高考数学真题与答案解析

普通高等学校招生全国统一考试

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答题前，考生务

必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时:选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.

4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.

第I卷

选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的一项。

「已知集合A=Lr"}'B=02\<2},则A4一

[--][-)[-][

A.2,1B.1,2C.1,1D.1,2

={——?}={(一,()

解析：22303A1701-3

Axxxxxxxx或

={x|-&<}n=[--i

又目才2x2,AB2,1,故选A

FT-

+

1+i--+

2.

2

-()()()U()

1i-------=---------------=-----------=--

()()-

A.1iB.1iC.1iD1

()()()

3+21i,故选D

解析：

w.<i1।1i।1J।2i1I

222i

1；()()

3.设函数fx,gx的定义域都为R,且fx是奇函数,gx是偶函数，则下

列结论中正确的是

A.fxgx是偶函数B.fxgx是奇函数

C.f(x)g(x)是奇函数D.f(x)g(x)是奇函数

解析：f(x层奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)g(x)是奇函数，排除A

f(x隹奇函数，f(x)是偶函数，g(x是偶函数，则f(x)g(x)是偶函数，排

除B

f(x是奇函数，g(x，是偶函数，则f(x)g(x)是奇函数，C正确

f(x因奇函数，g(x)是偶函数，f(x)g(x)是奇函数，则f(x)g(x)是偶函数,

排除D,故选C

4.已知F为双曲线c：x?-my?=3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐

近

线的距离为

A.3B.3C.3mD.3m

sT

解析：双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长b,故距离3,选A

5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都

28

6.如图，圆。的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点，角x的始边为射

线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线，垂足为M,将点M到直线

OP的距离表示为x的函数fx，则yfx在0,的图像大致为

y

11

解析：由已知OP=1,PM=sinx,OM=cosx又f(X)OP=TOMMP,

22

珈以f(X'linxcosx一~Isin2x,故选C

2

7.执行右面的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M

=

当n-3=8=3=8==T5=815

M,a,b；当n4时，M

时，,a,b

323838

一15

此时运算终止，乂，故选口

aef,+P

~\~~^rT

8.设b,ZS,Z且tan厕

22cos

a-P=—+p=-a-P=—

A.3B.3C.2

a+P=-222

D.2

2Pa

a=

a-P

zusin1sin

解析：由tan得sin

coscoscos

fc-a

(a-P)=a(a-P)=a€Pe

I

即sincos，所以sinsin，由已知

2

n71.冗

——va-<-----a<一在「一

所以,0,ysinx上单调递增，所

222222以

a-B="-a,2a-B=',故选C

22

9.不等式组;x+y"的解集记为D,有下面四个命题

x-2y<4

€+

p：V(x,y)D,x2y-2,p2:3(x,y产D,x+2y22,

Pb：V(x,y)€D,x+2y43,p4：3(x,y产D,x+2y4-1,其中的真命题是

A.p2,p3B.pbp2C.p,p4D.pi,p3

解析:令x+2y=m(x*y)+n(x-2y)=(m+n+(m-2n)y，所以

4

.m=—

m*n=1Q4i

m-2n=2'解得'1，所以x+2y=一«+y-2y”0,因而可以判断

[mzn-N_33

IJ

XP2为真，故选B

1°,已知抛物线"C：y=T8x的焦点为F,准线为I,P是I上一点,Q是直线PF与C

府=

一个交点若FP4FQ,则QF-II/

LG'

A.7B.3=-C

2

解析(由一己)知xP=2月2又FP4FQ,则

作QD垂直于I,垂足为II\

44XQ2,XQ1,过Q

D,I|=||=

所以QFQD(3尸故选B+()>

11.已知函数3321

fxaxx，若fX存在唯一的零点X),且X)0,则a

的

(+oC)口」(-HC)(-00-)(-00-)

取值范围是,\

-()=_+

A.2,B.1,=亡一\二]二

*()=

21JkJ

解析：当a0时，f*3x1有两%零点，不满足条

件

2

Ba°f'x3ax?62令

x3axx'f'x03axx0

aa

为等

腰三角形，ABBC,AC4,顶点B到AC的距离为4,面

±

PAC面ABC，且三角形PAC为以A为直角的等腰直角三角形，所以

C

棱PB最长，长度为6,故选B

第n卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题，每个考

生都必须作答。第(22)题-第(24)题为选考题，考生根据要求作答。

二.曼空题:+本大题共四小题，每小题5分。

827

13.(xy)(xy)的展升式由y一的系数为.(用数字填写答案)

解析：(xy)(xy)x(xy)y(xy),故展开式中xy的系数为

12

--

CBC8=8-28=20

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一个城市

由此可判断乙去过的城市为---------

解析：乙没去过C城市，甲没去过B城市，但去过的城市比乙多，所以甲去过A,

C,三人都去过同一个城市，一定是A,所以填A

C是圆0上的三点，若A0-4(ABAC),则AB与AC的夹角

15.已知A,B,

2

为T

_1

解析：AO(ABAC)图所系，。为苑中点，即

2

BC为圆0的直径，女以AB与AC的夹角为

16.已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,

+A

a=2,且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC,贝UABC面积的最大

值为

解析:

+

22

(2b)(sinAsinB)(cb)sinC(2b)(ab)(cb)c2abcbe,因

为a=2,所以+

—=—+71

222

c,22,222bca1

2abcbebcabecosAA

2bc23

△_£

13

A?C面积sbesinAbe,而

+-=宁--4==+一4

2222222244

bcabebcbeabcbebe

S=lbcsinA=^bc<j?

24八

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)已知数列｛a.｝的前n项和为a产1,an#0,

aa,=;S_1,其中，为常数.

(I)证明：a+~a=f'；

n2n

(II)是否存在z,使得｛a｝为等差数列？并说明理由.

n

、aa+='S一1,①

解析：(I)证明：当n22时,<nn1.n_,①忿)得

~aS-“

n1nn1

+_-=M~_户(+-_)="__=入+-=入

aa1aiaSS1aa1a1a,a0a1a1,，即a2a

nnnnnnnn、nnnnnnn

A=

(n)存在，证明如下：假设存在.，使得｛a.｝为等差数列，则有2aa+a,

=人一=+/.(Z—)=+6.=亢=213

而a=1,a21,a31,所以2124,此时｛a｝为首项是1,

公差为4的等差数列

18.体小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项

(I)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差；(同一组数据用该

区间的中点值作代表)；

(U)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布

2

Kl/p5.甘-群"力近似为样本羞

NC,0),其中L近似为样本平均X,°2

s.

(i)利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；

(ii)某用户从该业购100件这种产品，圮表示这100件产品中质量指

标值位于圆187.8,212.2的产品件数，利用(i)的结果,求EX.

附：150=12.2.

M6M-6<<R+5M-6<<M+6

若Z〜2

右ZN(,),则Z)=0.6826,P(2Z2)=0.9544.

解析—

(l)x0.02.1700.091800.221900.332000.242100.082200.02230200

=x/—\•x(一产>(-

0.册1702和0.661802。。+?0必1902。01

22.22

0.332002006.2421020060田中2292000.02230200150

(II)(i)由(I)知，5s2=150,所肝<15012.2；

P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.6826

(ii)(100件产品,质量指标值为手值18^8,212.2的产品件数X服从二项分

布B100,0.6826，所以EX1000.682668.26

19.体小题满12分)如图三棱相CABC中，侧面BB,CiC为菱形,

ABBC.=

1

JLN=

(I)证明：ACAB；

1

(II)若ACAB」cBBi60°

AB=BC,求二面角AABG的余弦值.

n=i-L

解析：(I)证明：侧面BBiCiC为菱形，令

BCBCOBCBC又ABBiC,

11

G

O

BBi

AB[]BC=B.・.BC，面ABCVAOu面ABC/.AQLBC,又。为BiC中点，所以

11111

三角形ACBi为等腰三角形，所以AC=AB,

(n),ALAB「CBB|60°,AB=BC,令AC1BC\BC-AB

又由已知可求4______

=£.=匚・・+=.-.!

26

222

AO,BO,AOBOABAOBO

如麻瓢鱼间断翻系"i=$z£

A=(

0,0,1,0,0,0,,0,

W_£=3

1一=

3一乏方BAB

AB

3

0,BCBC

*1111

=(3)3

igbX；=y,z为平面向量，则

♦—=(

I13

nABWTz0,

0,>==3-

nAB即而，所以可取n1,3,3

1103

xz0

3一+—=

设ma,b,c为平面ABC的一个法向量，则

「m1,3,3

0

mA,1同理可取

则cosn.m"m1，所以二面角AAB1c,的余弦值为1

nm77

22的离心

20.(本小题满分12分)已知点A(0,-2),椭圆xy

E：221(0)

ab

ab

a2a

率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为,。为坐标原点

23

(I)求E的方程;

(n)设过点A的直线I与E相交于P,Q两点，当AOPQ的面积最大时，求I的

方程.

‘坐1

a2

解析：(由已知得

1)夕一

X

2

2

椭圆E的方程：y

34

223

c3

(n)当直线i垂直于・x轴时，OPQ不存在

△=(一)—x(+>

22

令直线I的方程为ykx2与x4k1x16kx120

+联立消去y

3

16k44k11264k+480k

4

r?-1

=卜)[(+)x-X16

+

1221

令PX,y,Qxy

2'24k1

12

+XX+

122

4k1

J

△()=-|I

16k48

2

22

PQ#k一xx4xx1k

()=-------------w—a-=-4—24=2

4k14k1

222

整理得PQ41k4k-3,令点。可直线I的距离为d,则d

2

4k?=厂k

1

=44k2"令2

所以OPQ的面积14k3tt0

SkPQd

2

+24k1

2

44k34t47

Sk1t2,k

当且仅当即时取到

22

4

4142

ktt

t

此时直线I的方程为y7x2或y72

x

22

X1

21.体小题满分12分)设函数：be,曲线yf(x)在点(1,f(1))

f(x)aeX

X

处的切线为ye(x1)2.(1)求2口；(n)证明：f(x)1.

解析：(I)=x+1i+be_LLZ1J=X-If+1i'+b(x-1)

f'(x)aex」eLae%x

22

=XX=一十,XX

用为曲名yf(x)代自(1,f⑴)处的切线为ye(x1)2,所以

"1)=2a=1

，代入有

f1(1)eb2_+一、

2

由

只需

知

明

证

n证xe1

nX

>+el>-+

+--X

22X

2e即证mXAmXX

+I官IH.IEln

eX=1=-<)=ee

X

2X1X

令\+1

==一-

7gXX\X-XhX

TnxIn

e

<<

1X

,xXaXhXX

g，

\4<

得

解得

<ln解

11>10=,

//

ee

+一1

当>—1'>

0x,g'x0,x,g'x0,gX

min

eee

1

0x1,h'x0,x1,h*x0,gx

maxe

2x

所以xlnxx成立，所以f（X）1

ee

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题

目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用

所选题号后的方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD是。。的内接四边形，AB的延长线与

DC的延长线交于点E,且CB二CE

.（1）证明：ZD=ZE；

（U）设AD不是。O的直径，AD的中点为M,且MB=MC证

明：AADE为等边三角形.

M

解析：.（I）证明：四边形ABCD是。。的内接四边形,

o

C

A

ND=ZCBE,',，CB=CE..NE=NCBEr.NE=ND

(D)证明：取BC中点N,连接MN,由MB=