中考数学压轴题编甘肃篇(试题及)

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中考数学压轴题精编—甘肃篇

83．（甘肃省兰州市）如图1，已知矩形ABCD的极点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD

2，AB＝3；抛物线y＝－x2＋bx＋c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4，0）．

1）当x取何值时，该抛物线有最大值，最大值是多少？

（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的地点沿x轴的正方向匀速平行挪动，同时一动点P也以同样的速度从点A出发向B匀速挪动．设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线．．．．．AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．①当t＝11时，判断点P能否在直线ME上，并说明原由；4②以P、N、C、D为极点的多边形面积能否可能为5，如有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明原由．yyMNMCBCB

P

DO(A)ExDOAEx图1图283．解：（1）∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过坐标原点O（0，0）和点E（4，0）∴c＝0，b＝4∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x··························1分y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4

∴当x＝2时，该抛物线有最大值，最大值是4···············2分

2）①点P不在直线ME上

M（2，4），E（4，0），设直线ME的关系式为y＝kx＋b

4k＋b＝0k＝－2则解得b＝82k＋b＝4因此直线ME的关系式为y＝－2x＋8··························3分由已知条件易得，当t＝11时，OA＝AP＝1144P（11，11）······································4分44

∴当x＝11时，y＝－2×11＋8＝5≠114

4

2

4

∴当

x＝

11时，点

P不在直线

ME上

··························5

分

4PNCD5

∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，∴

OA＝AP＝t

∴点P，N的坐标分别为（t，t）、（t，－t2＋4t）···············6分

AN＝－t2＋4t（0≤t≤3）

AN－AP＝(－t2＋4t)－t＝－t2＋3t＝t(3－t)≥0

∴PN＝－t2＋3t·······································7分

（ⅰ）当PN＝0，即t＝0或t＝3时，以点P，N，C，D为极点的多边形是三角形，此三角形的高为AD

S＝1DC·AD＝1×3×2＝322

（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为极点的多边形是梯形

PN∥CD，AD⊥CD

S＝1(CD＋PN)·AD＝1(3－t2＋3t)×2＝－t2＋3t＋3···········8分22

当－t2＋3t＋3＝5时，解得t＝1或t＝2·························9分

由于1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为极点的多边形面积为5

综上所述，当t＝1或t＝2时，以点P，N，C，D为极点的多边形面积为5

当t＝1时，N点的坐标为（1，3）··························10分

当t＝2时，N点的坐标为（2，4）··························11分

说明：（ⅱ）中的关系式，当t＝0和t＝3时也合适（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以，不扣分）

84．（甘肃省天水市、庆阳市、定西市、白银市、嘉峪关市等九市联考）如图，抛物线与

x轴交于

A（－1，

0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的极点为D．

（1）求该抛物线的解析式与极点D的坐标；2）以B、C、D为极点的三角形是直角三角形吗？为何？

3）研究坐标轴上能否存在点P，使得以P、A、C为极点的三角形与△BCD相像？若存在，请指出

切合条件的点P的地点，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明原由．

y

AOB

x

C

D

84．解：（1）设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c由抛物线与y轴交于点C（0，－3），可知c＝－3即抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－3·························1分a－b－3＝0把A（－1，0）、B（3，0）代入，得9a＋3b－3＝0

解得a＝1，b＝－2∴抛物线的解析式为y＝x2－－··························3分2x3∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4

∴极点D的坐标为（1，－4）··························4分

（2）以B、C、D为极点的三角形是直角三角形···················5分

原由以下：

如图1，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F

在Rt△BOC中，OB＝OC＝3，∴BC2＝18····················6分在Rt△CDF中，DF＝1，CF＝OF－OC＝4－3＝1，∴CD2＝2········7分

在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝OB－OE＝3－1＝2，∴BD2＝20········8分

∴BC2＋CD2＝CE2，∴△BCD为直角三角形···············9分

（3）如图2，连接AC，可知Rt△COA∽Rt△BCD，得切合条件的点为O（0，0）

········································10分

yy

AOEBAP1P2BxOx

CCFDD图1图2

过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD

求得切合条件的点为P1（0，1）··························11分2

过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD

求得切合条件的点为P2（9，0）·························12分

∴切合条件的点有三个：O（0，0），P11），P2（9，0）（0，2A

85．（甘肃省陇南市）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，将一个30°角的极点P放在AB边上滑动，保持30°角的一边平行于BC，且交边EAC于点E，30°角的另一边交射线PBC于点D，连接ED．（1）当四边形PEDC为平行四边形时，求AP的长；30°（2）设AP＝x，动角和△ABC重叠部分的图形的面积为Oy，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；BCD（3）△PED能否成为等腰三角形？若能，求出AP的长；若不可以，请说明原由．图1AA

PE30°

85．解：（1）设AP＝x，则BP＝4－x

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴BC＝2，∠B＝60°

PE∥BC，∴∠APE＝∠B＝60°，∠AEP＝∠C＝90°

PE＝1x··························1分2

∴∠BPD＝90°，∠BDP＝30°，∴BD＝2BP＝8－2x

∴CD＝BD－BC＝82x－2＝62x············2分－－∵PE∥CD，∴当PE＝CD时，四边形PEDC为平行四边形∴1x＝6－2x，解得x＝12A25故此时AP的长为12······················4分5（2）当PD过直角极点C时，EC＝PE·tan30°＝1x·3＝3x236又EC＝AC－AE＝3－x)，∴33(4－x)，解得x＝3PE2(4x＝230°6···························5分

ⅰ）如图1，当0＜x≤3时，设PD与AC的交点为O，则动角和

△ABC重叠部分的图形为Rt△POE∴y＝1PE·OE＝1·1x·1x·3＝3x22222324即y＝3x2（0＜x≤3）···················6分24ⅱ）如图2，当3＜x＜4时，动角和△ABC重叠部分的图形为直角梯形PDCE

DC＝BC－BD＝2－(8－2x)＝2x－6

BDC

图2

A

PE30°

BDC

图3

∴y＝1(DC＋PE)·EC＝1(2x－6＋13532＋43x－6322x)·(4－x)＝－8x22A即y＝－53x2＋43x－63（3＜x＜4）·······8分83）能．设AP＝xⅰ）当点D在BC上时

PE30°CBD图4

若PD＝ED，如图3，则∠PED＝∠DPE＝30°，∴∠EDC＝30°

∴DC＝3－6＝3·3(4－x)2ED，∴2x2解得x＝24··························9分7若PD＝PE，如图4，则3(4－x)＝1xA2解得x＝4883·······················10分11若PE＝DE，则PE2＝DE2＝DC2＋EC2PE1330°222∴(－(4－x)]x)＝(2x6)＋[22整理得：3x2－20x＋32＝0，解得x1BCD＝4（舍去），x2＝8（舍去）3图5···························11分ⅱ）当点D在BC延伸线上时，如图5∵∠PED＞90°，∴若△PED为等腰三角形，只好PE＝DE∴∠PDE＝∠DPE＝30°，∴∠PED＝120°，∴∠CED＝30°DE＝2CD，∴1x＝2[2((4－x)－2]2

解得x＝8·········································12分3综上所述，当AP＝24或4883或8时，△PED能成为等腰三角形7113

86．（甘肃省张掖市）如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4经过△ABC的三个极点，BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，AB均分∠CAO，P是抛物线对称轴上的动点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若P在x轴下方，且△PAB是直角三角形，求点P的坐标；

（3）能否存在这样的点P，使得以P为圆心的圆既与直线AB相切，又与

坐标；若不存在，请说明原由．y

x轴相切？若存在，求出点

P的

C

B

AOx

86．解：（1）在y＝ax2－5ax＋4中，令x＝0，得y＝4，∴C（0，4）∵抛物线的对称轴为：x＝－5a＝5，∴B（5，4）2a2

又BC∥x轴，AB均分∠CAO，∴∠CAB＝∠BAO＝∠CBA[本源:学+科+网]

AC＝BC＝5········································2分

在Rt△CAO中，∵AC＝5，OC＝4，∴OA＝3

∴A（－3，0），代入y＝ax2－5ax＋4，得a＝－1··············3分6∴抛物线的解析式为y＝－1x2＋5x＋4·························4分66（2）∵点P是抛物线对称轴上的动点，故可设P（5，m）2yAB2＝(－3－5)2＋(4－0)2＝80若AB为直角边，则有(－3－5)2＋m2＋80＝(5－5)2＋(m－4)2CB22解得：m＝－11A或(－3－5)2＋m2－80＝(5－5)2＋(m－4)2Ox22P2解得：m＝7（∵点P在x轴下方，∴m＞0舍去）

P1（5，－11）······················6分2若AB为斜边，则有(－3－5)2＋m2＋(5－5)2＋(m－4)2＝8022＋71（舍去）或－71P1解得：m＝22m＝225－71）································8分∴P2（，22

3）假设存在，设P（5，y）

2

若点P在x轴上方，则∠BAO的角均分线与抛物线对称轴的交点即为P1点设抛物线对称轴与AB交于点D，与x轴交于点E由A（－3，0），B（5，4）可得直线的解析式为y＝1＋32x2∴D（5，11），∴AE＝3＋5＝11，AD＝(112＋(11)2＝115，DP1＝11－y24222)444AP1均分∠DAE，∴P1E＝AEDP1AD

11即y＝2，解得y＝115111152－11yy44CB5115，11）··············10分D∴P1（2－2P1若点P在x轴下方，则BA延伸线与x轴夹角AxOE的角均分线与抛物线对称轴的交点即为P2点易知AP2⊥AP1

P2

Rt△AP2E∽Rt△P1AE，∴P2E＝AEAEP1E

y11即2，解得y＝－115－1111＝11522112∴P2（5，－115－11）22故存在点P1（5，115－11），P2（5，－115－11），使得以P为圆心的圆既与直线AB相2222切，又与x轴相切····································12分

87．（甘肃省甘南自治州）如图1，在Rt△AOB中，OB＝8，tan∠OBA＝3，若以O为坐标原点，OA所在4

直线为x轴，建立以以下列图的平面直角坐标系，点C在x轴负半轴上，且OB＝4OC，抛物线y＝ax2＋bx＋

c经过A、B、C三点．

1）求该抛物线的解析式；

2）设抛物线的极点为D，求四边形OADB的面积；

（3）如图2，动点P、Q同时从点O出发，此中点P以每秒2个长度单位的速度沿折线OAB按O→A→B的路线运动，点Q以每秒4个单位长度的速度沿折线按O→B→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设t秒时△OPQ的面积为S．①求S关于t的函数关系式，并写yy出自变量t的取值范围；②判断在①的过程中，t为何值CACPA时，△OPQ的面积最大，最大面积OxOx是多少？

Q

B

B

D

D

图

1

图

2

87．解：（1）∵OB＝8，tan∠OBA＝3，∴OA＝34OB4y

CEAOx

OA＝3OB＝6，∴A（6，0）4

又OB＝4OC，∴OC＝2，∴C（－2，0）

设该抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－6)

把B（0，－8）代入，得：8＝a(0＋2)(0－6)，解得a＝23

∴该抛物线的解析式为y＝2(x＋2)(x6)3－即y＝2x2－8x－8·····················4分

33

2）∵y＝2x2－8x－8＝2(x－2)2－32，∴D（2，－32）33333

如图1，过D作DE⊥x轴于E

则OE＝2，DE＝32，AE＝6－2＝43

S四边形OADB＝S梯形OEDB＋S△ADE

1×(8＋32)×2＋1×4×322323

40·······················6分

3）①∵AB2＝OA2＋OB2＝62＋82＝100，∴AB＝10

设t秒时，P、Q两点相遇，则：

2t－6＋4t－8＝10，解得：t＝4（s）

点P在OA上运动的时间为：6÷2＝3（s）

点Q在OB上运动的时