直角三角形的性质和判定勾股定理

直角三角形的性质和判定勾股定理第1页/共38页直角三角形的

性质和判定（Ⅱ）本课内容本节内容1.2第2页/共38页做一做如图1-9，在方格纸上（设小方格边长为单位1）画一个顶点都在格点上的直角三角形，使其两直角边分别为3，4，量出这个直角三角形斜边的长度.ABCa=3b=4c=?量得c=5.图1-9第3页/共38页在方格纸上，以类似图1-9中的Rt△ABC

的三边为边长分别向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图1-10-1，并填表.说一说为了求S3，可以先算出红色区域内大正方形的面积，再减去4个小三角形的面积.S2S3S1图1-10-1S1S2S3图1-10-11

4

5第4页/共38页S1S2S3图1-10-1145图1-10-2图1-10-2S2S1S39

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25第5页/共38页S1S2S3S2S2S3图1-10-3观察表格,三个正方形的面积S1、S2、S3之间有怎样的数量关系呢？S1S2S3图1-10-1145图1-10-291625图1-10-3S1S1+S2=S3

.9

25

34第6页/共38页在图1-10中，S1+S2=S3

，即BC2+AC2=AB2

，那么是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？图1-10S2S1S3ACB第7页/共38页探究如图1-11，任作一个Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，那么a2+b2=c2是否成立呢？ABC图1-11acb第8页/共38页步骤１先剪出4个如图1-11所示的直角三角形，由于每个直角三角形的两直角边长为a，b（其中b>a），于是它们全等（SAS），从而它们的斜边长相等.设斜边长为c.步骤2

再剪出1个边长为c的正方形，如图1-12所示.图1-12第9页/共38页步骤3

把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成如图1-13的图形.cab思考：如何说明拼出的图形是正方形？图1-13第10页/共38页结论直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.a2+b2=c2第11页/共38页勾股定理的证法历史上有很多,比较著名的有毕达哥拉斯证法,有趣的总统证法(美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法),希望有兴趣的同学课下查找资料.

第12页/共38页其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦（如图1-14），因此这一性质被称为勾股定理.图1-14小知识第13页/共38页勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长，我们可以根据勾股定理求出第三边的长.第14页/共38页例1如图1-15，在等腰三角形ABC

中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC

于点D.你能算出BC边上的高AD的长吗？ABC图1-15D分析要求AD的长，要把AD放在直角三角形中，通过勾股定理计算出.举例第15页/共38页解：在△ABC中，

∵AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC，

∴

在Rt△ADB中，由勾股定理得，AD2+BD2=AB2,∴故AD的长为12cm.ABC图1-15D第16页/共38页在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）已知a=25，b=15，求c；练习（2）已知a=5，c=9，求b；（3）已知b=5，c=15，求a.第17页/共38页如图1-16，电工师傅把4m长的梯子AC

靠在墙上，使梯脚C离墙脚B的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到C′处.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？动脑筋图1-16第18页/共38页

由图1-16抽象出示意图1-17.在Rt△ABC

中，计算出AB；再在Rt△A’BC’中，计算出A’B，则可得出梯子往上移动的距离为（A’B-AB）m.图1-17A’BCC’梯子墙面地面分析A第19页/共38页在Rt△ABC中，

AC=4m，BC=1.5m，由勾股定理得，在Rt△A’BC’中，A’C’=4m，BC’=1m，故

因此A’A=3.87-3.71=0.16（m）.即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动0.5m.图1-17A’BCC’梯子墙面地面A第20页/共38页例1（“引葭赴岸”问题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”意思是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长为多少？举例第21页/共38页分析根据题意，先画出水池截面示意图，如图1-18.设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，即1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B′.宋刻《九章算术》书影ABB’15C图1-18第22页/共38页ABB’15C图1-18解：在如图1-18，设水池深为x尺，则AC=x尺，AB=AB’=(x+1)尺.

因为正方形池塘边长为10尺，所以B’C=5尺.在Rt△ACB’中，由勾股定理，得

x2+52=(x+1)2解得x=12则芦苇长为13尺.答：水池的深度为12尺，芦苇长13尺.第23页/共38页练习1.如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群.在A

处测得小岛C

在船的北偏东60°方向；40min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向.已知以小岛C

为中心，周围10海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？北东CAB60°30°第24页/共38页北东CAB60°30°分析取轮船航向所在的直线为AB.过点C作CD⊥AB，垂足为D.CD长为C岛到轮船航道的最短距离，若CD大于10海里，则轮船由西向东航行就不会有触礁的危险.北东CAB60°30°D第25页/共38页解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，依题意，∠CBD=60°，∠CAD=30°，由于CD长大于10海里，所以轮船由西向东航行没有触礁危险.北东CAB60°30°D∠CAD=∠ACB=30°，∴AB=BC=（海里）

，在Rt△CBD中，∠BCD=30°，第26页/共38页2.如图，AE是位于公路边的电线杆，高为12m，为了使电线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根高为6m的水泥撑杆BD，用于撑起电线.已知两根杆子之间的距离为8m，电线CD与水平线AC

的夹角为60°.求电线CDE

的总长L

（A，B，C

三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计）.第27页/共38页分析要求电线CDE的总长L，即要求CD+DE的长度，需分别把CD和DE放在直角三角形中，于是过点D作DF⊥AE，垂足为F.EABCDF第28页/共38页EABCDF解：过点D作DF⊥AE，垂足为F，依题意∠BCD=60°,AB=DF=8m,AF=BD=6m,FE=6m.在Rt△DEF中，由勾股定理,得在Rt△DBC中,∠CDB=30°,设BC=x,DC=2x，由勾股定理得,x2+62=(2x)2解得x=第29页/共38页据《周髀算经》记载，西周开国时期（约公元前1000多年）有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得一直角三角形。如果勾是3，股是4，那么弦是5，这就是商高发现的“勾股定理”.因此在中国，勾股定理又被称作“商高定理”，在西方国家，勾股定理又“Pythagoras(毕达哥拉斯)定理”.但毕达哥拉斯发现这一定理的时间要比商高迟得多，可见我国古代人民对人类杰出的贡献.小知识第30页/共38页1955年的希腊邮票“赵爽弦图”为2002年在北京召开的国际数学家大会的会标.第31页/共38页西班牙教材中的勾股定理，他们称之为“毕达哥拉斯定理”.第32页/共38页香港教材中的勾股定理仍然沿用着西方的名称——毕氏定理.第33页/共38页分析要求AD的长，要把AD放在直角三角形中，通过勾股定理计算出.如图，等腰△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高，若AB=5cm,BC=6cm,AD=_________cm.中考试题例1

ABCD4第34页/共38页解：∵AB=AC=5cm，BC=6cm，AD⊥BC，

∴

在Rt△ADB中，由勾股定理得，AD2+BD2=AB2∴故AD的长为4cm.ABCD第35页/共38页例2

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若