2022-2023学年初中数学竞赛专题专讲《线段的比、积、幂》

2023学年初中数学竞赛专题专讲及练习（41）线段的比、积、幂一、内容提要一．有关线段的比、积、幂的主要定理比例的基本性质：合比，等比定理（略）平行线分线段成比例定理（即平行截线定理）的推论DE∥BC推广到：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例a∥b相似多边形性质：对应线段成比例，面积比等于相似比的平方直角三角形中成比例线段定理（射影定理）三角形内（外）角平分线性质在△ABC中∠1＝∠2圆中成比例线段定理（即圆幂定理）若ABCD四点共圆，AB、CD交于P，则PA×PB＝PC×PD＝PT2（PT切圆于T）三角形、平行四边形面积公式（略）8.正弦定理：在△ABC中，二．要运用相似三角形证明线段的积、幂，一般应把积、幂先化为比例式，然后由它来找相似三角形。有时还要用等线段或等比代换。二、例题过四边形ABCD的对角线交点O画CD的平行线，分别与边BC，AD及AB的延长线交于E，F，G求证：GO2=GEGF证明：设DC，AB的延长线相交于H，∵FG∥DH，从过点B的线束被平行线截得从过点A的线束被平行线截得∴即GO2＝GEGF例2.已知：CD是Rt△ABC斜边上的高，角平分线AE交CD于F求证：CE2＝DF×BE分析：要CE2＝DF×BE成立，应证可证CE＝CF（等角对等边），即证根据角平分线性质可得，只要AC2＝ABAD这符合直角三角形中成比例线段定理证明（略）例3.已知：△ABC中最大角A是最小角C的2倍，三边长是连续整数求：△ABC的各边长解：设AC为x,则AB是x-1,BC为x+1延长CA到D使AD=AB，连结BD，BA则∠D＝∠1∵∠BAC＝∠1＋∠D＝2∠D，∵∠BAC＝2∠C，∴∠1＝∠D＝∠C∴等腰△ABD∽等腰△BCD，，解得x=5,∴三边长分别为4,5,6(本题也可作∠BAC的平分线AE，证明△EAB∽△ACB)例4.已知：⊙O和⊙O1相交于P，外公切线AB，A，B是切点，AP交⊙O于C，BP交⊙O1于D，CE和⊙O1切于点E求证：CE＝CB证明：过点P作两圆公切线PQ交AB于Q由切线长定理，得QP＝QA＝QB∴△APB是Rt△，∠APB＝Rt∠∴BC是⊙O的直径，BC⊥AB根据射影定理，得BC2＝CP×CA∵CE切⊙O1于E，根据圆幂定理，得CE2＝CP×CA∴CE＝CB例5.正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR，△BOP，△CRQ面积是S1＝1，S2＝3，S3＝1。那么正方形OPQR的边长是（）（A）（B）(C)2(D)3解：设正方形OPQR的边长为x，∵S2＝3，S3＝1∴BP＝，QC＝，∵OR∥BC，∴△AOR∽△ABC∴＝即=解得（x4－16）(x2+4)=0∴x=2本题也可以求出△ABC的高为＋x,用面积公式列方程。三、练习41线段a,b满足等式a2+ab-b2=0则a：b=＿＿＿＿△ABC中D，E三等分BC，中线BF分别交AD，AE于M，N，那么BM∶MN∶NF＝＿＿＿△ABC中，点D内分BC为1∶3，点E内分AD为1∶2，BE的延长线交AC于F，则AF∶FC＝＿＿＿求证：有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比经过平行四边形ABCD顶点A画直线，分别交BD，BC及DC的延长线于E，F，G。求证：EA2=EFEG在△ABC内任取一点G，分别延长AG，BG，CG交对边于D，E，F求证：（西瓦定理）已知：AD是△ABC的中线，点M，N分别在边AB，AC上，AM＝AN求证：CD是Rt△ABC斜边上的高，O是CD的中点，AO延长线交AC于E，EF⊥AB于F，FE的延长线和AC的延长线相交于G，则EF2＝EC×EB已知：平行四边形ABCD中E，F分别在AB，AD上且EF∥BD，CE，CF分别交BD于P，Q。求证：BP＝DQ已知：正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于E，交BD于F求证：⑴BE＝BF⑵CE＝2FO已知：△ABC中，D，E分别在边了BC，AB上，∠B＝∠CAD＝∠ADE如果△ABC，△EBD，△ADC的周长为m,m1,m2求证：如图已知：点B在⊙A上，⊙A和⊙B相交于C，D，⊙A的直径CE交⊙B于F求证：2CB2＝CE×CF选择题△ABC中，AD是高，且AD2＝BD×DC，那么∠BAC的度数是（）小于90，（B）大于90，（C）等于90，（D）不能确定②直角梯形ABCD中，垂腰AB＝7，两底AD＝2，BC＝3，如果AB一点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，那么适合条件的点P有几个？（）（A）1（B）2（C）3（D）4已知PA切△ABC的外接圆于A，PA＝6，BC＝5，则AC∶AC＝（）（A）2∶3（B）6∶5（C）4∶5(D)3∶2例14.如图ABCD为圆内接四边形，过AB上一点M引MP，MQ，MR分别垂直于BC，CD，DA连结PR和MQ相交于N求证：15.如图△PQR和△P1Q1R1是两个全等的等边三角形，六边形ABCDEF的边长分记为AB＝a1,,BC＝b1,CD＝a2,DE＝b2,EF＝a3,FA＝b3求证：a12+a22+a32=b12+b22+b32练习41参考答案：1.，2.5∶3∶2，3.，4.分为夹角相等和互补两种情况，都要分别作出高5.证明△ABE∽△GDE，△ADE∽△FBE6.过A作BC的平行线和BE，CF的延长线分别相交7.分别过B，C作MN的平行线8.延长FE和AC的延长线相交于G，证明△ECG∽△EFB连结AC交BD于O，交EF于M，证EM＝FM，OP＝OQ作CG∥OB交AE延长线于G可证