单自由度系统,响应的Matlab程序

-z.function

f

=

hanning_imp(t,

Tc,

A)

f

=

zeros(size(t));

f(t

<

Tc)

=

A

/

2

*

(1

-

cos(2*pi

*

t(t

<

Tc)

/

Tc));

end

下面是计算单自由度系统响应的Matlab程序，计算传递函数，画实频、虚频、幅频、相位、导纳图[plain]viewplaincopym

=

100;

k

=

1000;

c

=

100;

num

=

1;

den

=

[m

c

k];

sys

=

tf(num,

den);

dt

=

0.00001;

fs

=

1/dt;

%采样频率(Hz)

100Hz

实际并不需要这么高的采样频率，但是如果采样时间太小，hanning脉冲不完整

%

为了得到准确的响应dt一定要小，否则做出的相位可能不对

t

=

0:dt:200;

Tc

=

0.001;

A

=

10;

u

=

hanning_imp(t,

Tc,

A);

y

=

lsim(sys,

u,

t);

%

y

=

impulse(sys,

t);

y

=

y';

N

=

length(u);

fy

=

fft(y);

fu

=

fft(u);

ft

=

fy

./

fu;

f

=

(0:N-1)

*

fs

./

N;

ft_r

=

real(ft);

ft_i

=

imag(ft);

part

=

(f

<

30);

figure('name',

'实频');

plot(f(part),

ft_r(part));

figure('name',

'虚频');

plot(f(part),

ft_i(part));

figure('name',

'幅值');

plot(f(part),

abs(ft(part)));

figure('name',

'相位');

plot(f(part),

phase(ft(part))

*

180

/

pi);

figure('name',

'导纳圆');

plot(ft_r(part),

ft_i(part),

'.');

a*is

equal;

hold

on;

*k

=

[-0.0001165

0.0002857

8.297e-5

0.0004869

0.000682];

*k1

=

[-0.0008017

-0.0003082

0.0002857

0.001194

0.001451];

yk1

=

[-0.002817

-0.003095

-0.003185

-0.002869

-0.002633];

yk

=

[-0.003149

-0.003185

-0.003179

-0.003165

-0.003121];

k

=

5;

A

=

[

sum(*k.^2)

sum(*k

.*

yk)

sum(*k)

sum(*k.*yk)

sum(yk.^2)

sum(yk)

sum(*k)

sum(yk)

k];

B

=

-[

sum(*k.^3

+

*k.*

yk.^2)

sum(*k.^2.*yk

+

yk.^3)

sum(*k.^2+yk.^2)];

rlt

=

A\B;

*0

=

rlt(1)*(-0.5);

y0

=

rlt(2)*(-0.5);

r

=

sqrt(rlt(1)^2/4+rlt(2)^2/4-rlt(3));

fai

=

0:0.01:2*pi;

*

=

*0

+

r

*

cos(fai);

y

=

y0

+

r

*

sin(fai);

plot(*,y,

'r');

实验模态分析------非数学公式的简单概述之二分类：模态空间译文|标签：锤击法激振器窗函数曲线拟合2011-07-0223:00阅读(3040)评论(0)为何只需获得频响函数矩阵的一行或一列？

理解从可能得到频响函数矩阵的不同元素中得到模态振型对我们来说是非常重要的。在这不涉及数学层面的知识，让我们来讨论这个问题。

首先考虑频响函数矩阵的第三行，并且只关注第1阶模态，留意频响函数虚部的峰值振幅，很容易就能得出构造的第1阶模态振型，如图8a所示。因此，从测量数据中提取模态振型似乎相当直观。一种快速但又粗略的方法就是在不同的测点处仅仅测量频响函数虚部的峰值振幅。图8a从频响函数矩阵第三行得到的1阶模态

接着考虑频响函数矩阵的第二行，并且只考察第1阶模态，如图8b所示。留意频响函数虚部的峰值振幅，从这一行也易于得到第1阶模态振型。图8b从频响函数矩阵第二行得到的1阶模态

我们同样可以从频响函数矩阵的第一行得到这一阶模态振型。这是理论所表达的一种简单示意性描述。我们可以使用频响函数任一行得到系统的模态振型。故很显然，这些测量包含有与系统模态振型相关的信息。现在再考虑频响函数矩的阵第三行，并且只考察第2阶模态，如图8c所示。还是留意频响函数的虚部的峰值振幅，很容易得到第2阶模态振型。图8c从频响函数矩阵第三行得到2阶模态

而观察频响函数矩阵的第二行，并且只考察第2阶模态。此时会有点奇怪，因为这一行没有第2阶模态可用的幅值，如图8d所示。这是我不希望发生的，但是如果我们考察第2阶模态振型，则很快就会发现位置2是第2阶模态的节点。此时参考点位于模态节点上。

图8d从频响函数矩阵第二行得到2阶模态

这就指明了模态分析和实验测量中一个非常重要的方面：参考点不能位于*阶模态的节点上，否则该阶模态在频响函数中将不可见，并且得不到该阶模态。

在这我们仅用了3个测点去描述该悬臂梁的模态。如果我们增加更多的输入-输出测点，就能得到更光顺的模态振型，如图9所示。图9显示了15个频响函数，其中前面讨论的3个测点的频响函数高亮突出显示。显示的15个频响函数用瀑布图式样绘出。利用这种方式绘图，通过频响函数的虚部峰值连线能更容易确定模态振型。

目前为止，我们所讨论的测量是从锤击法测试中得到的，如果我们使用激振器测试，则测量的频响函数会是什么样的呢？图9瀑布图显示悬臂梁频响函数锤击法测试和激振器测试有什么不同之处？

从理论角度看，频响函数是由激振器测试得到还是由锤击法测试得到，并没有什么区别。图10a和10b给出了由锤击法测试和激振器测试得到的频响函数。锤击法测试通常测量频响函数矩阵中的一行，而激振器测试通常测量频响函数矩阵中的一列。因为描述系统的频响函数矩阵是对称的方阵，故互易性是成立的。例如，对于上面已讨论的情况，频响函数矩阵的第三行和第三列是完全一样的。

理论上讲，激振器测试和锤击法测试两者没有差异，但那仅仅是理论观点。假设我可以对构造施加一个纯外力，外力与构造二者之间没有任何相互作用，并且用一个无质量的传感器测量响应，要求该传感器对构造没有任何影响，则上面所讲的是正确的。但是事实并非如此，结果又将怎样呢？现在我们从现实角度出发，考虑实际测试中存在的不同之处。模态测试过程中，关键在于激振器和响应传感器通常对构造确实有影响。需要注意最主要的一点是被测构造已不是你想得到模态参数的那个构造。因为在构造上已附加了与数据采集过程有关的东西：构造支承条件、安装的传感器的质量、激振器推力杆的刚度影响等等。因此虽然理论告诉我们，锤击法测试和激振器测试不存在任何差异，但现实中却因数据采集方面导致二者存在差异。

激振器测试过程中，最明显的差异是由移动加速度计引起的。加速度计的质量相对于构造的总质量可能非常小，但是它的质量相对于构造不同局部的有效质量可能又非常大。特别是多通道测试系统，这个问题更加突出，为了获得所有频响函数，有多个加速度计在构造上移动。特别是轻质构造，这个问题尤为突出。纠正此问题的方法之一是在构造上安装所有的加速度计，即使一次只用到少数几个加速度计。另一个方法是在非测量位置上安装与加速度计质量相等的质量哑元，这将能消除移动加速度计带来的影响。图10a移动力锤测试过程图10b移动响应传感器的测试过程

另一个差异在于激振器推力杆带来的影响。本质上，构造的模态受激振器附属装置的质量和刚度的影响。虽然我们试图将这局部影响减少到最低程度，但是它们仍然是存在的。激振器推力杆的作用是别离激振器对构造的影响，然而，多数构造，激振器附属装置的影响仍然很大。因为锤击法测试不存在这些问题，所以得到的结果不同于激振器测试得到的结果。所以虽然理论上讲激振器测试和锤击法测试二者不存在差异，但一些非常根本的现实情况却会引起一些差异。为了计算频响函数，实际需要测量什么？

实验模态分析中最重要的是测量频响函数。简单地说，频响函数是输出响应与鼓励力之比。通常使用专门的仪器，如快速傅立叶分析仪或者带有快速傅立叶变换功能软件的数据采集系统，获得频响函数。

现在让我们简要地讨论为获得频响函数所进展数据采集的一些根本步骤。首先，从传感器得到的信号为模拟信号，这些模拟信号必须进展滤波处理，以确保在分析频率围没有混叠高频信号。通常的做法是在分析仪前端使用一组模拟滤波器，称为抗混叠滤波器，它们的功能是消除信号中可能存在的高频成分。

下一步是将实际的模拟信号数字化成数字信号的形式。这一步模数转换器〔ADC〕实现。典型的数字化过程使用10位、12位或16位的AD转换器〔现在普遍用24位的ADC，译者注〕，可用的AD位数越高，数字化信号的分辨率就越高。主要关心的问题是数字化近似过程中存在的采样误差和量化误差。采样速率控制着信号的时间分辨率和频率分辨率，量化与采集到的信号的幅值精度相关。在采集数据过程中，采样和量化都可能引起一些误差，但是这些误差没有信号处理过种中最糟糕的误差——泄漏，所造成的误差严重。

泄漏出现在将时域信号通过快速傅立叶变换〔FFT〕转换成频域的过程中。傅立叶变换要求捕捉到的信号为全部时间段〔时间从-∞到+∞〕的完整信号，或一段周期信号。当此条件满足时，傅立叶变换将获得信号正确的频域表示形式。当此条件不满足时，泄漏将使信号的频域表示形式严重畸变。为了将泄漏引起的畸变减少到最小程度，可使用称为窗的加权函数，人为地使时域信号似乎更满足快速傅立叶变换的周期性要求。虽然窗函数能很大程度上减少泄漏造成的影响，但是并不能彻底消除泄漏。

一旦采样到时域数据，经过快速傅立叶变换计算后将得到输入鼓励和输出响应的线性频谱。通常，对线性频谱进展平均处理得到功率谱。需要计算的平均谱主要是输入功率谱和输出功率谱，以及输出和输入信号的互谱。对这些函数进展平均，习惯用来计算模态数据采集中两个重要函数：频响函数〔FRF〕和相干函数。相干函数作为数据质量评判工具，确定数据中有多少输出信号是由输入信号所引起的。频响函数包含的信息与系统频率和阻尼有关，一组频响函数包含的信息与每个测点处的系统模态振型值相关。这是实验模态分析中最重要的测量，前面所讲的这些步骤的总结，如图11所示。图11剖析FFT分析仪

当然，数据采集包括许多重要的方面，如平均技术用于减少噪声等，在这都不作介绍，任何一本好的数字信号处理参考书都提供这些方面的帮助。接下来需要讨论输入鼓励。根本上，实验模态分析有两类常用的鼓励方式：锤击鼓励和激振器鼓励。

现在让我们考虑当进展锤击法测试时需要考虑的考前须知。锤击法测试时，最需要考虑什么？进展锤击法测试时，有很多重要方面需要考虑。在这儿仅提及其中最关键的两项，其他有关锤击法测试所有方面的详细介绍远远超出了本节的畴。

首先，锤头的选择对测量有重大影响。锤头的硬度主要控制着输入鼓励的频率围，锤头越硬，输入鼓励所激起的频率围越宽。选择的锤头要确保在关心的频率围能激起所有感兴趣的模态。为了获得高质量的测量和充分激起所有模态，如果选择的锤头太软，就不能充分激起所有这些模态，如图12a所示。图中输入鼓励没能激起关心频率围的所有模态，从图中输入功率谱的衰减可以明显看出这一点。在频率围的后半段，相干和频响函数的质量都明显降低了。图12a选择的锤头缺乏以激起所有模态

通常，我们力图得到一个相当好并且相对平坦的输入鼓励频谱，如图12b所示，改善的相干函数说明测量的频响函数质量更高。当进展锤击试验时，必须不断试锤，以选择适宜的锤头，这样才能激起所有感兴趣的模态，得到高质量的频响函数。

图12b选择的锤头充分激起了所有感兴趣的模态

锤击试验第二个重要的方面与响应信号窗函数的使用有关。通常对于小阻尼构造，锤击引起的构造响应在采样时段的末端不会完全衰减到零。这种情况下，变换后的数据将遭受到严重的泄漏影响。

为了将泄漏减少到最小程度，需要对测量数据施加称为窗的加权函数。窗函数强制数据更好地满足傅立叶变换的周期性要求，可将由泄漏带来的畸变影响降到最低。对于锤击鼓励，响应信号最常用的窗函数是指数衰减窗。窗函数的使用将使得泄漏减少到最小程度，如图13所示。图13指数窗减少泄漏影响

窗函数减少泄漏的同时，会导致数据本身一些畸变，因此，应尽量防止使用窗函数。对于锤击法测试，两个总要仔细考虑的方面是：选择较窄的测量带宽和提高谱线的条数。这两个信号处理参数都会增加测量采样时间。这两个方面能减少指数窗的使用需求，并且每次测试时都应该考虑它们，以减少泄漏所带来的影响。现在我们考虑进展激振器测试时，需要考虑的考前须知。激振器测试时，最需要考虑什么？

激振器测试时，同样有许多方面需要考虑。但是在这些因素中，最重要的是鼓励信号的鼓励效果，要求将窗函数的使用降到最低或者完全不需要窗函数。激振器测试时，还有许多其他重要方面需要考虑，但是这些方面的详细介绍已远超出了本节的讨论畴。直到今天，由于易于实现，随机鼓励仍是普遍使用的鼓励技术。然而，由于鼓励信号的本身特性，泄漏仍是考虑的关键因素，因此常用汉宁窗减少泄漏。即使加窗以后，泄漏的影响仍然严重，使得测量的频响函数仍然严重畸变。一个典型的加汉宁窗的随机鼓励信号，如图14所示。从图中可以看出，汉宁窗使得采样信号似乎更好的满足FFT变换的周期性要求，因而能减少由泄漏带来的信号畸变。虽然加窗能改善因泄漏引起的FRF的畸变，但是窗函数绝不能完全消除这些影响，这些FRF总是会存在一些因泄漏引起的畸变。图14激振器测试：随机鼓励加汉宁窗

在今天仍被广泛使用的两个最为普遍的鼓励信号是猝发随机和正弦扫频。两种鼓励方式都有一个独特的特点：不需要给信号加窗函数，因为几乎所有测试情况中，这两个信号本身都不存在泄漏。这两种鼓励技术使用起来相对简单，在目前多数可用的信号分析仪中这两种鼓励方式非常常见。这两种信号如图15和图16所示。图15不加窗的猝发随机鼓励图16不加窗的正弦扫频鼓励

猝发随机，由于瞬态鼓励信号和响应信号在采样周期能完全捕捉到，因而满足FFT变换的周期性要求。对于正弦扫频鼓励，鼓励信号在采样时间重复出现，也满足FFT变换的周期性要求。尽管还存在其他一些鼓励方式，但是这两种鼓励方式是目前模态测试中最常用的鼓励方式。

到现在为止，我们对怎样进展测试已有了更深的认识。请告诉我有关于窗函数的更多方面，他们似乎相当重要！

在许多测试情况下，使用窗函数是不得已的事情。虽然我根本不愿意使用任何窗函数，但泄漏确实让人难以承受，因而，不得不选择加窗。正如前面讨论的一样，有多种鼓励方式提供无泄漏的测量，因而不需要使用任何窗函数。然而，很多时候，特别是现场实验和采集工作数据时，窗函数又是必须的。则，最常用的窗函数有哪些呢。

简而言之，当今最常用的窗函数是矩形窗、汉宁窗，平顶窗和力窗/指数窗。这些窗不作详细介绍，仅简单地说明在实验模态测试过程中，每种窗函数在何时应用。

矩形窗〔也叫均衡窗、货车车厢窗和不加窗〕是单位增益的加权函数，施加于一次数据采集中所有的数字信号。当采集的全部信号是一次记录完成的或者保证信号满足FFT处理的周期性要求时，一般加矩形窗。矩形窗可用于锤击法测试，但要求输入信号和响应信号在一个采样纪录能完全观测到。矩形窗也用于激振器测试，此时要求鼓励信号为猝发随机、正弦扫频、伪随机和数字步进正弦，这些信号通常都满足FFT变换的周期性要求。

汉宁窗是个余弦状〔钟状〕的加权函数，强制采样时段的起始端和末端严重加权至零。这对那些不满足FFT变换周期性要求的信号非常有用。随机鼓励和一般的现场实验信号通常都属于这类，因而要求加窗，加汉宁窗。平顶窗对不满足FFT处理周期性要求的正弦信号最为适用。实验模态分析中，相对其他窗而言，这个窗函数经常用于校准作用。

锤击鼓励获得频响函数时，通常应用力窗和指数窗。总的来说，力窗是单位增益的窗函数，作用于脉冲鼓励发生的那个时段。指数窗通常用于在采样时间信号没有衰减到零的响应信号。指数窗的应用强制响应信号更好地满足FFT变换的周期性要求。

每个窗函数对数据的频域表示形式都有影响。一般而言，窗函数将降低频响函数幅值的精度，并且使得最终得到的阻尼似乎比实际测试中真实存在的阻尼要更大。尽管这些误差完全是不想要的，但相比泄漏造成的严重畸变而言，它们还是更能让人承受。从平板的频响函数怎样得到模态振型？

到现在为止，我们已经讨论了获得频响函数的各个方面，让我们再返回到先前讨论的平板构造中来，并对其进展一些测试。考虑在平板上布置6个测点，因而在平板上有6个可能的鼓励位置和6个可能的响应测量位置。这意味着总共能得到36个可能的输入输出频响函数。频响函数描述在外力作用下，构造是怎样响应的。如果我们将力作用在1点，在6点测量响应，则1点和6点的传递关系描述了系统的响应行为，如图17所示。通过峰点拾取法得到前两阶振型，如图18和19所示。图17输入输出的测量位置尽管对非常简单的构造，如上所述的提取方法已经足够，但我们常常使用数学算法估计模态参数。用计算机软件完成模态参数估计过程，简化了参数提取过程，这个过程常被称为曲线拟合。从频响函数中提取根本的模态参数为频率、阻尼和模态振型，这些称为构造的动力学特征。测得的频响函数通常分解成多个单自由度系统，如图20所示。

曲线拟合采用多种不同的方法提取参数。*些技术利用时域数据，而另一些技术利用频域数据。最常用的方法是使用多模态解析模型，但是有时，在许多工程分析中，非常简单的单模态方法也能得到相当好的结果，如图21所示。从根本上讲，所有的估计算法都试图将测试数据分解成组成测试数据的主要成分，也就是频率、阻尼和模态振型。图18平板的1阶模态振型：FRF的峰点拾取图19平板的2阶模态振型：FRF的峰点拾取图20频响函数分解图21不同的频带使用不同的曲线拟合方法

拟合过程中，分析者必须为参数提取指定频率带宽，数据中包含的模态阶数和剩余补偿项，如图22所示。

图22典型频响函数的曲线拟合关于从测量数据中估计模态参数、可用的解释数据工具以及提取模型的验证等，都需要作详细地介绍，但这些已远超出了本节的畴。

所有构造对所施加的外力都有响应。但是很多时候这些力是未知的，或者很难测量。我们即使不测量力，但仍然可以测量构造的响应。因此，下一个常见问题就是关于工作数据的。什么是工作数据？

我们首先需要认识到系统对施加在系统上的力有响应〔不管此力能否测量到〕。出于解释目的，我们暂且假设力是的。虽然外力实际上是施加在时域上，但从频域上描述力和响应具有一些重要的数学优势。对于一个受到任意输入鼓励的构造，响应可通过频响函数乘以鼓励力函数计算得到，这很简单，如图23所示。图23输入-输出构造响应问题的示意图

图中给出的的鼓励是能激起构造所有频率的随机鼓励。最需要注意的是频响函数对引起响应的输入鼓励扮演了滤波器的角色。给出的鼓励能激起所有模态，因此，通常响应是那些由输入力激起的所有模态的线性叠加。如果鼓励不包含所有的频率，仅能激起*一特定频率〔评估大多数工作状态情况时，这通常是我们所关心的〕时，将出现什么情况。

为了说明这一点，继续使用前面讨论过的平板例子。假设系统存在*种工作条件，考虑一种固定频率的工作不平衡方式作为鼓励。使用以前测量的同一组加速度传感器测量系统响应看来是合理的。采集数据后，可以看到如图24所示的系统的变形模式。观察这些变形，不清楚构造为什么这样响应，什么改变了构造的响应。为什么平板变形如此复杂？这似乎不像我们以前测量得到的任何模态振型。图24测量工作状况下的位移

为了理解这一点，让我们仍然以那块平板为例，在其一角施加一个正弦鼓励。此次实验我们仅考虑平板的响应，假设该鼓励只激起了平板前两阶模态〔当然平板有很多阶模态，我们只是这样简单假设〕。现在我们知道决定响应的关键因素是输入输出位置的频响函数。同样，我们需要记住的是当我们采集工作数据时，没有测量系统的输入力，没有测量系统的频响函数，仅仅测量系统的响应。

首先，我们用一个频率刚好等于平板第一阶固有频率的正弦信号鼓励该系统，系统的*一条频响函数曲线如图25所示。即使我们仅仅是在那个频率处鼓励该系统，我们知道频响函数扮演了滤波器的角色，将决定构造如何响应。可以看出频响函数由1阶模态和2阶模态两者共同组成，也可以看出响应的主要局部，不管是在时域还是频域，都是第1阶模态占主导地位。假设我们只在那个频率处测量构造多个测点的响应，则得到的系统工作状态下的变形形式看起来非常像1阶模态振型，但是里面含有少许2阶模态的奉献。记住，对于工作数据，我们从不测量输入力或者频响函数，仅仅测量输出响应。所以测量得出的变形是输入鼓励引起的构造实际响应，且不管是何种输入鼓励。图25鼓励接近1阶模态

当我们测量频响函数和估计模态参数时，实际上是确定单独1阶模态对总的频响函数的奉献，如图中蓝线所示；确定单独2阶模态对总的频响函数的奉献，如图中红线所示；以及系统所有其他阶模态对总的FRF的奉献。而对于工作数据，我们只是在*一特定频率处，考虑构造的响应，它是对系统总响应有奉献的所有模态的线性组合。因此我们现在明白了，如果鼓励主要激起了1阶模态，工作变形模式将看起来与第1阶模态振型非常相像。

现在我们刚好在系统的第2阶固有频率处鼓励系统，图26给出了与刚刚前面讨论的1阶模态一样的信息，但是这会我们主要是鼓励系统的第2阶模态。同样，我们必须认识到系统响应看起来像2阶模态，但是这儿也有少许1阶模态的奉献。图26鼓励接近第2阶模态

当鼓励远离*一个共振频率时，会发生怎样的情况？让我们在1阶，2阶之间的*个频率处鼓励系统，这时可以看出模态数据与工作数据二者之间真正的差异。图27给出了构造的变形形式。图27鼓励位于1阶和2阶模态之间

乍一看，变形似乎不像我们以前认识的任何变形，但是如果我们长时间观察，就会发现变形中有少量1阶弯曲和少量1阶扭转。因此工作数据主要是1阶和2阶模态振型的一些组合〔一点也不假，实际上还有其他阶模态，但主要是1阶和2阶模态参与系统响应〕。

通过模态根底理解频响函数对*一阶模态的奉献，我们已经讨论了工作数据的各个方面。当我们实际采集工作数据时，我们不测量频响函数，而是测量输出频谱。如果观察输出频谱，我们不明白为何工作数据看起来像模态振型。图28展示了平板构造在*一位置测量得到的响应频谱。当时施加在构造上的鼓励具有较宽的频率带宽，并且激起了多阶模态，但是通过理解每一阶模态对工作数据的奉献，易于明白有多少阶模态对系统总响应有奉献。图28宽带鼓励平板

因此，实际上工作变形与模态振型之间有很大的不同：我们现在明白了模态振型是按*种线性组合方式叠加形成了工作变形形式。但是通常我们感兴趣的是系统总体变形或者总响应。为