计算机控制系统设计方法

计算机控制系统设计方法第1页，共63页，2023年，2月20日，星期二一数字控制器：是计算机控制系统的核心组成部分，是在被控对象数学模型或操作人员的经验基础上进行设计，并用计算机软件实现的某种控制算法。（1）连续化设计方法先设计校正装置的传递函数D(s)，然后采用某种离散化方法，将它变成计算机算法。（2）离散化设计方法已知被控对象的传递函数或特性G(Z)，根据所要求的性能指标，设计数字控制器。一第2页，共63页，2023年，2月20日，星期二

设计方法：数字控制器的连续化设计是忽略控制回路中所有的零阶保持器和采样器，在S域中按连续系统进行初步设计，求出连续控制器，然后通过某种近似，将连续控制器离散化为数字控制器，并由计算机来实现。3.1

数字控制器的连续化设计技术数字控制器的连续化设计：模拟（连续）控制器的离散化设计步骤

设计假想的连续控制器选择采样周期T将D(s)离散化为D(z)设计由计算机实现的控制算法校验第3页，共63页，2023年，2月20日，星期二计算机控制系统的结构框图：这是一个采样系统的框图：控制器D(Z)的输入量是偏差，U(k)是控制量H(S)是零阶保持器G(S)是被控对象的传递函数3.1.1数字控制器的连续化设计步骤第4页，共63页，2023年，2月20日，星期二设计的第一步就是找一种近似的结构，来设计一种假想的连续控制器D(S)，这时候我们的结构图可以简化为：已知G(S)来求D(S)的方法有很多种，比如频率特性法、根轨迹法等。

1.假想的连续控制器D(S)第5页，共63页，2023年，2月20日，星期二2.选择采样周期T

香农采样定理给出了从采样信号恢复连续信号的最低采样频率。在计算机控制系统中，完成信号恢复功能一般由零阶保持器H(S)来实现。零阶保持器的传递函数为：

其频率特性为

从上式可以看出，零阶保持器将对控制信号产生附加相移(滞后)。对于小的采样周期，可把零阶保持器H(S)近似为：第6页，共63页，2023年，2月20日，星期二

我们能从上式得出什么结论呢？上式表明，当T很小时，零阶保持器H(S)可用半个采样周期的时间滞后环节来近似。它使得相角滞后了。而在控制理论中，大家都知道，若有滞后的环节，每滞后一段时间，其相位裕量就减少一部分。我们就要把相应减少的相位裕量补偿回来。假定相位裕量可减少5°～15°，则采样周期应选为：其中ωC是连续控制系统的剪切频率。按上式的经验法选择的采样周期相当短。因此，采用连续化设计方法，用数字控制器去近似连续控制器，要有相当短的采样周期。第7页，共63页，2023年，2月20日，星期二3.将D(S)离散化为D(Z)常用连续系统离散化的方法：前向差分法后向差分法双线性变换法零极点匹配法冲击响应不变法零阶保持法

第8页，共63页，2023年，2月20日，星期二(1)前向差分法

利用级数展开可将Z=esT写成以下形式Z=esT=1+sT+…≈1+sT可得即给定模拟控制器传递函数D(s)，其等效离散传递函数D(z)为：第9页，共63页，2023年，2月20日，星期二法2(数值微分):两边求拉氏变换后可推导出控制器为采用前向差分近似可得上式两边求Z变换后可推导出数字控制器为设微分控制规律为第10页，共63页，2023年，2月20日，星期二因为s平面上的虚轴是稳定与不稳定区域的分界线，所以应着重研究虚轴在z平面内的映象。

即：s平面上虚轴映射在z平面上将右移1个单位。s平面和z平面之间的映射关系知：Z=1+TS

注意：采用前向差分法离散化，D(s)稳定，D(z)不一定稳定（超过单位圆）。第11页，共63页，2023年，2月20日，星期二1、直接代换，具有串联性，变换方便；2、整个s左半平面映射到z平面z=1以左的区域，故D(s)与D(z)不具有相同的稳定性；3、因为D(s)|s=0=D(z)|z=1，故稳态增益维持不变；4、当采样周期T较小时，等效精度较好。前向差分法的特点：第12页，共63页，2023年，2月20日，星期二(2)后向差分法利用级数展开还可将Z=esT写成以下形式则给定模拟控制器传递函数D(s)，其等效离散传递函数D(z)为：s平面和z平面之间的映射关系、后向差分法的特点？！！第13页，共63页，2023年，2月20日，星期二(3)双线性变换法

双线性变换或塔斯廷（Tustin）近似第14页，共63页，2023年，2月20日，星期二双线性变换也可从数值积分的梯形法对应得到。设积分控制规律为

两边求拉氏变换后可推导得出控制器为当用梯形法求积分运算可得算式如下上式两边求Z变换后可推导得出数字控制器为

第15页，共63页，2023年，2月20日，星期二令Z=esT，将D(s)离散化为D(z)(4)零极点匹配法1、转换规则第16页，共63页，2023年，2月20日，星期二例1已知连续传递函数为试采用零极点匹配法离散化，设采样周期T=1s。解：先将分解为零极点形式因T=1s，则第17页，共63页，2023年，2月20日，星期二

可得

2、特点（1）D(z)和D(s)有相同稳定性；（2）D(s)的零、极点均按照Z=esT的关系与平面的零、极点一一对应；（3）稳态增益匹配，一般按关系匹配。第18页，共63页，2023年，2月20日，星期二几种离散化公式的比较

第19页，共63页，2023年，2月20日，星期二4.设计由计算机实现的控制算法

数字控制器D(Z)的一般形式为下式，其中n≥m,各系数ai,bi为实数，且有n个极点和m个零点。上式用时域表示为第20页，共63页，2023年，2月20日，星期二5.校验

控制器D(z)设计完并求出控制算法后，须按下图所示的计算机控制系统检验其闭环特性是否符合设计要求，这一步可由计算机控制系统的数字仿真计算来验证，如果满足设计要求设计结束，否则应修改设计。第21页，共63页，2023年，2月20日，星期二例：数字PID控制器的设计

根据偏差的比例(P)、积分(I)、微分(D)进行控制(简称PID控制)，是控制系统中应用最为广泛的一种控制规律。

PID调节器之所以经久不衰，主要有以下优点：

1.技术成熟，通用性强

2.原理简单，易被人们熟悉和掌握

3.不需要建立数学模型

4.控制效果好第22页，共63页，2023年，2月20日，星期二1．模拟PID调节器对应的模拟PID调节器的传递函数为PID控制规律为KP为比例增益，TI为积分时间，TD为微分时间u(t)为控制量，e(t)为偏差第23页，共63页，2023年，2月20日，星期二2.数字PID控制器

由于计算机控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差值计算控制量。在计算机控制系统中，PID控制规律的实现必须用数值逼近的方法。当采样周期相当短时，用求和代替积分、用后向差分代替微分，使模拟PID离散化变为差分方程。第24页，共63页，2023年，2月20日，星期二数字PID位置型控制算法怎么得来的呢？直接通过传递函数能达到吗？后向差分！！！第25页，共63页，2023年，2月20日，星期二4.2最少拍数字控制系统的设计离散化设计方法：从被控对象的特性出发，直接根据计算机控制理论(采样控制理论)来设计数字控制器。连续化设计技术的弊端：要求相当短的采样周期！因此只能实现较简单的控制算法。连续化设计技术的优点：有现成的算法和设计方法；第26页，共63页，2023年，2月20日，星期二1数字控制器的离散化设计步骤1.根据控制系统的性能指标要求和其它约束条件，确定所需的闭环脉冲传递函数Ф(z)2.求广义对象的脉冲传递函数G(z)。3.求取数字控制器的脉冲传递函数D(z)。4.根据D(z)求取控制算法的递推计算公式第27页，共63页，2023年，2月20日，星期二由数字控制器D(z)的一般形式：则：数字控制器的输出U(z)为因此，数字控制器D(z)的计算机控制算法为按照上式，就可编写出控制算法程序。第28页，共63页，2023年，2月20日，星期二2最少拍控制器的设计最少拍控制的定义：所谓最少拍控制，就是要求闭环系统对于某种典型的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态。工程应用背景：随动系统，伺服系统，运动控制，…一个周期最少拍系统的设计原则是：若系统广义被控对象G(z)无延迟且在z平面单位圆上及单位圆外无零极点，要求选择闭环脉冲传递函数Ф(z)，使系统在典型输入作用下，经最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而确定所需要的数字控制器的脉冲传递函数D(z)。第29页，共63页，2023年，2月20日，星期二2.1闭环脉冲传递函数Ф(z)的确定

由图可知，误差E(z)的脉冲传递函数为第30页，共63页，2023年，2月20日，星期二典型输入函数对应的z变换

B(z)是不包含(1-z-1)因子的关于z-1的多项式。

典型输入类型对应的z变换

q=1单位阶跃函数

q=2单位速度函数

q=3单位加速度函数第31页，共63页，2023年，2月20日，星期二

根据z变换的终值定理，系统的稳态误差为

由于B(z)没有(1-z-1)因子，因此要使稳态误差e(∞)为零，必须有

Фe(z)=1-Ф(z)=(1-z-1)qF(z)→Ф(z)=1-Фe(z)=1-(1-z-1)qF(z)

这里F(z)是关于z-1的待定系数多项式。为了使Ф(z)能够实现，F(z)中的首项应取为1，即

F(z)=1+f１z-1+f2z-2+…+fpz-p

可以看出，Ф(z)具有z-1的最高幂次为N=p+q，这表明系统闭环响应在采样点的值经N拍可达到稳态。第32页，共63页，2023年，2月20日，星期二特别：当P=0时，即F(z)=1时，系统在采样点的输出可在最少拍(Nmin=q拍)内达到稳态，即为最少拍控制。因此最少拍控制器设计时选择Ф(z)为

Ф(z)=1-(1-z-1)q

最少拍控制器D(z)为第33页，共63页，2023年，2月20日，星期二2.2典型输入下的最少拍控制系统分析(1)单位阶跃输入(q=1)

输入函数r(t)=1(t),其z变换为由最少拍控制器设计时选择的Ф(z)=1-(1-z-1)q=z-1

可以得到进一步求得以上两式说明，只需一拍(一个采样周期)输出就能跟踪输入，误差为零，过渡过程结束。第34页，共63页，2023年，2月20日，星期二(2)单位速度输入(q=2)

输入函数r(t)=t的z变换为

由最少拍控制器设计时选择的

Ф(z)=1-(1-z-1)q=1-(1-z-1)2=2z-1-z-2

可以得到

进一步求得

以上两式说明，只需两拍(两个采样周期)输出就能跟踪输入，达到稳态，过渡过程结束。第35页，共63页，2023年，2月20日，星期二(3)单位加速度输入(q=3)

单位加速度输入r(t)=（1/2）t２的Z变换为由最少拍控制器设计时选择的

Ф(z)=1-(1-z-1)3=3z-1-3z-2+z-3

可以得到上式说明，只需三拍(三个采样周期)输出就能跟踪输入，达到稳态。第36页，共63页，2023年，2月20日，星期二三种典型输入时的最少拍系统第37页，共63页，2023年，2月20日，星期二例设单位速度反馈线性离散系统如图所示，设被控对象的传递函数如下，采样周期T=0.1s，试设计单位速度输入时的最少拍系统的数字控制器D(z)。解:系统广义被控对象的脉冲传递函数为第38页，共63页，2023年，2月20日，星期二将T=0.1s代入上式，经过整理后得因为是单位速度输入，所以选择则数字控制器的传递函数D(z)为第39页，共63页，2023年，2月20日，星期二2.3最少拍控制器的局限性

最少拍控制器的设计是使系统对某一典型输入的响应为最少拍，但对于其它典型输入不一定为最少拍，甚至会引起大的超调和静差。即适应性差。

例如，当Ф(z)是按等速输入设计时，有Ф(z)=2z-1-z-2，则三种不同输入时对应的输出如下：阶跃输入时r(t)=1(t)；R(z)=1/（1-z-1）则等速输入时r(t)=t(1)适应性问题第40页，共63页，2023年，2月20日，星期二

等加速输入时r(t)=（1/2）t２

第41页，共63页，2023年，2月20日，星期二画出三种输入下的输出图形，与输入进行比较

从图形可以看出，对于阶跃输入，直到2拍后，输出才达到稳定，而在上面单独设计控制器，只需要一拍；这样，过渡时间延长了，而且存在很大的超调量，在1拍处！对于加速度输入，输出永远都不会与输入曲线重合，也就是说按等速输入设计的控制器用于加速度输入会产生误差。第42页，共63页，2023年，2月20日，星期二

一般来说，针对一种典型的输入函数R(z)设计，得到系统的闭环脉冲传递函数Ф(z)，用于次数较低的输入函数R(z)时，系统将出现较大的超调，响应时间也会增，但在采样时刻的误差为零。反之，当一种典型的最少拍特性用于次数较高的输入函数时，输出将不能完全跟踪输入以致产生稳态误差。由此可见，一种典型的最少拍闭环脉冲传递函数Ф(z)只适应一种特定的输入而不能适应于各种输入。结论：第43页，共63页，2023年，2月20日，星期二(2)最少拍控制器的可实现性问题

设数字控制器D(z)为

要使D(z)物理上是可实现的，则必须要求

degP(z)≥degQ(z)

最少拍系统设计的物理可实现性指将来时刻的误差值，是还未得到的值，不能用来计算现在时刻的控制量。要求数字控制器的脉冲传递函数中，不能有z的正幂项，即不能含有超前环节。

结论：为使D(z)物理上可实现，Ф(z)应满足的条件是：若广义脉冲传递函数G(z)的分母比分子高N阶，则确定Ф(z)时必须至少分母比分子高N阶。第44页，共63页，2023年，2月20日，星期二

若被控对象有纯滞后特性（假设给定连续被控对象有d个采样周期的纯滞后）结论：闭环脉冲传递函数Ф(z)中必须含有纯滞后，且滞后时间至少要等于被控对象的滞后时间，即Ф(z)必须含z-d。否则系统的响应超前于被控对象的输入。第45页，共63页，2023年，2月20日，星期二(3)最少拍控制的零极点问题Ф(z)=1-(1-z-1)q才成立D(z)和G(z)总是成对出现的，允许它们的零点、极点互相对消。问题：简单地利用D(z)的零点去对消G(z)中的不稳定极点，虽然从理论上可以得到一个稳定的闭环系统，但是这种稳定是建立在零极点完全对消的基础上的。当系统的参数产生漂移，或辩识的参数有误差时，这种零极点对消不可能准确实现，从而将引起闭环系统不稳定。解决方法2：在选择Ф(z)时加一个约束条件，这个约束条件称为稳定性条件。G(z)是稳定的(即在z平面单位圆上和圆外没有极点)，且不含有滞后环节解决方法1：第46页，共63页，2023年，2月20日，星期二总结：选择闭环脉冲传递函数Φ(z)的限制条件：①数字控制器在物理上应是可实现的有理多项式，即②选择Φ(z)时，应包含G(z)中的滞后因子，G(z)的单位圆上或单位圆外的零点应保留，并作为Φ(z)的零点。③G(z)的单位圆上或单位圆外的极点，应作为Φe(z)=1-Φ(z)的零点。第47页，共63页，2023年，2月20日，星期二第三节

最少拍无纹波控制器的设计第48页，共63页，2023年，2月20日，星期二3.1前言（1）在最少拍控制中，我们主要研究三种类型的设计方法：

最少拍无差控制器的设计；简单，但是本身缺陷多最少拍有纹波控制器的设计；考虑了系统稳定性，但输出不稳定最少拍无纹波控制器的设计；这节课我们来学习（2）纹波产生的原因，引起的后果原因：控制量u(t)波动不稳定后果：输出有波动，造成机械机构的摩擦（3）最少拍无纹波设计的要求要求在典型输入信号的作用下，经过有限拍，系统达到稳定，输出误差为零,并且在采样点之间没有振荡，也就是不仅在采样时刻上输出可以完全跟踪输入，在采样时刻之间也没有纹波。第49页，共63页，2023年，2月20日，星期二3.2最少拍无纹波控制系统设计由可以得到控制信号U(z)对输入R(z)的脉冲传递函数为：设广义对象脉冲传递函数为则：第50页，共63页，2023年，2月20日，星期二事实：1）P(z)的零点即是G(z)的零点。

2）由于R(z)到U(z)的脉冲传递函数是一个有理分式，从而它的单位脉冲响应为无限长。结论：在选择时，令包含G(z)的所有零点，则P(z)与中相应因子产生相消，使得由R(z)到U(z)的脉冲传递函数为一阶次有限的z-1多项式，这就表示它的脉冲响应时间为有限长了。这样，经过有限拍之后，控制变量u(k)或者为零，或者为常数，不会再产生振荡，从而避免了连续被控对象的输出c(t)在采样时刻之间的纹波。

即：为消除纹波，对闭环系统传递函数的附加要求是：必须包含广义对象G(z)的所有零点。第51页，共63页，2023年，2月20日，星期二第52页，共63页，2023年，2月20日，星期二

例4设计算机控制系统的结构及参数均与例3相同，试针对斜坡输入信号，设计最少拍无纹波控制系统。

由例3知广义对象脉冲传递函数

分析可知，G(z)有一个位于单位圆内零点，G(z)有一个位于单位圆上的极点1。对于斜坡信号，考虑到对稳态误差的要求所对应的因子(1-z-1)2，包含了对稳定性要求所对应的因子(1-z-1)，故将两者合并。

第53页，共63页，2023年，2月20日，星期二第54页，共63页，2023年，2月20日，星期二第四节达林(Dahlin)算法

达林算法的设计目标:使整个闭环系统所期望的传递函数Ф(s)相当于一个延迟环节和一个惯性环节相串联，即

整个闭环系统的纯滞后时间和被控对象Gc(s)的纯滞后时间τ相同。闭环系统的时间常数为，纯滞后时间τ与采样周期T有整数倍关系，τ=NT。

对于具有纯滞后的控制系统，比如热工或化工过程，由于滞后的存在，容易引起系统超调和持续震荡。对这些系统的调节，快速性是次要的，而对稳定性、不产生超调的要求却是主要的。第55页，共63页，2023年，2月20日，星期二

用脉冲传递函数近似法求得与Ф(s)对应的闭环脉冲传递函数Ф(z)

若已知广义被控对象的脉冲传递函数G(z)，则可根据下式求出：第56页，共63页，2023年，2月20日，星期二达林算法数字控制器的适用对象一阶惯性环节带