《高等数学及应用（第4版）》-课件全套 第1-6章　函数与极限 - -多元函数微积分基础

函数与极限第1章1目录1.1函数的概念1.2初等函数1.3函数的极限1.4函数极限的运算法则1.5函数的连续性

21.1

函数的概念3实例考察思考下列实例中两个变量之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围

（用集合表示）．剩余油量设某辆家用汽车油箱中原有汽油50升，汽车每行驶100千米耗油10升，则油箱中剩余油量

y（升）与汽车行驶路程

x（千米）之间的函数关系式为y=

,自变量

x

的取值范围为

．45个人所得税按照我国税法，个人月薪应纳税部分中，不超过3000元的部分，需缴纳3％

的个人所得税，超过3000元不超过12000元的部分，需缴纳10％

的个人所得税．设某人月薪应纳税部分为

x

元（0≤x≤12000），则为此缴纳的个人所得税

y（元）与

x（元）之间的函数关系式为自变量

x的取值范围为

．集合集合

一般地，某些指定的对象组成的全体就是一个集合（简称集）．集合中的每个对象都称为这个集合的元素，集合可以用列举法或描述法来表示．通常用大写字母

A，B，C等表示集合，用小写字母

a，b，c等表示集合中的元素．如果

a

是集合

A

的元素，就说

a

属于集合

A，记作

a∈A；如果

a不是集合

A的元素，就说

a

不属于集合

A，记作

a

∉

A．6实例考察中自变量的取值范围是只涉及实数的集合，简称数集，一些常用的数集及其记法如下表：7区间对于用不等式表示的数集，还有一种更为简单的表示方法———区间．设

a，b都是实数，且

a＜b．8910邻域邻域也是常用到的一个集合概念．设

a与

δ是两个实数，且δ＞0，开区间（a－δ，a＋δ）称为

a的

δ邻域，记作

U（a，δ）（如图所示），（a－δ，a）∪（a，a＋δ）称为

a的去心

δ邻域，记作

（a，δ）（如图所示）．函数的概念函数的定义

在某一个变化过程中有两个变量

x与

y，如果对于

x

在某个非空的实数集

D

中的每一个值，按照某个对应关系（或称对应法则）f，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说

y是

x的函数，记作y=f(x)，x∈D．其中，x

称为自变量，y

称为因变量，x

的取值范围

D

称为函数的定义域，与x

的值相对应的

y

的值称为函数值．当

x

取遍

D中所有值时，所得到的函数值

y

的集合

{f

(x)丨x∈A}

称为函数的值域．11函数的表示法解析法（公式法）

用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法．列表法

用表格来表示自变量和因变量之间的对应关系的方法．图像法

在平面上用图像来表示自变量和因变量之间的对应关系的方法．12反函数

在函数关系中，自变量与因变量是相对的．设函数

y=f(x)，定义域为

D，值域为

M，如果对于

M

中的每一个

y

值

（y∈M），都可以从关系式

y=f(x)确定唯一的

x

值（x∈D）与之对应，那么所确定的以y为自变量的函数

x=f－1(y)就称为函数

y=f(x)的反函数，它的定义域为

M，值域为

D．由此定义可知，函数

y=f(x)也是函数

x=f－1(y)的反函数．1314反三角函数

正弦函数

y=sinx，x∈R是没有反函数的，但是在正弦函数

y=sinx

的一个单调区间

上，对于

y

在

[－1，1]上每一个值，x

在

上都有唯一的值和它对应，因此，函数

y=sinx，x∈有反函数．15函数

y=sinx，x∈的反函数称为反正弦函数，记作y=arcsinx，它的定义域为

[－1，1]，值域为

．类似地，函数y=cosx，x∈[0，π]的反函数称为反余弦函数，记作

y=arccosx，它的定义域为

[－1，1]，值域为

[0，π]．函数

y=tanx，x∈的反函数称为反正切函数，记作

y=arctanx，它的定义域为

R，值域为

．函数

y=cotx，x∈（0，π）的反函数称为反余切函数，记作

y=arccotx，它的定义域为

R，值域为（0，π）．反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数统称为反三角函数．16例题解析例1求下列函数的定义域：解

（1）函数的定义域根据不等式x2－2x－3≠0，解得x≠－1且

x≠3．所以函数的定义域为（－∞，－1）∪（－1，3）∪（3，＋∞）．17（2）函数的定义域根据不等式组解得所以函数的定义域为（－∞，1）∪（1，2]∪[3，＋∞）．18（3）函数的定义域根据不等式4＋x＞０，解得x＞－4．所以函数的定义域为（－4，＋∞）．（4）函数的定义域根据不等式组－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3．所以函数的定义域为

[1，3]．19例2设函数20例3求下列函数的反函数：解（1）由函数

y=x2－1（x≥0）可知

y≥－1，解得所以函数

y=x2－1（x≥0）的反函数为2122（3）由函数

y=ln(x－2)＋1（x＞2）可知

y∈R，解得x=ey－1＋2，所以函数

y=ln(x－2)＋1（x＞2）的反函数为y=ex－1＋2（x∈R）．函数的性质奇偶性设函数

y=f(x)，x∈D，定义域

D

关于原点对称，如果对于任意

x∈D，都有

f(－x)=f(x)，则称

y=f(x)为偶函数；如果对于任意

x∈D，都有

f(－x)=－f(x)，则称

y=f(x)为奇函数．不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数．23几何特征：偶函数的图像关于

y

轴对称，奇函数的图像关于原点对称（如图所示）．24周期性设函数

y=f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数

T，使得对于任意

x∈D，都有

x＋T∈D，且

f(x＋T)=f(x)，则称

y=f(x)为周期函数，T

称为这个函数的周期．对于每个周期函数来说,周期有无穷多个．如果其中存在一个最小正数

a，则规定

a

为该周期函数的最小正周期，简称周期．我们常说的某个函数的周期通常指的就是它的最小正周期．几何特征：以

T

为周期的周期函数的图像在定义域内每隔长度为

T

的区间上有相同的形状．25单调性设函数

y=f(x)，x∈D，区间

I⊆D．如果函数

y=f(x)在区间

I

内随着

x

的增大而增大，即：对于

I内任意两点

x1，x2，当

x1＜x2

时，有f(x1)＜f(x2)，则称函数

f(x)在区间

I上单调递增；如果函数

f(x)在区间I内随着

x

的增大而减小，即：对于

I

内任意两点

x1，x2，当

x1＜x2

时，有f(x1)＞f(x2)，则称函数

f(x)在区间

I

上单调递减．区间

I

称为

y=f(x)的单调区间．26几何特征：单调递增区间上的图像沿横轴正向上升，单调递减区间上的图像沿横轴正向下降（如图所示）．特别地，当函数

f(x)在它的定义域上单调递增（或单调递减）时，就称

f(x)是增函数（或减函数）．27有界性设函数

y=f(x)，x∈D，区间

I⊆D．若存在一个正数

M，对于任意

x∈I，都有│f(x)│≤M，则称函数

f(x)在区间

I上有界，否则，称

f(x)在区间

I上无界．几何特征：有界函数的图像全部夹在直线

y=M

与

y=－M之间．281.2初等函数29基本初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数．为了便于同学们复习，现将常见基本初等函数的定义域、值域、图像和性质列表如下:303132333435363738初等函数39由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并能用一个式子表示的函数，称为初等函数．否则，不是初等函数．复合函数40一般地，设

y

是

u的函数

y=f(u)，u∈B，而

u又是

x

的函数u=φ(x)，x∈A．若

φ(x)的值域

M⊆B，则

y通过

u

的联系，也是

x

的函数，称为由

y=f(u)与

u=φ(x)

复合而成的复合函数，记为y=f[φ(x)]，其中

u称为中间变量．41例题解析42例2将下列函数分解成初等函数:（1）y=3sin(2x－1)；（2）y=(2x＋3)3；（3）y=e；（4）y=ln2arcsin(ex

＋1)．43解

（1）y=3sin(2x－1)可以分解成y=3sinu，u=2x－1．（2）y=(2x＋3)3

可以分解成y=u3，u=2x＋3．（3）y=e可以分解成y=eu，u=－x2＋1．（4）y=ln2arcsin(ex

＋1)可以分解成y=u2，u=lnv，v=arcsint，t=ex

＋1．1.3函数的极限44实例考察日常生活中常用极限一词表示极限状态．所谓极限状态就是“已经没有余地了”“再不可能了”这种接近界限的描述．那数学中的极限是怎样的一种描述呢？割圆术设有一圆，求其面积，首先作内接正六边形，把它的面积记为

A1；再作内接正十二边形，其面积记为

A2；再作内接正二十四边形，其面积记为

A3；循此下去每次边数加倍，记内接正6×2n－1

边形的面积为

An（n∈N∗）．这样，就得到数列

{An}：A1，A2，A3，…，An，…．45当

n

越大，内接正多边形与圆的差别就越小从而以

An

作为圆面积的近似值也越精确．但是无论

n

取得多大，只要

n

取定了，An

终究只是正多边形的面积，而不是圆的面积．因此，设想

n

无限增大（记为n→∞，读作

n

趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时

An

也无限接近于某一确定的数值

A，这个确定的数值

A

就可以认为是圆的面积．这个确定的数值

A在数学上称为上面这个数列

{An}当n→∞时的极限．4647数列的极限

根据定义，“割圆术”中圆面积

．设有数列

{n}，如果当

n→∞时，数列

{an}的通项

an

无限接近于一个确定的常数

a，则称常数

a

为数列

{an}的极限．记作48例题解析例观察下列数列的变化趋势，写出它们的极限：解

49由上表可以看出：50函数的极限当

x→∞

时，函数

f(x)

的极限前面我们讨论了数列的极限．数列

{an}可看作自变量为

n

的函数

an=f(n)，n∈N∗．因此，数列的极限

，又可以写成也就是说，当自变量

n

取正整数且无限增大时，对应的函数值

f(n)

无限接近于一个确定的常数

a．对于一般的函数

f(x)，当它的自变量

x

的绝对值无限增大时，我们可以类似地定义．51如果当

x

的绝对值无限增大（即

丨x丨

→∞）时，函数

f(x)

无限接近于一个确定的常数

A，则称常数

A

为函数

f(x)

当

x→∞时的极限．记作值得注意的是，上述定义中“x→∞”表示

x

既可取正值而趋于无穷（记作

x→

＋∞），也可取负值而趋于无穷（记作

x→－∞）．但有时所讨论的

x

值，只能或只需取正值（或负值）趋于无穷，此时我们可以类似地给出如下定义．52如果当

x→＋∞时，函数

f(x)无限接近于一个确定的常数A，则称常数A

为函数

f(x)当

x→＋∞时的极限．记作53如果当

x→－∞时，函数

f(x)无限接近于一个确定的常数A，则称常数A

为函数

f(x)当

x→－∞时的极限．记作由上述极限的定义，可得结论：54

55例2考察下列函数的极限：解（1）由图a可以看出，（2）由图b可以看出，56例3考察当

x→∞时，函数

y=arccotx

的极限．解由图可知，57当

x→x0时,函数

f(x)

的极限值得注意的是，上述定义中“x→x0”表示

x

可以以任意方式趋近于x0，但有时所讨论的

x值，只能或只需从

x0

的左侧趋近于

x0（记作

x→x0－）或从

x0

的右侧趋近于

x0（记作

x→x0＋

），此时我们可以类似地给出如下定义．如果当

x

无限接近于定值

x0（即

x→x0）时，函数

f(x)

无限接近于一个确定的常数A，则称常数A

为函数

f(x)

当

x→x0

时的极限．记作58如果当

x→x0－

时，函数

f(x)

无限接近于一个确定的常数A，则称常数A

为函数

f(x)

当

x→x0时的左极限．记作如果当

x→x0+

时，函数

f(x)

无限接近于一个确定的常数A，则称常数A

为函数

f(x)

当

x→x0时的左极限．记作由上述极限的定义，可得结论：59例题解析60无穷小与无穷大无穷小

注意:（1）无穷小是以零为极限的变量，任何一个很小常数都不是无穷小．（2）常数中只有零可以看作无穷小．（3）不能笼统地说某个函数是无穷小，必须指出自变量的变化过程．因为无穷小是用极限来定义的，在自变量的某个变化过程中的无穷小，在另一个变化过程中则不一定是无穷小．61如果当

x→x0（或

x→∞）时，函数

f(x)

的极限为零，则称函数

f(x)

为当

x→x0（或

x→∞）时的无穷小．函数极限与无穷小的关系一般地，函数、函数极限与无穷小三者之间具有如下的关系．62若函数的极限存在，则该函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可以表示为常数与无穷小之和，则常数就是这个函数的极限．即其中，α是当

x→x0（或

x→∞）时的无穷小．无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下性质．性质1有限个无穷小的代数和仍为无穷小．性质2有限个无穷小的乘积仍为无穷小．性质3无穷小与有界函数的乘积为无穷小．推论常数与无穷小的乘积为无穷小．6364例题解析例利用无穷小的性质，计算下列极限：65无穷大当

x→x0（或

x→∞）时的无穷大的函数

f(x)

，按函数极限的定义来说，极限是不存在的．但为了便于叙述函数的这一特征，我们也称“函数的极限是无穷大”，并记作如果当

x→x0（或

x→∞）时，函数

f(x)

的绝对值无限增大，则称函数

f(x)

为当

x→x0(或

x→∞)时的无穷大．66如果当

x→x0（或

x→∞）时，函数

f(x)

大于零且无限增大，这时可记作如果当

x→x0（或

x→∞）时，函数

f(x)

小于零但绝对值无限增大，这时可记作67注意:（1）无穷大是变量,任何一个绝对值很大的常数都不是无穷大．（2）说一个函数是无穷大，必须同时指出自变量的变化过程．无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化过程中，如果函数

f(x)

为无穷大，则函数

为无穷小；反之，如果函数

f(x)

为无穷小，且

f(x)

≠0，则函数

为无穷大．1.4函数极限的运算法则6869实例考察利用极限的定义，求出下列极限．函数极限的四则运算法则70在自变量的同一变化过程中，若lim

f(x)

=A，limg(x)=B，则（1）lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B;（2）lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB;∙∙71以上法则都可以利用函数极限与无穷小的关系来证明．下面我们只证明法则（2），其余的由同学们自己证明．证明由函数极限与无穷小的关系，得f(x)=A＋α，g(x)=B＋β，其中

α，β

都是自变量在同一变化过程中的无穷小，于是f(x)g(x)=(A＋α)(B＋β)=AB＋(Aβ＋Bα＋αβ)．由无穷小的性质可知，Aβ＋Bα＋αβ也是无穷小．再根据函数极限与无穷小的关系知道，lim[f(x)g(x)]=AB．∙∙72推论若lim

f(x)

=A，C

为常数，n

为正整数，则（1）limC

f(x)

=Clim

f(x)

=CA；（2）lim[

f(x)

]n=[lim

f(x)

]n=An．注意：只有当运算中所涉及的函数极限都存在，且分母的极限不为零时，才能用极限的四则运算法则求极限，否则法则不能使用．73例题解析74由例2可以看出，对于有理分式函数当

x→x0

时的极限，只要分母的极限不为零，也等于该函数在

x0

处的函数值．75例3求下列极限：分析由于分子、分母的极限都为零，所以不能直接用商的极限法则．此时可作适当变形，找出分子、分母中真正的“零因子”，由函数的定义可知：分母中的零因子不为零，这样可先约去“零因式”，再计算极限．7677例4求下列极限：分析由于分子、分母的极限都不存在，所以不能直接用商的极限法则．此时，考虑到当

x→∞时，

是无穷小，先将分子、分母同除以

x

的最高次幂，再求极限．7879由例4可得到如下结论：80例5求下列极限：81复合函数的极限运算法则前面已经得到，对于多项式函数和有理分式函数

f(x)，只要

f(x0)存在，则函数

f(x)当

x→x0

时的极限，等于该函数在

x0

处的函数值

f(x0)．事实上，一切基本初等函数在其定义域内的每一点处同样具有这样的性质，即如果

f(x)是基本初等函数，定义域为

D，x0∈D，则82下面给出一个复合函数的极限运算法则．83设函数

u=φ(x)

满足

，而函数

y=f(u)在点u=a

处有定义，且

f(a)，则复合函数

y=f[φ(x)]当

x→x0

时极限也存在，且等于

f(a)，即84例题解析例求下列极限：8586两个重要极限第一个重要极限考察当

x→0时，函数

的变化趋势如下表：由表我们可以看出，当

x→0时，函数

无限接近于常数1，即注意:（1）第一个重要极限是“

”型．（2）形式必须一致，即在

x

的同一个变化过程中，

中的两个φ(x)是同一个无穷小．（3）第一个重要极限也可以写成

．8788例题解析例1求下列极限：899091第二个重要极限考察当

x→∞时，函数

的变化趋势如下表：92由表可以看出，当

x→－∞或

x→＋∞时，函数

的值越来越接近一个确定的常数2.71828…这个确定的常数用e来表示，即在上式中令

，则

x→∞时，t→0，于是上式可变成

，即注意:（1）第二个重要极限是“1∞”型．（2）形式必须一致，即在x

的同一个变化过程中，[1＋φ(x)]中的两个

φ(x)是同一个无穷小．93例题解析例2．94例3求下列极限：9596无穷小的比较两个无穷小的商的各种极限情况，反映了分子、分母的无穷小趋于零的“快慢”程度的不同．为了对无穷小趋于零的快慢有一个定性的准确的描述，我们引出“无穷小的阶”的概念．97设

α

与

β

是当

x→x0

时的两个无穷小．（1）如果

，

则称当

x→x0

时，β是比

α

高阶的无穷小，记作

β=o(α)；（2）如果

，则称当

x→x0

时，β是比

α

低阶的无穷小；（3）如果

，则称当

x→x0

时，β与

α

是同阶无穷小．特例，如果

时，则称

β

与

α

是等价无穷小，记作当

x→x0

时，β~α．98对于等价无穷小,有下列性质．定理当

x→x0

时，α~α′，β~β′，且

存在，则这个定理表明，求两个无穷小之比的极限时，分子、分母都可以用等价无穷小来代替，这样可以使计算简化，但当分子或分母是若干项无穷小的和或差时，则一般不能对其中某一项无穷小作等价代换．99例题解析例求下列极限：解

（1）因为当

x→1时，sin(x－1)~x－1，所以100（2）因为当

x→0时，tan6x~6x，tan3x~6x，所以（3）因为当

x→0时，ln(1－2x)~－2x，所以（4）因为当x→0时，e2x

－1~2x，arctanx~x，所以1.5函数的连续性101102实例考察通过极限的运算，我们可以知道，当

x→x0

时，函数

f(x)的极限有三种情形．请你观察对应函数的图像，看它们有什么不一样．情形1不存在．情形2存在，但不是

f(x0)（或

f(x0)不存在）．情形3存在，且是

f(x0)．函数连续性的概念函数的增量设

x0

是一个定点，当自变量从初值

x0

变化到终值

x

时，我们称自变量终值与初值的差

x－x0

为自变量的增量（或自变量的改变量），记作Δx，即Δx=x－x0，从而有x=x0＋Δx，即

x0＋Δx也表示自变量的终值．103设函数

y=f(x)在点

x0

的某邻域内有定义，当自变量从

x0

变化到

x0＋Δx时，即自变量

x

在

x0

处有增量Δx

时，函数

y=f(x)的值相应地从

f(x0)变到

f(x0＋Δx)也产生了一个改变量，我们把Δy=f(x0＋Δx)－f(x0)称为函数

y=f(x)在点

x0

处的增量．104函数在一点处的连续性在几何上，函数的增量表示当自变量从

x0

变化到

x0＋Δx时，曲线上对应点的纵坐标的增量（如图所示）．105函数在点

x0

处连续，在几何上表示为函数图像在

x0

附近为一条连续不断的曲线．从上图可以看出，当自变量的增量

Δx

趋近于0时，函数的增量Δy

也趋近于0．106设函数

y=f(x)在点

x0

的某邻域内有定义，如果当自变量

x

在

x0

处的增量Δx

趋近于零时，函数

y=f(x)相应的增量Δy=f(x0＋Δx)－f(x0)也趋近于零，即则称函数

y=f(x)在点

x0

连续，x0

称为函数

y=f(x)在的连续点．由于

x=x0＋Δx，因此Δx→0就是

x→x0；Δy→0就是

f(x)→f(x0)．由此，函数

y=f(x)在点

x0

处连续的定义也可叙述如下：107设函数

y=f(x)在点

x0

的某邻域内有定义，如果则称函数

y=f(x)在点

x0

连续．108例题解析例1讨论下列函数在指定点处的连续性：109解

（1）因为

f(1)不存在，所以函数

f(x)在

x=1处不连续．（2）因为

f(1)=2，且因此

，所以函数

f(x)在

x=1处连续．（3）因为

f(0)=0，且因此

不存在，所以函数

f(x)在

x=0处不连续．110（4）因为

f(1)=2，且因此

，所以函数

f(x)在

x=0处不连续．（5）因为

f(0)=0，且所以函数

f(x)在

x=0处连续．111例2设函数在点

x=0处连续，求a，b的值．解由于

f(0)=2，要使

f(x)在

x=0处连续，应有112从而有函数在区间上的连续性如果函数

f(x)在点

x0

处有则称函数

y=f(x)在点

x0

左连续（或右连续）．如果函数

f(x)在开区间（a，b）内每一点处均连续，则称函数

f(x)在开区间（a，b）内连续，区间（a，b）称为函数

f(x)的连续区间．如果函数

f(x)在开区间（a，b）内连续，且在左端点

a

处右连续，在右端点

b

处左连续，即则称函数

f(x)在闭区间

[a，b]

上连续．113函数的间断点114设函数

y=f(x)在点

x0

的某个去心邻域内有定义，如果函数

f(x)在

x0

处不连续，则称函数

y=f(x)在点

x0

处是间断的，并称

x0

为函数

y=f(x)的间断点（或不连续点）．由函数

f(x)在点

x0

处连续必须满足的三个条件可知，当函数

x0

出现下列三种情形之一时，x0

就为函数

y=f(x)的间断点．（1）

f(x0)不存在，即函数

f(x)在点

x0

处无定义；（2）

f(x0)存在，但

不存在；（3）

f(x0)存在，且

也存在，但

．115设

x0

为函数

x0

的一个间断点，如果当

x→x0

时，

f(x)的左、右极限都存在，则称

x0

为函数

f(x)的第一类间断点，否则，称

x0

为函数

f(x)的第二类间断点．116初等函数的连续性根据函数在一点的连续的定义和函数极限的四则运算法则，我们可以得到以下结论．定理1

（连续函数的四则运算法则）如果函数

f(x)和

g(x)在点

x0

处连续,则它们的和、差、积、商（分母在

x0

处不等于零）也都在

x0

处连续，即117定理2

（复合函数的连续性）如果函数

u=φ(x)

在点

x0

连续，且φ(x0)=u0，而函数

y=f(u)

在点

u0

连续，则复合函数

y=f[φ(x)]

在点

x0

也连续．由基本初等函数的连续性、连续的四则运算法则及复合函数的连续性可得到以下结论．定理3一切初等函数在其定义域内都是连续的．118例题解析例

利用函数的连续性求极限：119闭区间上连续函数的性质在闭区间上的连续函数具有一些重要的特性，下面将不加证明直接予以介绍．定理4（最大值和最小值定理）如果函数

f(x)在闭区间

[a，b]

上连续，则函数

f(x)在闭区间[a，b]

上必有最大值和最小值（如图所示）．120定理5（介值定理）如果函数

f(x)在闭区间

[a，b]

上连续，则它在[a，b]

上能取得介于最大值和最小值之间的任何数．推论

（零点定理）如果函数

f(x)在闭区间

[a，b]

上连续，且

f(a)与

f(b)异号，则在开区间（a，b）内至少存在一点

ξ，使得

f(ξ)=0.推论的几何意义是：如果闭区间

[a，b]

上的连续函数

f(x)在端点处的函数值异号，则函数

f(x)的图像与

x

轴至少有一个交点（如图所示）．121例题解析例证明方程

x5－3x=1在区间（1，2）内至少有一个实数根．证设函数

f(x)=x5－3x－1，x∈[1,2]，因为函数

f(x)在闭区间[1，2]上连续，并且

f(1)=1－3－1=－3＜0，

f(2)=25－6－1=25＞0，所以根据推论可知，函数

f(x)在（1，2）内至少存在一点

ξ，使得

f(ξ)=0，即ξ5－3ξ－1=0，ξ∈（1，2）．这个等式说明，方程

x5－3x=1在区间（1，2）内至少有一个实根．导数与微分第2章122目录2.1导数的概念2.2导数的运算法则2.3微分及应用1232.1

导数的概念124实例考察创立微积分的原始灵感来自试图去理解运动物体的瞬时速度（速率）与位移（路程）、时间的关系和曲线上某一点处的切线斜率的问题．因此，我们就从这两个实例开始研究，之后再回到函数中去．变速直线运动的瞬时速度一辆汽车从上海出发，经过3小时（沿沪蓉高速）行驶到达南京，行程共计300千米．显然，这辆汽车的平均速度是100千米/小时，但我们并不能确定这辆汽车有没有超速（沪蓉高速小车限速120千米/小时）．因为在行驶过程中，汽车的行驶速度不可能始终保持不变，总会有快有慢，那么我们怎么才能知道这辆汽车在某一时刻的速率有没有超过120千米/小时呢？125126我们将汽车当作一个质点来看，将一段路径当作直线，以

t

表示时间，s表示质点在这段路径上的位移，则

s

是时刻

t

的函数：s=s(t)（称为位移函数），如图所示．当时间

t从时刻

t0

变到

t0＋Δt

（即汽车从点A0

行驶到点

A1）时，质点所走过的位移Δs=s(t0＋Δt)－s(t0)．127若质点做匀速直线运动，则速度是一个常数，其表达式为这就是质点在时刻

t0

的瞬时速度v(t0)．现质点做变速直线运动，在不同时刻，质点的运动速度可能不同，因此仅表示质点从时刻

t0

变到

t0＋Δt

这一段时间内的平均速度，可记作

，即128一般地，当

|Δt|很小时，质点在这段时间间隔内的平均速度

可近似地反映质点在

t0

时刻的瞬时速度v(t0)，并且

|Δt|越小，平均速度

就越接近

v(t0)．当Δt→0时，平均速度

就无限地接近于质点在时刻

t0

的瞬时速度，即也就是说，质点运动的瞬时速度就是位置函数的增量Δs

与时间增量Δt

的比值在时间增量

Δt

趋于零时的极限．平面曲线上某点处切线的斜率在初等数学中，并没有给曲线的切线一个很明确的定义，只是说它是与曲线只有一个交点的直线，事实上，这种说法只适用于少数几种曲线，如圆、椭圆等．在这里我们给出曲线切线的明确定义．定义

设点

A

是曲线

L

上一个定点，点

B

是曲线

L

上的动点，作割线

AB，当点

B

沿曲线

L无限接近点

A

时，如果割线

AB

无限接近某一条固定的直线

AT，则称直线

AT

为曲线

L

在点

A

处的切线．129设曲线

L

为函数

y=f(x)的图像（如图所示），在点

A(x0，y0)处的附近取一点

B(x0＋Δx，y0＋Δy)，那么割线AB

的斜率为130如果当点B

沿曲线L

无限趋向于点A

时，割线AB

的极限位置AT

存在，即点A

处的切线存在，此时Δx→0，θ→α，割线斜率趋于切线AT

的斜率tanα，即也就是说，曲线

y=f(x)在点A

处切线的斜率就是曲线在

A

处纵坐标的增量Δy

与横坐标的增量Δx

的比值当Δx→0时的极限．131132导数的概念函数在某一点处的导数

设函数

y=f(x)在点

x0

的某邻域内有定义，当自变量

x

在点

x0

处有增量Δx

时，相应地，函数

y

有增量Δy=f(x0＋Δx)－f(x0)，如果极限存在，则称函数

y=f(x)在点

x0

处可导，并称此极限值为函数

y=f(x)在点

x0

处的导数，记作

f′(x0)或

或

，即如果上述极限不存在，则称函数

y=f(x)在点

x0

处不可导．133函数增量与自变量增量之比

是函数在Δx

区间上的平均变化率，而导数

f′(x0)则是函数

y=f(x)在点

x0

处的瞬时变化率，它反映了函数

y=f(x)在点

x0

处变化的快慢程度．根据导数的定义，实例考察中的两个实例用导数的概念可表述如下：（1）变速直线运动的物体在时刻

t0

的瞬时速度，就是位移

s=s(t)

在

t0

处对时间

t

的导数，即134（2）在直角坐标系中，曲线

y=f(x)

在点

A(x0，y0)

处的切线斜率，就是纵坐标

y=f(x)

在点

x0

处对横坐标

x

的导数，即函数

y=f(x)

在点

x0

处的导数

f′(x0)也可表示为135例题解析例1求函数

f(x)=x2－1在点

x0=2处的导数，即

f′(2)．解法一

函数在

x0=2处的增量为136解法二

137函数在某一点处的左、右导数若比值

在点

x0

处的左极限

存在，则称此极限值为

f(x)

在点

x0

处左导数，记为

．若比值

在点

x0

处的左极限

存在，则称此极限值为

f(x)

在点

x0

处左导数，记为

．函数

y=f(x)

在点

x0

处可导的充分必要条件是

f(x)

在该点的左、右导数都存在且相等．138函数的导数如果函数

y=f(x)

在开区间（a，b）内的每一点处都可导，则称函数y=f(x)

在（a，b）内可导．这时，对于（a，b）内的每一个确定的

x，都对应着唯一确定的函数值

f′(x)，于是就确定了一个新的函数，这个新的函数称为函数

y=f(x)

的导函数，简称导数，记作

f′(x)或

，且显然，函数

y=f(x)

在点

x0

处的导数

f′(x0)

就是导数

f′(x)

在点

x=x0

处的函数值，即139例题解析例2设

f(x)=C

（C

为常数），求

f′(x)．解

即

C′=0．140例3求

f(x)=x2的导数．解

利用二项式定理可以把例3推广到

xn

（n为整数）的导函数：(xn)′=nxn－1．当

n

为任意实数

α

时，上式仍成立，即(xα)′=αxα－1．141例4求函数

f(x)=sinx

的导数及

．解

142143例5求函数

f(x)=ex

的导数．解

即(ex)′=ex

．144例6求函数

f(x)=lnx

的导数．解

即导数的几何意义由切线问题的讨论及导数的定义可以知道，函数

y=f(x)

在点

x0处的导数f′(x0)在几何上表示曲线

y=f(x)在点A（x0，f(x0)）处的切线的斜率（如图所示），即k=tanα=f′(x0)．145146过切点A（x0，f(x0)）且垂直于切线的直线称为曲线

y=f(x)在点A（x0，f(x0)）处的法线．如果

f′(x0)存在，则曲线

y=f(x)在点A

处的切线方程为y－f(x0)=f′(x0)(x－x0),法线方程为147例题解析例7

求曲线

y=ex

在点（1，e）处的切线方程与法线方程．解

由

y′=(ex)′=ex,得到曲线

y=ex

在点（1，e）处的切线斜率和法线斜率分别为因此，所求的切线方程为y－e=e(x－1)，即y=ex．148法线方程为即149可导与连续的关系定理如果函数

y=f(x)在点

x0

处可导，则函数

y=f(x)在点

x0

处连续．证函数

y=f(x)在点

x0

处可导，即

存在，其中Δy=f(x0＋Δx)－f(x0)，得到所以，函数

y=f(x)在点

x0

处连续．值得注意的是，即使函数

y=f(x)在点

x0

处连续，函数

y=f(x)在点

x0

处也不一定可导．150例题解析例1

讨论函数

在

x=1处的连续性与可导性．分析

x=1是分段函数的分界点，讨论其连续性与可导性时，一般情况下，需对其左右两侧的情况分别加以讨论．解

（1）先讨论连续性．因为

f(1)=1，且即所以，

，即函数

f(x)在点

x=1处连续．151（2）再讨论可导性．所以，函数

f(x)在点

x=1处连续，但不可导．152例2

若函数

在

x=2处可导，求

a，b的值．解

由函数

f(x)在

x=2处可导可知，函数

f(x)在

x=2处必连续，则应有即153从而有

b=4－2a．又由函数

f(x)在

x=2处可导，可知

f′－

(2)=f′＋

(2)，且因此

a=4，b=－4．2.2导数的运算法则154函数的和、差、积、商的求导法则设函数

与

v=v(x)在点

x

处均可导．下面我们来考察它们的和y=u(x)＋v(x)

在点

x

处的导数．当自变量在

x

处有增量Δx

时，函数

u=u(x)，

v=v(x)及

y=u(x)＋v(x)

相应地分别有增量Δu，Δv，Δy．因为Δy=[u（x＋Δx）＋v（x＋Δx）]－[u（x）＋v（x）]=[u（x＋Δx）－u（x）]＋[v（x＋Δx）－v

（x）]=Δu＋Δv，155156所以由于函数

u=u(x)与

v=v(x)在点

x

处均可导，即因此，有

y′=u′＋v′，这表明函数

y=u(x)＋v(x)在点

x

处也可导，即（u＋v）′=u′＋v′．实际上，我们也可推出它们的差、积、商（分母不等于0）在点

x

处可导．157设函数

u=u(x)与

v=v(x)在点

x

处均可导，则它们的和、差、积、商（当分母不为零时）在点

x

处也可导，且有法则

Ⅰ（u±v）′=u′±v′；法则

Ⅱ（uv′）=u′v＋uv′，特别地，（Cu)′=Cu′；法则

Ⅲ158例题解析159例2

设

f(x)=xex

，求

f′(x)及

f（1）．解

f′(x)=x′ex＋x(ex)′=ex＋xex=(1＋x)ex

．f′（1）=(1＋1)e1=2e．160例4

设

y=tanx，求y′．解

同理可得(cotx)′=－csc2x．161例5

设

y=secx，求

y′．解

同理可得（cscx）′=－cscxcotx．例6

设

y=logax(a＞0，a≠1)，求

y′．

解

复合函数的求导法则利用函数的四则运算的求导法则和一些基本初等函数的导数公式，可以来求一些简单的函数的导数，对于复合函数的求导问题，我们有如下重要的求导法则．162设函数u=φ(x)

在点x

处可导，而函数

y=f(u)在对应的点

u

处可导，则复合函数

y=f[φ(x)]在点

x

处也可导，且有163例1

设

y=e2x

，求y′．解

y=e2x

由

y=eu

和

u=2x

复合而成，因此y′=y′u·u′x=eu·2=2e2x

．例2

设

y=(x2－2x＋3)20，求

y′．

解

y=(x2－2x＋3)20由

y=u20

和

u=x2－2x＋3复合而成，因此y′=y′u·u′x=20u19·

(2x－2)=40(x－1)(x2－2x＋3)19．例3

设

y=lnsinx，求

y′．

解

y=lnsinx

由

y=lnu

和

u=sinx复合而成，因此通过上面的例子可知，复合函数求导的关键，在于首先把复合函数分解成初等函数，然后运用复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算．注意求导之后应该把引进的中间变量代换成原来的自变量．对复合函数分解比较熟练后，就不必再写出中间变量，只要明确中间变量所对应的函数表达式，运用复合函数的求导法则，逐层求导．复合函数求导法可推广到两个以上中间变量的情形．164165例题解析=cot2x·2=2cot2x．166三个求导方法隐函数求导法我们此前遇到的函数都是用

y=f(x)

这样的形式来表示的，这种方式表示的函数称为显函数．但有些函数不是以显函数的形式出现的，这些二元方程也可以表示一个函数，这样的函数叫作隐函数．求隐函数的导数，并不需要先把隐函数化为显函数（事实上，有些隐函数是不能显化的），而是可以利用复合函数的求导法则，将二元方程的两边同时对

x

求导，并注意到

y

是

x

的函数，就可直接求出隐函数的导数

y′．167168例题解析例1

求由方程ex－ey=xy

所确定的隐函数的导数

y′．解将方程两边同时对

x

求导，得ex－ey·y′=y＋xy′,所以169例2

求圆x2＋y2=25上一点P（3，4）处的切线方程．

解

将方程两边同时对

x

求导，得2x＋2y·y′=0，所以从而得到切线的斜率为因此，所求切线方程为

，即3x＋4y－25=0．170例3

求指数函数

y=ax

（a＞0，a≠1）的导数．

解

将指数函数写成对数函数的形式x=logay，上式两边同时对

x

求导，得所以y′=ylna=axlna．即(ax)′=axlna．171例4

求反正弦函数

的导数．

解

将反正弦函数写成正弦函数的形式上式两边同时对

x

求导，得1=cosy·y′，所以172173至此，我们已经把基本初等函数的导数公式全部推出，为了方便查阅，汇总如下．对数求导法在求导运算中，常会遇到这样两类函数的求导问题，一是幂指函数y=[f(x)]g(x)，二是由一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数．对这样的函数，可先对等式两边取自然对数，把函数变成隐函数的形式，然后再利用隐函数求导法求出结果．下面举例说明这种方法．174175例题解析例5

求函数

y=(x－1)sinx

(x＞1)的导数．

解

将等式两边取自然对数，得lny=ln(x－1)sinx，即lny=sinx·ln(x－1)，上式两边同时对

x

求导，得所以176例6

求函数

的导数．

解

将等式两边取自然对数，得上式两边同时对

x

求导，得所以177参数方程求导法在平面解析几何中，我们学过参数方程，它的一般形式为一般地，上述方程组确定的

y

与

x

之间的函数关系称为由参数方程所确定的函数

y=f(x)．178例题解析例7

求由参数方程

所确定的函数的导数

．

解

例7

已知曲线参数方程为

曲线在

t=1处的切线方程和法线方程．解

179当

t=1时，切点为

P0（0，－0），得到曲线在点

P0

处的切线斜率和法线斜率分别为因此，所求的切线方程为即x＋2y＋4=0．法线方程为y＋4=2(x－4)，即2x－y－12=0．高阶导数设物体做变速直线运动,它的位移函数为

s=s(t)，则它的瞬时速度为v=s′(t)．此时，若速度

v

仍是时间的函数，我们可以求速度

v=v(t)

对时间

t的导数（即速度对时间的变化率），得到物体的瞬时加速度a=v′(t)=[s′(t)]′,它是位移函数的导数的导数．这种导数的导数称为

s=s(t)对时间

t

的二阶导数．180181一般地，函数y=f(x)的导数y′=f′(x)仍是

x

的函数．如果函数

y′=f′(x)仍是可导的，则把

y′=f′(x)的导数称为函数

y=f(x)的二阶导数，记作

y″或

f″(x)或

，即y″=(y′)′或

f″(x)=[f′(x)]′或类似地，如果函数

y=f(x)的二阶导数

y″的导数存在，这个导数就称为函数

y=f(x)的三阶导数，记作

y‴或

f‴(x)

或

．一般地，如果函数

y=f(x)的

n－1阶导数的导数存在，这个导数就称为函数

y=f(x)的

n

阶导数，记作

y(n)

或

f(n)(x)或

．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数，相应地，称

y′=f′(x)为一阶导数．182183例题解析例1

求下列函数的二阶导数：（1）y=2x2－x＋3；

（2）y=exsinx．解

（1）

y′=4x－1,

y″=4．（2）

y′=exsinx＋excosx=ex(sinx＋cosx),

y″=ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)=2excosx．184例2

求下列函数的

n

阶导数：（1）y=ax

；

（2）y=eax

．解

（1）y′=axlna，y″=ax(lna)2，y‴=ax(lna)3，…

通过数学归纳法，可以得到下面的结果：y(n)=ax(lna)n．（2）

y′=eax·a=aeax

，y″=aeax·a=a2eax

，y‴=a2eax·a=a3eax

，…通过数学归纳法，可以得到下面的结果：y(n)=aneax

．2.3微分及应用185实例考察在实践中常会遇到与导数密切相关的一些问题，需要考察与估算函数的增量Δy，特别是当自变量的增量Δx

很小时函数的增量Δy．我们先来观察下面两个实例

．金属薄片

设一个边长为x

的正方形金属薄片，由于温度的变化，其边长由x0

变为x0＋Δx（如图所示），此时薄片的面积A

改变了多少?186正方形薄片受温度影响所改变的面积，可以看成是当自变量

x

在

x0

处有增量Δx

时，面积函数

A=x2

相应的增量ΔA=(x0＋Δx)2－x02=2x0Δx＋(