综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求解切线过点的问题，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于难题.22。在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为参数），在极坐标系中，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴非负半轴为极轴，圆C的方程为.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点，设圆C与直线l交于点A，B,求的最小值。【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由得，利用