2012级高等数学下试题及答案

南昌大学2012〜2013学年第二学期期末考试试卷一、填空题（每空3分，共15分）1设Q:0<x<2，0<y<2，0<z<2则三重积分川xyzdV=.交换二次积分的顺序

J2dyf2yf(x,y)dx=0 y2TOC\o"1-5"\h\z.函数f（x,y）=4（x—y）—x2-y2的极大值为、 1.将f（x）=e展开成x的幂级数为..点（2,1,0）到平面3x+4y+5Z=0的距离为 .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.函数Z=arcsiny+\:万的定义域是（ ）(A)(B)x,y)Ix<y,x中0；(A)(B)；x,y)Ix>y,x手0；(C){(x,y)1x>y>0,x丰。}丫［x,y)1x<y<0,x中0)；(D){(x,y)1x>0,y>0)Y{(x,y)Ix<0,y<0).2.设£为由曲面z=.^―2及平面z=1所围成的立体的表面，则曲面积分』』（x2+y2）dS=（£” 1+。（A）” 1+。（A）丫兀；（B）兀；（C）~(D)0.8 13.级数E析发散，则()n=1(A)旌0；(B)p>0；(C)p-1；(D)p<1.上,4.上,4.设函数f(羽y)=「2+》20，则在点(0,0)处((A)连续且偏导数存在；(C)不连续但偏导数存在;尢2+y2丰0,尢2+y2=0)(B)连续但偏导数不存在；(D)不连续且偏导数不存在。5.设y1，y2,y3是常系数线性非齐次方程y"+py'+qy= )的三个线性无关的解，则y〃+py+qy=0的通解为()(A)C)+C2y2； (B)C1y2+C2y3；(C)C1y1+C2y2+C3y3；(D)C1y1£y2一(C1+J"3.三、计算题(共24分，每小题8分)r x+y 。2z1、设z=arctan口，求布和斫-83n—12、判断级数E与一的敛散性.n=13、求微分方程y—7y+12y=12x的通解

、解答题(一)(共24分，每小题8分)1、设方程f(xz,yz)=0可确定z是x,y的函数，且f(u,v)具有连续偏导数，求d.2、计算曲线积分)(sin2x-2y)dx-(x+y2)dy，L其中L为由点L其中L为由点A(0,2)到o(0,0)的左半圆周3、求级数F的收敛域与和函数.n=1五、解答题(二)(共16分，每小题8分)1、求椭球面2x2+3y2+4z2=9上点(1，1，1)处的切平面方程和法线方程.2、利用高斯公式计算曲面积分JJ(x+y)dydz+(y+z)dzdx+(z+x)dxdy,z其中z为平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，z=1所围成的立体的表面的外侧.六、证明题(本题满分6分)设数列｛an｝单调减少，an〉0(n=1,2,L)8且z(-1)nan发散，n=14, 1 、证明Z(T)n收敛.^a+1n=1n南昌大学2012〜2013学年第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空3分，共15分)

L设Q：0vXv2,0VyV2,0VZv2则三重积分“XyzdV=8.。 rr.交换二次积分的顺序卜dJ：/(x»)dx=o”j4dxfff(x9y)dy•。a.函数/（、，y）=4（x—y）—心―w的极大值为&.〃/、1.将"%）二『展开成x的寨级数为£"" (-6<x<6)6%+in=0 .点（2,1,0）到平面3%+4,+5%=0的距离为卢.二、单项选择题（每小题3分，共15分）一1.函数z=arcsin二十和的定义域是（C）JC(A)(B)(C)(D):%,y)1丹习斗xwO\x,y)I|x|2(A)(B)(C)(D){(x,y)\x>y>0,xwo}Y[x,y)\x<y<0,xw0)；匕,y)Ix〉0,y>o}y[x,y)Ix<0,y<0)2,设£为由曲面2=占二5^及平面z—1所围成的立体的表面，则曲面积分"（心+产）△=（B）

(A)2TOC\o"1-5"\h\z1+J2 —(A)2(B)-^-兀；(C)2; (D)0.8 1.级数E析发散，则(A)n=1(A)PVO；(B)P>0；(C)P-1；(D)P<1.，孙 n , 尢2+y2丰0.设函数f(羽y)=「2+y2 ,0, X2+y2=0则在点(0,0)处(C)(A)连续且偏导数存在； (B)连续但偏导数不存在；(C)不连续但偏导数存在；(D)不连续且偏导数不存在。5.设乂，y2,y3是常系数线性非齐次方程y"+py'+qy=于(x)的三个线性无关的解，则y〃+py+-qy=0的通解为(口)(A)C)+。2y2； (B)qy2+c2y3；(C)。1y1+C2y2+C3y3；(D)C1y1+C2y2-(C1+C2)y3.三、计算题(共24分，每小题8分)x+y,5z1、设z=arctan口，求布和讥—y解： 5x x2+y2，

d2z y2-x2dxdy x2+y22、判断级数limun+2、判断级数limun+1解：n/丁nE二一的敛散性.3nn=1「 3n+2 1,=lim=<1.n-3(3n-1)3所以该级数收敛3、求微分方程y"-7y'+12y=12x的通解解：对应齐次方程y"-7y'+12y=。的通解特征方程为r2-7r+12=0解得r1=3,r=4所以y，'-7y，+12y=0的通解为y=0尸x+Cj4xax+b由题意可设y〃-7y'+12y=12x的特解为yax+b一_ 7代入原方程可得。=1，b=JL乙7所以原方程的通解为y=彳3x+飞4x+x+121、解答题（一）（共24分，每小题8分）1、设方程f（xz，yz）=0可确定z是x,y的函数,且f(u,v)具有连续偏导数，求d.解F(x,y,z)=f(xz,yz)：F=zf Fy=fFf=xf+yf

zfuzfVzfuzfVFxf+yf，z uVFxf+yf^zfv dyzfv dyxf^+yfvdz——udx一xf+yfuV2、计算曲线积分)(sin2x—2y)dx—(x+y2)dy,L其中L为由点A(0,2)到。(0,0)的左半圆周x2+y2-2y.uur解：添加辅助有向线段QA(x―0,0<y<2)，它与左半圆周组成闭区域记为d，由格林公式可得j(sin2x—2y)dx—(x+y2)dy_L ==jj(—1+2)dxdy—j(sin2x—2y)dx—(x+y2)dy=OADjjdxdy+j2y2dy= 0 =003、003、求级数EXnF的收敛域与和函数.n—12(n+1)2，TOC\o"1-5"\h\zliman+1—lim2(n+1)2，n—8 n—8n所以收敛半径为28 1 ..」当x=-2时，原级数化为E(7nn，收敛"1当X—2时，原级数化为En，发散n=1所以收敛域为[-2,2)六xn设和函数为S(x)，即：S(x)='en=1S'(X)=(£=)=1£(X)n-1=1•上=/n-2n 2 2 21_x2-x,n=1 n=1 1-—2xe[-2,2)S(x)=Ix dx=-In(xe[-2,2)02-x ，五、解答题（二）（共16分，每小题8分）1、求椭球面2x2+3w+4Z2=9上点(1,1,1)处的切平面方程和法线方程.解：令F(x,y,z)=2x2+3y2+4z2-9，则F=4x,F=6y,F=8z点(1，1，1)处的切平面方程的法向量rn=(Fx,勺F)(111)=2(2,3,4)所求切平面方程为2(x-1)+3(y-1)+4(z-1)=0即2x+3y+4z-9=0所求法线方程为x-1_y-1_z-1

所求法线方程为2、利用高斯公式计算曲面积分0(x+y)dydz+(y+z)dzdx+(z+x)dxdy,E其中e为平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=1,z=1所围成的立体的表面的外侧.解：P=x+y,Q=y+z,R=z+x，dP=dQ/R=1贝u市"sy&'记边界曲面E：所围成的立体为由高斯公式可得x=0,y=0,z=0,x=1,y=1,记边界曲面E：所围成的立体为由高斯公式可得0(x+y)dydz+(y+z)dzdx+(z+x)dxdy=E六、证明题(本题满分6分)设数列｛an｝单调减少，an>0(n=1,2,L)8且E(—1)na发散，nn=11证明E( T)n收敛.^a+1n=1n证明：方法一：数列｛a｝单调减少有下界，故lima存在,不妨设liman=a，

nn—8则a>0，若a=0，则由莱布尼兹定理知£（T）nan收敛，n=1与题设矛盾，故a>0Vl