高考考前谈兵（3）调虎离山巧施转换

考前谈兵（3）调虎离山，巧施转换在深潭里，龙可以呼风唤雨，推波助澜；在崇山峻岭之中，虎可以“威震群山”，可是：“龙入浅水遭虾戏；虎落平阳被犬欺”，因此，人要与龙虎斗，就应设法使其脱离可以发威的环境.引伸到数学解题上，常有这种情形，一种题在题设的环境中显得十分难解，这是因为“虎”在群山，我们的办法则是使“虎”落平阳.数学的各个分支之间，存在着千丝万缕的联系。此处不易，转换到彼，可能就相当容易。这在兵法上叫做“调虎离山”，在数学解题中即是巧施转换。本文介绍的转换方式，主要有构造法，三角法，向量法和解析法等1.构造法【题1】设x,y,z∈R+,且a=,则在结论①a+b>c;②a+c>b;③b+c>a中，（）A.一定都成立B.一定都不成立C.至多有一个成立D.有且仅有两个成立【思考】：在“根式运算”这样的崇山峻岭之中，a,b,c都是一个个张牙舞爪的老虎，想降伏它们又何其难也，可是不能让他们远离“根式”这座高山么？式子①、②、③说到底不就是三角形的边角关系么？【解析】构造如图所示的三棱锥P—ABC，使得PA=x,PB=y,PC=z,且PA、PB、PC两两夹角均为60°,则由余弦定理：a=,b=,c=,△ABC中a+b>c,b+c>a,c+a>b,∴选A.【评注】1.在惊叹这种解法之奇妙的同时，你可能会问：你怎么这样会想？我怎么想不到呢？答曰：经验来自积累，聪明源于勤奋.如果平时每做一道题，特别是那些经典定理、公式求解的题，你都争取在头脑中留下一定痕迹，这样日积月累，必要时你也同样能够豁然开朗，运用自如.【题2】方程x1+x2+…+x50=100的正整数解的个数为（）A.CB.CC.CD.C【思考】：不可以直接方法去写出该方程的所有解，那样数不清，理还乱.有什么好的方法解决这个问题呢？【解析】设想有100个完全相同的球摆成一排，这100个球之间有99个空档，选49块隔板任意插入可将这些球按序分成50堆，则每种插入方法都得到一组50个正整数，也就相当于得到原方程的一个解.因此，原方程共有C个解，选B.【点评】：原命题是求方程正整数解的个数，转换后成为某种排列的种数。它们互相对应而且等价。将一个原本难以捉摸的数学难题变得如此易于操作，不能不惊叹“转换”的巨大威力.2.三角法【题3】函数y=的值域是（）A．(0,+∞)B.[1,]C.D.【思考】：一般想法是：平方、移项，孤立根式，再平方，可以化无理式为有理式，可是以后怎么办呢？面对一个不低于四次的含双变量的方程，其难度不敢想像.“山重水复”，得考虑转换，去寻找“柳暗花明”.【解】：由.∴设x=sin2θ,,则1-x=cos2θ,那么y=sinθ+cosθ=.当θ=0或时，ymin=1;当θ=.于是y，选B.【评注】转换是需要条件的，如果不能界定，则不能实施此种转换。虽是经转换以后的函数简洁明快，可以使人拍案叫绝.但须特别注意：转换后的函数y=内没有单调性，最大值不能在其右端点取得。3.向量法【题4】设=【解析】设则已知即同向，设。4.解析法【题5】（2016届苏州元月调考.14题）已知则的最小值为【解析1】（配凑,江苏田林老师提供）注意到同理于是【解析2】（湖北梅军提供）由题意得:说明:以上证明中用到如下公式:如此公式可以看作均值不等式的推广,也很容易证明.考场精彩【题6】（湖南曾维勇老师提供）以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，请求出此时的椭圆方程．【解析】如图，椭圆的焦点为，．点关于直线l:的对称点F的坐标为（－9，6），∵，．∴，又，∴．因此，所求椭圆的方程为．评注：本解的关键之处是点线对称变换，其中点关于直线l的对称点F（－9，6）如何快速求出？已求点，故在方程x-y+9=0中，令x=-3,得y=6;再令y=0,得x=-9.【题7】（高考题）如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是（）（A） （B） （C） （D）【解析】（解析法之1）建立如图的直角坐标系，有M（0，1），N（0，-2）设.△ABM与△CBN都是直角三角形，.代入（3）：.故选D.【题8】如图，在中，，是边上一点，，则．【解析】（解析法之2）作CO⊥B延长线于O，分别以直线OB，OC为x，y轴建立如图的直角坐标系.∵∠OAC=60°，∴有∴，【题8】若△ABC的内角A,B,C的对边依次为a,b,c.P是△ABC内一点，且满足，则点P必为△ABC的（）A.内心B.外心C.重心D.垂心【解析1】（正难则反）题设△ABC不可能是正三角形.否则其四心重合，选项不唯一.已知点P必在三角形内部，而外心和垂心都可能在三角形外部。故可排除B,D;假定P为三角形重心，则必有：代入，得，即.不妨设△ABC为不等边三角形，则有.这说明与共线，而这是不可能的.于是排除C,选A.【解析2】以下证明定理：点P是△ABC内心动充分必要条件是.1.证明必要性.如图，假定点P为△ABC内心，延长AP,BP,CP依次交BC于D,AC于E,AB于F.根据三角形角平分线的性质，且注意到与同向，于是.但是，也就是.条件必要.2.证明充分性.设P为△ABC内一点，满足.又设Q为△ABC的内心.由1知：（1）-（2）：也就是.∵∴.即P与Q必重合,∴P为△ABC的内心.评注：本题解法2比之解法1要复杂困难许多。这说明对于小题，实施正难则反的策略是十分必要的。【题9】已知函数（x∈[-8π，8π]）的最大值为M，最小值为m，则M+m=【分析】本题不可能用数据计算与推理方法直接解决.出路在考察函数的奇偶性即最值在曲线中的位置.【解析】原式变形得：令当x∈[-8π，8π]时，显然是奇函数.不论其单调性如何，其图象的最高点与最低点必关于原点对称.也就是说，如果最大值为，那么最小值必为.由此得：M+m=【题10】（武汉调考题）已知圆C：，一动直线过点A（-1，0）与圆C交于P，Q两点，M为PQ中点，与直线相交于N，则【解析2】（三角法。《结缘题根数学群》“生活美好”朋友提供）设直线,代入圆方程,整理得:,即.再代入故。【题12】（武汉调考题）函数的最大值等于（）【分析1】的表达式是关于正、余弦的3次式，超过2次的函数式求最值一般可用求导的方法解决.但是此三角函数式求导后还是关于正、余弦的异名函数不便于求最值，因此考虑进行变量代换.【解法1】.的最大值等于，选D.【分析2】各选项的分母都是27，而，故可以考虑利用3次平均值不等式求最值.但是使用平均值不等式时必须注意两点，一是参与运算的各数非负，另一是只有参与运算的个数可以相等时才可能取到最值.【解析】含有三元的均值不等式是：若.变形得：若.由于