双曲线的定义及标准方程

双曲线的定义及标准方程课件第1页，共27页，2023年，2月20日，星期五1、椭圆是如何定义的?2a与2c的大小关系焦点在x轴上:焦点在y轴上:(a>b>0)2.椭圆的标准方程？2a(2a>|F1F2|>0)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数的点的轨迹第2页，共27页，2023年，2月20日，星期五思考

若把椭圆定义中的与两定点的“距离的和”改成“距离的差”,那么点的轨迹会发生什么变化？能否形成曲线？若能，它的方程又怎样呢

?

第3页，共27页，2023年，2月20日，星期五[1]取一条拉链；[2]如图把它固定在板上的两点F1、F2；[3]拉动拉链（M）。思考：拉链运动的轨迹是什么？数学实验yanshi第4页，共27页，2023年，2月20日，星期五①如图(A)，|MF1|-|MF2|=2a②如图(B)，|MF2|-|MF1|=2a上面两支合起来叫做双曲线由①②可得：||MF1|-|MF2||=2a（差的绝对值）第5页，共27页，2023年，2月20日，星期五第6页，共27页，2023年，2月20日，星期五第7页，共27页，2023年，2月20日，星期五

新宝马总部（墨尼黑）第8页，共27页，2023年，2月20日，星期五双曲线的定义:平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a点的轨迹叫做双曲线。

F1,F2-----焦点||MF1|-|MF2||=2a|F1F2|-----焦距=2c.F2.F1Mo第9页，共27页，2023年，2月20日，星期五F1F2M2、||－|

|=2a1、||－|

|=2a(2a<||)(2a<||)3、若常数2a=||

4、若常数2a＞||

F1F2轨迹不存在第10页，共27页，2023年，2月20日，星期五xyo

设M（x,y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)常数为2aF1F2M即

(x+c)2+y2-(x-c)2+y2=+2a_

以F1,F2所在的直线为X轴，线段F1F2的中点o为原点建立直角坐标系1.建系.2.设点．3.列式．|MF1|-|MF2|=2a如何求这优美的曲线的方程？？4.化简.F1F2xOy第11页，共27页，2023年，2月20日，星期五第12页，共27页，2023年，2月20日，星期五双曲线的标准方程标准方程对换x,y可得：其中：c2=a2+b2焦点在y轴上焦点在x轴上正定轴第13页，共27页，2023年，2月20日，星期五

请判断下列方程哪些表示双曲线？并说出焦点位置和的a,b,c.第14页，共27页，2023年，2月20日，星期五椭圆与双曲线比较焦点在x轴上焦点在y轴上c2=a2+b2

c>a>0

a>0b>0||MF1|-|MF2||=2a定义：a,b,c关系方程|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线

a2=b2+c2a>c>0a>b>0大定轴正定轴第15页，共27页，2023年，2月20日，星期五双曲线及标准方程例1：已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)求到这两点的距离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。

解：8〈10，由定义，所求的轨迹是焦点在x轴双曲线，

C=5,a=4,b2=c2-a2=52-42=32所以所求方程为：设它的标准方程为：第16页，共27页，2023年，2月20日，星期五双曲线及标准方程例1：已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)求到这两点的距离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。变式一：若两定点改为为F1(0,-5),F2(0,5)，则轨迹如何？变式二：若两定点改为为|F1F2|=10，则轨迹方程如何？第17页，共27页，2023年，2月20日，星期五练习1：求适合下列条件的双曲线标准方程(1)a=4,b=5,焦点在y轴上。(2)a=3,c=5课堂练习第18页，共27页，2023年，2月20日，星期五双曲线及标准方程课堂练习(3)与双曲线有相同焦距，双曲线上一点P到F1、F2的距离之差的绝对值为4。(4)与双曲线的焦点相同，b=3.第19页，共27页，2023年，2月20日，星期五练习2：已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为（3,-4），（，5），求双曲线的标准方程分析：因为双曲线的焦点在轴上，所以可设所求的双曲线的标准方程为因为点P1、P2在双曲线上，所以把这两点的坐标代入方程，用待定系数法求解。

第20页，共27页，2023年，2月20日，星期五例2：k>1,则关于x、y的方程(1-k)x2+y2=k2-1

所表示的曲线是（)

解：原方程化为：A、焦点在x轴上的椭圆C、焦点在y轴上的椭圆B、焦点在y轴上的双曲线D、焦点在x轴上的双曲线∵k>1∴k2—1>01+k>0∴方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线。故选（B）第21页，共27页，2023年，2月20日，星期五方程表示（）A．椭圆B．圆C．双曲线D．椭圆或圆或双曲线D变式一：第22页，共27页，2023年，2月20日，星期五形如的方程所表示的曲线形状由m、n确定。若m=n>0，方程表示圆；若m>0，n>0且，方程表示椭圆；若mn<0，方程表示双曲线。变式二：第23页，共27页，2023年，2月20日，星期五双曲线定义图形标准方程焦点坐标

关系(为定点，为常数)小结第24页，共27页，2023年，2月20日，星期五练习1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则

(1)a=_______,c=_______,b=_______

(2)双曲线的标准方程为______________(3)双曲线上一点Ｐ，|PF1|=10,

则|PF2|=_________3544或16||PF1|-|PF2||

=6课堂练习第25页，共27页，2023年，2月20日，星期五

2已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，动点P到F1和P到F2的距离的差等于8，则点P的轨迹是什么？已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，动点P到F1、F2距离的差的绝对值等于10，求点P的轨迹．如果动点P到F1、F2距离的差的绝对值等于12，点P的轨迹