概率论练习册答案第三章

习题3-1PX1和X2的概率分布分别为0202414X2P012112而且P{X1X20}1.求X1和X2的联合分布律.X21010P1P31120}0.10P2012pi·1412141于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X1和X2的联合分布律X210101401410120pi·141214p·j12121(2)注意到P{X10,X20}0,而P{X10}P{X20}10,所以X14和X2不独立.2.一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球,在其中任取4只球.以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.球有j只(余下为白球4ij只)的取法为ij4ij0,1,2,3,j0,Y2,Y,Y022C3C2C2211356635352,P{X235P{X0,Y0}P{X0,YX0Y100061016235353.设随机变量(X,Y)的概率密度为xxy),02,Y2,Y,Y111C3C2C2CC2CC2C2220C3C2C2P{X3,Y2333220x2,2y4,63322}0.求:(1)常数k;(2)P{X1,Y3};(3)P{Xf(x,y)dxdy1,得12dy012dy0k(6xy)dxk2(6y)x18.所以kP{X1,Y3}f(x,y)dxdyx1,y382821.51.5(3)P{X1.5}fX(x)dxdx2x2dyk(10y031181311311813111dy(0822Y≤4}.4y2)8k,2y)dx3y)dy.382dy02dy0(6xy)dx81(6y)x1x2dy82088288232.(4)作直线xy4,并记此直线下方区域与f(x,y)0的矩形区域(0,2)(0,4)的交集为G.即G:0x2,0y≤4x.见图3-8.因此P{XY≤4}P{(X,Y)G}xydxdyG124(6y)x1x2822[(62[(6y)(4y)82[2(4y)2[2(4y)(4824x18dy0(6xy)dx84x0(4y)]dy(4y)]dy218164223.图3-8第4题积分区域二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)kxy,x2≤y≤1,0≤x≤1,0,其它.试确定k,并求P{(X,Y)G},G:x2≤y≤x,0≤x≤1.解由1f(x,y)dxdydx2kxydyx(1x4)dx,解得k6.因而P{(X,Y)G}dxx2x6xydy3x(x2x4)dx.5.设二维随机变量(X,Y)概率密度为4.8y(2x),0≤x≤1,其它.求关于X和Y边缘概率密度.解(X,Y)的概率密度f(x,y)在区域G:0≤x≤1,0≤y≤x外取零值.f(x,y)dyx04.8y(2x)dy,0x1,其它.2.4(2x)x2,0x1,1fY(y)f(x,y)dxy4.8y(2x)dx,0y1,2.4y(34yy2),0y1,其它.6.假设随机变量U在区间[-2,2]上服从均匀分布,随机变量1,若U≤1,1,若U≤1,XY1,若U1,1,若U1.解(1)YX-11-1002113333.(2)P{XY≤1}1P{XY1}1P{X1,Y1}133.求:(1)X=2下Y布律;YX1231020030400在条件P{X≥2Y≤2}.22Yk112P{X2}P{X2}200316121613413(2)注意到P{Y≤2}P{Y1}P{Y2}0.10.3000.20.6.而P{X≥2,Y≤2}P{X2,Y1}P{X2,Y2}P{X3,Y1}P{X3,Y2}0.3000.20.5.P{X≥2Y≤2}的值.DP{X≥2,Y≤2}0.55P{Y≤2}0.66.1,xe所围成,二维随机及直线1,xe所围成,二维随机,求(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处2解由题设知D2解由题设知D的面积为SD1dxx1X,Y)的密度为f(x,y)2,由此可得关于X的边缘概率密度fX(x)2ln2lnx2.1其它.f(x,y)dy.112x.0xdyxe12x.0xdy故fX(2)1.43.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,0x1,0y1,0x1,0y2x,0,其它.求：(1)(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)；(2)P{Y≤1X≤1}.22解(1)当0x1时,fX(x)f(x,y)dyxdy2x;当x≤0时或x≥1时,fX(x)0.故fX(x)2x故fX(x)0,其它.当0<y<2时,fY(y)f(x,y)dxdx1y;22当y≤0时或y≥2时,fY(y)0.y故fY(y)12,0y2,y.(2)当z≤0时,FZ(z)0;当z≥2时,FZ(z)1;当0<z<2时,FZ(z)P{2XY≤z}f(x,y)dxdy2xy≤z故z2xz02dx01dy412xzdx2x-z12x2z1,20z1,211(3)PY≤X≤22111122PPX≤231434.4.设G是由直线y=x,y=3,x=1所围成的三角形区域,二维随机变量XYG匀分布.求:(1)由于三角形区域G的面积等于1(x,y)G,(x,y)G.(2)记区域D{(x,y)|yx≤1}与G的交集为G0,则P{YX≤1}1dxdy1SG01(21)3.0G222240SGG面积.当x[1,3]时,fX(x)dy(3x).当x1或x3时,fX(x)0.因此fX(x)(1x),x[1,3],1.设X与Y相互独立,且分布律分别为下表:XX1P2102336YP01421452561解由于X与Y相互独立,所以有XY0256(X,Y)的联合分布律1181818151121XYXY123问,为何值时X与Y相互独立?首先,由分布律求得边缘分布律YX11612913116191213αβ1,1,0;j2213121α+91β+01111pi.2i1ii133j1jj1+α+β1399解得9经检验,当29设随机变量.2919X与2319(391时,对于所有的i=1,2;j=1,2,3均有pij=pi.p.j成立.9X与Y相互独立..Y的概率密度为be(xy),0xfXxfYy.(1)由1f(x,y)dxdy001be(xy)dydxb0eydy01exdxb(1e1),得b10x1,0,其它.yfY(y)f(x,y)dxe,y0,y0,其它.(3)由于f(x,y)fX(x)fY(y)，所以X与Y相互独立.4.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的yfY(y)2e2,y0,(1)求X和Y的联合概率密度.(2)设关于a的二次方程为a22XaY0,试求a有实根的概率.解(1)由题设知X和Y的概率密度分别为fXx)1,0xye2,2y0,因X和Y相互独立,故(X,Y)的联合概率密度为yfxyfX(x)fY(y)2e2,0x1,y00,其它.(2)方程有实根的充要条件是判别式大于等于零.即4X24Y≥0X2≥Y.因此事件{方程有实根}{X2≥Y}.下面计算P{X2≥Y}(参见图3-3).P{X2≥Y}1f(x,y)dxdy0dxDyx21y20e2dy21002x2e2)dxx2x110e2dx12[(1)(0)]0.1445.图3-3第6题积分区域1.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为Y01X010.4ba若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立,求常数a,b.解首先,由题设知0.4ab0.11.由此得ab0.5.此外,P{X0}0.4a,P{XY1}P{X0,Y1}P{X1,Y0}ab0.5,P{X0,XY1}P{X0,Y1}a.PXPXY即a(0.4a)0.5.解得a0.4,b0.1.YX13Y24求随机变量Z=X+Y的分布律.解随机变量Z=X+Y的可能取值为3,5,7.Z的分布律为P{Z5}P{X1,Y4}P{X3,Y2}0.30.4070.60.54P{Z7}P{X3,Y4}0.70.4ZPZ35783.随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,求Pmax{X,Y}≤1.解由题意知,X与Y的概率密度均为,,0≤x≤3,f(x)3又由独立性,有P{max{X+Y}≤1}=P{X≤1,Y≤1}=P{X≤1}P{Y≤1}.11133而P{X≤1}=P{Y≤1}f(11133故P{max{X+Y}≤1}=111339.4.设X和Y是两个相互独立的随机变量,且X服从正态分布N(μ,2σ),Y服从均匀分布U(-a,a)(a>0),试求随机变量和Z=X+Y的概率密度.解已知X和Y的概率密度分别为fX(x)21e(2)2,x(,);fY(y)由于X和Y相互独立,所以fZ(z)fX(zy)fY(y)dy12aaa122)(zy2)e2e22a2aμa)Φ(zσμσ)].10.设随机变量X和Y的联合分布是正方形上的均匀分布,试求随机变量U=|X-Y|的概率密度解由题设知,X和Y的联合概率密度为G={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}f(u).记F(u)为U,1≤x≤3,1≤y≤3,4的分布函数,参见图3-7,则有当u≤0时,F(u)P{|XY|≤u}=0;当u≥2时,F(u)1;当0<u<2时,图3-7第8题积分区域F(u)P{U≤u}f(x,y)dxdyxy|≤u141(2412故随机变量U|XY|的概率密度为p(u)2.(2up(u)2.0,其它.0,其它.x1,解首先fX(x)2x,0x1y,0y1,fY(y)f(x,y)dx1y,1y≤0,0,其它.图3-9第1题积分区域,,yx1,0,x取其它值.,,yx1,0,x取其它值.0,y取其它值.2.设随机变量X与Y相互独立,下表列出二维随机变量(X,Y)的分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中部分数值,试将其余数值填入表中空白处.Yy1yy 2yXx1Xx18pix2x18yi}yi}161pj解首先,由于P{Yy1}P{Xx1,YP{Xx1,Yy1}P{Yy1}在此基础上利用X和Y的独立性,有yPXx2,Yy1},68124.116P{Xx2再次,利用X和Y的独立性P{Yy2}PXx1}1有y41814于是P{Yy3}1P{Yy1}P{Yy2}1最后,利用X和Y的独立性,有xxx 2,xxx Y Y 1,y2}y2}y3}14.34.12.624231434313.3;8141Yy1yy2yy3yXx11181i1i4x 2x183814341612131pjf(x,y)ke(3x4y),x0,y0,0,其它.(4)计算fx(x),fy(y)；(5)问随机变量X与Y是否相互独立?fxydxdykexdxeydy1k2,可得kkXYFxyxyfuv)dxdy.当x0,y0时,F(x,y)12e3udu0ye4vdv(1e4y).xy0,(3)P{0X≤1,0Y≤2}(4)fX(x)f(x,y)dy所以fX(x)类似地,有e3x)(1e4y),x0,y0,12edy,x12edy,x0,00,其它.3e3x,x0,4e显然f(x,y)fX(x)fY(y),(x,y)R2,4.解已知(X,Y)的分布律为Y1Xy0,故X与Y相互独立.23101261316161616111241160而P{X1,Y1}0,可见P{X=1,Y=1}≠P{X=1}P{Y=1}.因此X与Y不相互独立.(2)ZXY的可能取值为3,4,5,6,且P{Z3}P{X1,Y2}P{X2,Y1}P{Z4}P{X1,Y3}P{X2,Y2}1111126123P{Z5}P{X2,Y3}P{X3,Y2}即ZXY的分布律为Z3411P33(3)Vmax{X,Y}的可能取值为2,3,且P{V3}1P{V2}1.211661166513131.312V2311P22(4)Umin{X,Y}的可能取值为1,2,且P{X3,Y1}P{X2,Y1}2P{U2}1P{U1}1.2Umin{X,Y}的分布律为U1211P22(5)WUV的可能取值为3,4,5,且1P{W3}P{U2}P{X2}P{X32,V1P{X3}P{X1}P{X2,y2}31P{WU3}P{X2,Y3}P{X2}3W314151P333其它.f(x,y)2xy,0x1,其它.(1)求P{X>2Y};(2)求Z=X+Y的概率密度fZ(z).1解(1)P{X解(1)P{X2Y}f(x,y)dxdy02dy2y(2xy)dxx2y(2)方法一:先求Z的分布函数:FZ(z)P(XY≤Z)f(x,y)dxdy.xy≤z当0≤z<1时,FZ(z)f(x,y)dxdy1=z2-z3;3zzy00dy00xy)dx11当1≤z<2时,FZ(z)1f(x,y)dxdy1z1dyzy(2xy)dxD21=1-(2-z)3;3当z≥2时,FZ(z)=1.2zz2,0z1,fZ(z)FZ(z)(2z)2,1≤z2,0,其它.方法二:利用公式fZ(z)f(x,zx)dx:2x(zx),0x0,其它2z,0x1,xz1x,当z≤0或z≥2时,fZ(z)=0;z当0<z<1时,fZ(z)0(2z)dxz(2z);1当1≤z<2时,fZ(z)z1(2z)dx(2z)2.故Z=X+Y的