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沌现象■■倍周期分岔行为对于单摆有阻尼有驱动情形，通过前面所讨论过的单摆的相图与庞加莱截面，我们已经可以看出单摆的倍周期分岔行为。f增至1.07时出现二倍周期；从1.35增至1.45时，又从一倍周期过渡到二倍周期。f增大到1.50时，出现四倍周期。在出现倍周期行为后，逐渐过渡，最后都出现貌似无规的运动。由于单摆的运动还是太复杂了一点，以至于它是怎样通过一系列倍周期分岔进入混沌的细致过程，我们在这里不易看清楚。对单摆的仔细分析发现，无论是它的分岔图，还是计算它的费根鲍姆常数，都与逻辑斯谛映射模型所得到的结果相似。例如，单摆的一个倍周期分岔序列为f=1.066,1.077,1.080,由此计算出的费根鲍姆常数为4±1，在计算误差范围内是与逻辑斯谛映射的结果相符合的。单摆的混沌吸引子MIT的气象学家洛伦兹(E.Lorenz)在1963年发现了奇怪吸引子。洛伦兹在研究大气对流对天气的影响时，提出了洛伦兹方程：现在这个方程已成为混沌理论的经典方程。对此非线性方程求数值解，洛伦兹得到了一个三维吸引子，其二维投影如图10所示。总体上由两个套环组成，看上去像一对蝴蝶翅膀。实际上每一环套都有靠得很近的无穷多层，每层上都细密地排列看无穷多个回线，代表系统相点在这边转几圈后又到那边转几圈，完全无法预测什么时候从这一边过渡到另一边。刻划混沌吸引子的主要手段为分形维数和李雅普诺夫指数。分形概念的实质就是标度变换下的自相似性。图11即为单摆的混沌吸引子。由图中可以看出单摆混沌吸引子的分形结构，即自相似结构。李雅普诺夫指数描述混沌吸引子的初值敏感性，单摆的李雅普诺夫指数计算证明，在计算的误差范围内，单摆具有混沌吸引子，是初值敏感的。图10图11并非结束这里所讲的混沌，只是混沌理论的一个小的部分，有很多内容，甚至是很重要的内容（例如KAM定理等）只字未提。就是对于单摆的混沌运动，我们这里也只讨论了它的某些方面。同步镇锁、伸展与折叠等这里都未涉及，混沌在自然界中普遍存在。某种意义上可以这样说，混沌无处不在，没有混沌，就没有复杂性，没有进货与发展，大概也不会有生命乃至宇宙。对于周围世界的复杂性的观察常会使我们想到这样一些问题：非常简单的物理规律是如何衍生出五彩缤纷的结构的？不同规律产生的复杂结构是否具有共性？为什么会具有这些共性？o对以分形和混沌为标志的非线性理论的研究越来越引起大家的关注，

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