3对数及其运算 - 拔高 - 讲义

对数及其运算知识讲数1.对数的概

aN

logNlog

a

a

N

2.对数恒等：a

N3.对数的性：01log1

a

4.常用对数010

""lg"

N

N.5.自然对数2.71828logNln数1.积、商、的对数：

elog

logN

M

MlogN

nna2.换底公式log

logNlog

(logb

loga

log

bm3.对数恒等：a

N

N4.常用结论

1logaaa

aba𝑎aba𝑎典型例择6小1春•州期末）若a2017

=ba＞0且≠1）A．logb=2017．loga=2017．loga=bDlogb=a【解答】解：若a故选：A．

=ba＞0且a≠12017=logb12秋•温州校级期中）√2

2

−2

的单调递增区间）A，﹣1

11B[2+∞）C，）D，+∞）22【解答】解：令u（x）=x﹣x﹣2≥0解得≥2或x≤1．∴函数f（）的定义域为，﹣1∪[，+∞1根据复合函数的单调性可知：函数（x（）2定义域内求u（）的单调递减区间．

√−2的单调递增区间，即在ux=(𝑥−

1)2

1﹣．4∴u）的单调递减区间为，﹣1]．故选：A．3．已𝑙𝑜𝑔8=

，则a等于（）21A．4

B

12

．2D4【解答】解：因为𝑙𝑜𝑔𝑎

8=

2

3所以𝑎2

=8解得a=4

aa𝑎3=3323aa𝑎3=3323故选：D4秋•高密市期中）若0a＜1实数xy满足|x|=log象是（）

1𝑦

，则该函数的图A．

B

C

．D1【解答】解：由|x|=log，得，𝑦1∴y==𝑎|𝑥|

{

𝑎𝑥𝑥≤0，𝑎𝑥𝑥0又0＜a＜1∴函数在（﹣∞，0上递j减，在（0+∞）上递增，且≥1，故选：A．5秋•贤区期末）𝑙𝑜𝑔

=𝑎=，则𝑙𝑜𝑔

等于（）𝑎𝑎𝑎𝑎A．BC．D2𝑎2𝑎2𝑎𝑎2【解答解∵18

b=5∴𝑏=

𝑙𝑜𝑔=

2

53

23

，𝑎

93183

=

2

23

，联立解得𝑙𝑜𝑔{𝑙𝑜𝑔

2

==

2−2𝑎．2𝑎∴𝑙𝑜𝑔=

222

52=22×

2𝑏𝑎2−2𝑎𝑎

=

𝑎2𝑎

．

891031910313𝑙𝑔324==4()4232a23891031910313𝑙𝑔324==4()4232a236．计算log9•log10•log11•…•log32的结果为（）5A．4B．D3【解答5𝑙𝑔2=．3𝑙𝑔2故选：B

8

𝑙𝑔10𝑙𝑙𝑔32𝑙9•log10•log11•…•log32=⋅⋅⋯==𝑙𝑔8𝑙𝑙𝑔31𝑙𝑔8空5小7秋•县校级期中）若x•log2=1则=3

．【解答】解：由x•log

3

2=1𝑥=

1𝑙𝑜𝑔23

=𝑙𝑔，所以=22=，故答案为：328秋•乡市校级期中3

=

＞0𝑜𝑔

4

23

；𝑙𝑔

231．342【解答】解：∵a，3=2∴log='32，∴log=log=2log31．∴log=321故答案为：，．339•闵行区一模）若x满足4x【解答】解：∵x满足4x=8，∴22x=23

=8则x=

32

．

3322332×332223322332×332223∴2x=3解得x=．23故答案为：．2210庆）已𝑎3

=

（a＞0𝑔

23

=3

．【解答】解：已知𝑎

23

=

（a＞023∴()2

2=[()]3

32

2⇒𝑎=()⇒𝑙𝑔

2𝑎=𝑙𝑜𝑔()333

3

=3故答案为311秋•云浮期末）若2=alog5=b，则3+b=10．【解答】解：3

a+b=3a×b=33

3

=25=10，或者由log

3

2=alog5=b得3a=23b=5则3

a×3=25=10，故答案为：10．答2小12•贤区一模）已知函𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔=2（1）求a和fx的单调区间；（2）fx+1﹣fx＞2

(+−2)（a＞0f1）【解答】解数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔2

(𝑎

+𝑎

−2)（a＞0f（1）=2∴log（a2

+a﹣2=2=log4，

，222222a=2loga•loga+log2，222222a=2loga•loga+log2∴

𝑎+＞𝑎+=4解得a=2∴f）=log（2

+x2设t=2

2x+x2＞0，得＞0，∴f）的递增区间（0，+∞（2）fx+1﹣fx＞2∴log（2+2+x1

﹣2log

2

（22x+2x2）＞2=log

4∴22x+2

+2+1

242+2﹣2∴2＜3∴x＜3∵x＞∴0＜x＜log3∴不等式的解集为（0，log313a是直角三角形的三边长中为斜边≠1证loga．a+logc﹣bc+bc﹣b

c

+

b）【解答】证明：由勾股定理得a

2

+b2=c2

．log

c+

b（c

a===

1