三节函数极限市公开课金奖市赛课一等奖课件

第三节函数极限一、函数极限定义二、函数极限性质返回第1页第1页1、自变量趋于有限值时函数极限

或定义1设函数f(x)在点x0某一去心邻域内有定义，假如存在常数A,对于任意给定正数ε（无论它多么小），总存在正数δ,使得当x

满足不等式0<|x－x0|<δ时，相应函数值f(x)都满足不等式，|f(x)－A|<ε那末常数A就叫做函数f(x)当x→x0时极限，记作注1）语言表述当时有则一、函数极限定义第2页第2页2）表示时有无极限与

有无定义没相关系.3）任意给定后，才干找到，依赖于，且越小，越小.4）不唯一，也不必找最大，只要存在即可.第3页第3页几何意义

假如函数f(x)当x→x0时极限为A,以任意给定一正数ε,作两条平行于x轴直线y=A+ε和y=A-ε,存在点x0δ邻域(x0-δ,x0+δ),当x在邻域(x0-δ,x0+δ)内,但x≠x0时,曲线y=f(x)上点(x,f(x))都落在两条平行线之间。第4页第4页例1证实(C为常数)证当时,成立,例2证实证取当时,成立,第5页第5页证函数在点x=1处没有定义.例3证实要使只要取当时,就有第6页第6页证例4当时,要使取当时,就有只要且不取负值.第7页第7页结论:函数f(x)当x→x0时极限存在充足必要条件是左极限与右极限均存在且相等，即左极限和右极限当自变量x从x0左(或右)侧趋于x0时，函数f(x)有极限A，则称A为函数f(x)当x→x0时左(右)极限，记作或第8页第8页例5函数当时极限不存在.证当时左极限而右极限由于左极限和右极限存在但不相等,因此不存在.yOx-11第9页第9页小结注：分段函数分点处极限，要分别求左极限和右极限.证实函数极限不存在办法是:(1)证实左极限与右极限至少有一个不存在(2)或证实左极限和右极限均存在,但不相等第10页第10页2、自变量趋于无穷大时函数极限定义2设函数f(x)当|x|不小于某一正数时有定义.假如存在常数A,对于任意给定正数ε（无论它多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式|x|>X时，相应函数值f(x)都满足不等式|f(x)－A|<ε,那么常数A就叫做函数f(x)当x→∞时极限，记作或注1）语言表述当时有则第11页第11页2）方式有两种也许：（且无限增大）当时有则（且无限增大）则当时有3）且若或不存在,则不存在.若,则不存在.第12页第12页假如函数f(x)当x→∞时极限为A，以任意给定一正数ε,作两条平行于x轴直线y=A-ε和y=A+ε,则总存在一个正数X，使得当x<－X或x>X时，函数y=f(x)图形位于这两条直线之间.几何意义第13页第13页例6证实因这个不等式相称于或由此可知,假如取那么当时,不等式成立,证毕.直线y=0是函数图形水平渐近线.证要证当时,不等式成立.第14页第14页普通地说,假如,则直线y=c

是函数图形水平渐近线.返回第15页第15页二、函数极限性质定理1（函数极限唯一性）函数f(x)当x→x0时极限存在，则极限必唯一.定理2

（函数极限局部有界性）假如则存常数M>0和δ>0,使得当时,有|f(x)|≤M.证由于因此取则当时,有记则定理2取得证实.第16页第16页定理3(函数极限局部保号性)定理3ˊ某一去心邻域，当x∈时，就有假如，那末就存在着x0假如,并且A>0(或A<0),那么就存在常数,使得当

时，有f(x)>0（或f(x)<0）.证:就A>0情形证实.取则当时,有第17页第17页推论:

假如在x0某一去心邻域内f(x)≥0（或f(x)≤0），并且 ，那么A≥0（或A

≤0）定理4(函数极限与数列极限关系)假如极限存在,为函数f(x)定义域内任一收敛于数列,且满足:,那么相应函数值数列