江苏省南通市启东市启东2023学年高考数学全真模拟密押卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合用={》|丁=5^，},N={XGN|4—X2NO},则〃八村为（）

A.[1,2]B.{0,1,2}C.{1,2}D.（1,2）

2.设机，〃是两条不同的直线,小尸是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若mila,ml/。网aiIBB.若根_La,〃，则几_La

C.若〃2则〃_LaD.若a_L力，〃2J_a,则加///?

3.已知复数zi=3+4i,Z2=a+i,_aZ1N2是实数，则实数a等于（）

,3443

A.-B.-C.--D.--

4334

2

丫2v3

4.已知双曲线C:=-==l（a>0/>0）的渐近线方程为y=?—X,且其右焦点为（5,0）,则双曲线C的方程为（）

ab'4

A.二-£=1B.片-£=1C.二上=1D.

9161693443

5.已知直线/:x+相2y=。与直线〃：》+丁+机=0贝『，〃/〃，，是，，加=1"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.在长方体ABC。-44GA中，AB=\,AD=&胡=6，则直线。。与平面ABG所成角的余弦值为（）

邪＞V15Vio

-------r•---------Un•----------

7.函数“X）=ylx2-5x+6的定义域为（）

A.{巾42或x»3}B.1x|x<-3^x>-2}

C.{x|2<x<3|D.|x|-3<x<-2|

8.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，

设计两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐

第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为Pl,P2,贝！J（)

115

A.P|»P2=—B.P1=P2=-C.Pi+P=-D.Pi<P

43262

9.函数/（x）=xcos2忖的图象可能为（）

10.抛物线J=亦佃＞0）的准线与双曲线u工匕=］的两条渐近线所围成的三角形面积为24，则”的值为（）

,84

C.4D.2

11.下图为一个正四面体的侧面展开图，G为BF的中点,则在原正四面体中，直线EG与直线3c所成角的余弦值

为（）

12.则sina的值等于（)

727

B.D.

999

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知a的终边过点(3加2),若tan(%+&)=；,则加=.

14.在直角三角形45c中，NC为直角，N84C>45°，点。在线段BC上，S.CD=-CB,若tanNDAB」,

32

则Na4C的正切值为.

15.在(2+x)5的展开式中，/的系数为.(用数字作答)

16.在AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,若sinA+sin8=6sinC，且c=l,则A4BC面积的

最大值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数一4工一1|-1,a&R.

(1)当。=4时，求函数“X)的值域；

(2)现e[0,2],/(^)>«|%0+1|,求实数。的取值范围.

,.1

18.(12分)已知各项均为正数的数列｛%｝的前八项和为S,,,且S“是与一的等差中项.

⑴证明：｛用为等差数列，并求s“；

(2)设bn=-——-,数列｛勿｝的前〃项和为Tn,求满足TH>5的最小正整数”的值.

19.(12分)设。为实数，已知函数/(x)=cae*,g(x)=x+lnx.

(1)当”0时,求函数了(力的单调区间：

(2)设〃为实数，若不等式/(x)>2x2+反对任意的a>1及任意的尤>0恒成立，求。的取值范围；

(3)若函数〃(x)=/(x)+g(x)(X>(),XGR)有两个相异的零点，求。的取值范围.

20.(12分)在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在

数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点。为极点,

x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为夕=1-sin8(0V9<2万,。>0),

例为该曲线上的任意一点.

y

Mi

3

(1)当|@W|=5时，求M点的极坐标；

(2)将射线0M绕原点。逆时针旋转T与该曲线相交于点N,求的最大值.

21.(12分)已知椭圆C：；+二=1(。＞。＞0)的长半轴长为百，点(l,e)(e为椭圆。的离心率)在椭圆C上.

a"b~

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如图，P为直线x=2上任一点，过点「椭圆C上点处的切线为Q4,PB,切点分别A,B,直线x=，，与直

线Q4,分别交于M，N两点，点M，N的纵坐标分别为机，"，求机〃的值.

后

22.(10分)如图，四棱锥尸-ABCD的底面是梯形.BC//AD,AB=BC=CD=1,AD=2,PB=—,PA=PC=y[i

2

(I)证明；AC±BP；

(D)求直线AO与平面APC所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

分别求解出M,N集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案.

【详解】

因为集合M={x|xNl},N={xeN|-2WX<2}={0,1,2},

所以MnN={l,2}

故选：C

【点睛】

本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力.

2.C

【解析】

在A中，a与£相交或平行；在B中，〃//a或〃ua；在c中，由线面垂直的判定定理得〃_La；在D中，加与

夕平行或机<=4.

【详解】

设“2,"是两条不同的直线，/，是两个不同的平面，贝!］：

在A中，若m/la,ml1(3,则a与£相交或平行，故A错误；

在B中，若mVn,则〃//a或〃ua,故B错误；

在C中，若〃21a,mlln,则由线面垂直的判定定理得“La,故C正确；

在D中，若小。,m±a,则，〃与方平行或故D错误.

故选C.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题.

3.A

【解析】

分析：计算2=a-i,由zi%=3a+4+（4a—3）i,是实数得4a—3=0,从而得解.

详解：复数zi=3+4i,z2=a+i,

z2=a-i.

所以zQ=（3+4i）（a-i）=3a+4+（4a-3）i,是实数，

3

所以4a—3=（）,即2=—.

4

故选A.

点睛：本题主要考查了复数共扼的概念，属于基础题.

4.B

【解析】

/23元2v2

试题分析：由题意得一=:，。2="+/=25,所以。=4,b=3,所求双曲线方程为土•一乙=1.

a4169

考点：双曲线方程.

5.B

【解析】

利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系.

【详解】

若〃/〃，则lxl='〃2xl，故/n=1或加=一1,

当机=1时，直线/：x+y=0,直线〃：x+y+l=0,此时两条直线平行；

当m=一1时，直线/：x+y=0,直线〃：x+y-l=0,此时两条直线平行.

所以当〃/〃时，推不出加=1,故“〃/〃”是“加=1”的不充分条件，

当加=1时，可以推出〃/〃,故“〃/〃”是“租=1”的必要条件，

故选：B.

【点睛】

本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断，前者应根据系数关系来考虑，后者依据两个条件之间的推

出关系，本题属于中档题.

6.C

【解析】

在长方体中A3//£9，得。口与平面ABC；交于A，过。做DOLAR于。，可证。O_L平面A3GR,可得

为所求解的角，解RfAADQ,即可求出结论.

【详解】

在长方体中ABUC\D\,平面ABC,即为平面ABCtD],

过。做DO_LAq于。，QAB_L平面

OOu平面明2。，二AB±DO,ABC\AD^D,

：.。0，平面ABCB，;.NDRA为DD、与平面ABC,所成角,

在RtAADD],DD、=A4j=V3,AD=V2,AD]=石，

小八ADD、G岳

'AD、也5

直线DD、与平面ABCt所成角的余弦值为叵.

故选:C.

【点睛】

本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.

7.A

【解析】

根据偶次根式被开方数非负可得出关于X的不等式，即可解得函数y=/(X)的定义域.

【详解】

由题意可得一5X+620，解得xW2或xN3.

因此，函数y=/(x)的定义域为卜,<2或x23}.

故选：A.

【点睛】

本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.

8.C

【解析】

将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.

【详解】

三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321

3

方案一坐车可能：132、213、231,所以，Pi=-；

6

2

方案二坐车可能：312、321,所以，Pi=-

6;

所以Pl+P2=—

6

故选C.

【点睛】

本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.

9.C

【解析】

先根据/(%)是奇函数，排除A,B,再取特殊值验证求解.

【详解】

因为(_%)=_彳©0$2卜'=-xcos2^=—/(%),

所以/(x)是奇函数，故排除A,B,

又/⑴=cos2<0,

故选：C

【点睛】

本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

10.A

【解析】

求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值.

【详解】

2

匕

曲/的两条渐近线为y=±斗,可得两交点为(

抛物线)的准线为双

J=ax(a>0x=-4

即有三角形的面积为f%字=2。解得故选儿

【点睛】

本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题.

11.C

【解析】

将正四面体的展开图还原为空间几何体，A,。,厂三点重合，记作。，取。c中点〃，连接EG,EH,GH,NEG”即

为EG与直线所成的角，表示出三角形EG”的三条边长，用余弦定理即可求得cosNEG”.

【详解】

将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中A产三点重合，记作。：

DUE)

则G为8。中点，取。C中点”，连接EG,EH,GH,设正四面体的棱长均为

由中位线定理可得G"//BC且G"=工BC='a,

22

所以NEGH即为EG与直线8c所成的角,

EG=EH==——a

2

由余弦定理可得cosNEG八里蛾产

3212?2

—a+-a——a0

_444_73

~9731-6

2x——a--a

22

所以直线EG与直线8C所成角的余弦值为巫,

6

故选：C.

【点睛】

本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.

12.A

【解析】

由余弦公式的二倍角可得，cos(a+W)=l-2sin2(3+f]=:，再由诱导公式有

2124J9

cos(a+—)=-sina,所以sina=-N

29

【详解】

二由余弦公式的二倍角展开式有

cos(a+—)=1-2sin2f—+—^=—

2U4j9

又Vcos(a+—)=-sina

2

..7

••sina=——

9

故选：A

【点睛】

本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-2

【解析】

，由题意利用任意角的三角函数的定义，求得加的值.

【详解】

Ta的终边过点(3机,—2),若tan(»+a)=J

/\-21、

tan(乃+a)=tana=——=-,:.m=-2..

V73m3

即答案为-2.

【点睛】

本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，属基础题.

14.3

【解析】

在直角三角形中设BC=3,AC=x<3,tanZDAB=tan(Z5AC-ZDAC)=-,利用两角差的正切公式求解.

2

【详解】

设BC=3,AC=x<3r

31

则tanABAC=-,tanZDAC=-

xx

2

-2x1

tanZDAB=tan(ZBAC-ZDAC)=—^5-==-nx=1,

1.Jx+32

-J

故tanN84cl=3.

故答案为：3

【点睛】

此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.

15.1

【解析】

利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令厂=2,求出展开式中/的系数.

【详解】

二项展开式的通项为(+1=2'TC*'

令r=2得一的系数为23以=8()

故答案为1.

【点睛】

利用二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.

V2

1R0.----

4

【解析】

利用正弦定理将角化边得到a+人=百，再由余弦定理得到cosC=e-l,根据同角三角函数的基本关系表示出

sinC,最后利用面积公式得到S=」"sinC=LazJ—1」-]+—=-yJ-l+2ab,由基本不等式求出ab的取值

范围，即可得到面积的最值；

【详解】

解：.••在AABC中，sinA+sinB=>/3sinC,a+b-V3c=5/3，

.〃a2+h2-c2(a+b)2-2ab-c211

・・cosC=--------------=----------------------=------1,

■:寂,即。〈。力当且仅当〃=〃=且时等号成立，

42

...s=gJF=乎一面积的最大值为亨•

故答案为：叵

4

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)［-9,+oo)；(2)(—00,-^-J・

【解析】

(1)将。=4代入函数)，=/(力的解析式，将函数y=/(x)的及解析式变形为分段函数，利用二次函数的基本性质

可求得函数y=/(x)的值域；

炉-1

(2)由参变量分离法得出在区间［0,2］内有解，分xe［0,l］和xe(l,2］讨论，求得函数

|x—1|+|x+1|

x-l

y=i~l―1T的最大值，即可得出实数”的取值范围•

【详解】

r।2AIil-1冗2—4x+3,x21

(1)当a=4时，f(x}=x--4\x-l\-l=\.

'，11+4X—5,X<1

当xNl时，/(x)=(x-2)2-1e[-l,+oo)•

当尢vl时，/(x)=(x+2)2-9G[-9,+oo).

二函数y=/(%)的值域为［-9,4w)；

(2)不等式等价于％2-小-1|-12小+1|,

r2-1

即由E在区间［。,2］内有解

当xe[(),l]时，4一]二三二L,此时，£_Z_£----,0,贝!ja<0；

1—x+x+1222

x2-1_x2-1

当了£(1,2］时,

x-l+x+12x

在区间(1,2］上单调递增，当xw(l,2］时，13

函数y则4(二.

4

综上，实数a的取值范围是1-8,：.

【点睛】

本题主要考查含绝对值函数的值域与含绝对值不等式有解的问题，利用绝对值的应用将函数转化为二次函数，结合二

次函数的性质是解决本题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.

18.(1)见解析，Sn=G(2)最小正整数〃的值为35.

【解析】

(1)由等差中项可知2s“=。“+工，当〃N2时，得2S“=S“-S,i+：，整理后可得S：-S3=1,从而证

明｛S；｝为等差数列，继而可求S,,,

(2)bn=-y==-,则可求出7；=而不一1,令J^TT-125,即可求出"的取值范围，进而

求出最小值.

【详解】

解析：(1)由题意可得2s“=4+-!-,当〃=1时，2S,=a］+—,=1,%=1,

当〃22时，2S“=S“-S,i+[,整理可得S：-S,3=l,

3〃一七一1

国｝是首项为1,公差为1的等差数列，.•.S；=S；+(〃—l)=〃，s.=«.

(2)由(1)可得a,=-j=-j==Vrt+l-4n,

>/〃+1+yjn

7,=正—71+百一0H---\-4n—4n—i+\jn+\—Vn=y/n+\-1>5,解得n>35,

...最小正整数〃的值为35.

【点睛】

本题考查了等差中项，考查了等差数列的定义，考查了％与S”的关系，考查了裂项相消求和.当已知有%与S”的

a.,n=l

递推关系时，常代入4=0°进行整理.证明数列是等差数列时，一般借助数列，即后一项与前一项的差为常

5-3“一］

数.

19.(1)函数/(x)单调减区间为(f,f;单调增区间为(一1,a).(2)Z?<2-21n2(3)。€(一：,0)

【解析】

(1)据导数和函数单调性的关系即可求出；

(2)分离参数，可得ae*N2x+。对任意的。21及任意的x〉0恒成立，构造函数9(x)=e'-2x,利用导数求出函数的

最值即可求出。的范围；

(3)先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a的范围

【详解】

解：(1)当“<0时，因为r(x)=a(x+l)，，当X<—1时,/'(力>0；

当X>-1时,/(x)<0.所以函数/(X)单调减区间为单调增区间为(-1,+8).

(2)由/(力22f+区,得⑪6*之2炉+加,由于x>0,

所以ae'>2x+8对任意的a>1及任意的x〉0恒成立，

由于/>0斯以aex>ex，所以/-2x之Z?对任意的x>0恒成立，

设9(x)=e*-2x,x〉0,

则“(X)="-2,所以函数°(x)在(0,ln2)上单调递减，在(In2,-K»)上单调递增，

所以。(x)min=8(ln2)=2-21n2,

所以/?K2—21n2.

<3)由h(x)^axex+x+Inx,得“(x)=a(x+l)e'+]+:=(/+1乂皿二,其中x>0.

①若a20时，则〃'(x)>0,所以函数A(x)在((),+力)上单调递增，所以函数/?(%)至多有一个零点，不合题意；

②若"0时，令/«x)=0,得xe*=-•->0.

由第(2)小题，知：当x〉0时,9(x)="-2x=2-2In2>0,所以然>2x斯以xe'>2/,所以当x〉0时，函数旄*的

值域为(0,+力).

r

所以，存在%>0，使得axoe^+1=0,BPaxoe0=-1,①

且当无<七时,〃'(X)>0,所以函数〃(力在(0,%)上单调递增，在(天,心)上单调递减.因为函数有两个零点再，々,

所以〃(x),心="(/)=诙*+x0+lnx0=-L+p+ln/.②

设O(x)=—l+x+lnx,x>0,则夕'(力=1+，>0,所以函数°(x)在(0,+8)单调递增，由于°⑴=(),所以当》>1

X

时,°(x)>0.所以，②式中的%>1,

又由①式，得/泮

a

由第⑴小题可知，当”0时，函数/(X)在((),+。)上单调递减，所以-)>e,

当aw(一：,()1时,

(i)由于人(_1)=竺+[1_1)<0,所以得又因为(：]<1<小,且函数〃(x)在(O,xo)上单调递减,

函数〃(x)的图象在(0,%)上不间断，所以函数A(x)在((),天)上恰有一个零点；

41

，令「=—>e,

a

设尸(r)=-e'+r+lnr,r>e,

由于/>e时,lnf<t,d>2f，所以设厂⑺<0,即4—)<0.

1(n

由①式，得，当X。>1时,一一=X。*>X。,且可一一-hM<0,同理可得函数〃(x)在(毛,+8)上也恰有一个零点.

aka)

综上,ae(—,oj.

【点睛】

本题考查含参数的导数的单调性，利用导数求不等式恒成立问题，以及考查函数零点问题,考查学生的计算能力，是综合性

较强的题.

20.(1)点M的极坐标为［不1或I个(2)>/2+1

12oy(2o)

【解析】

3

(1)令2=1—sin。，由此求得。的值，进而求得点用的极坐标.

2

(2)设出M,N两点的极坐标，利用勾股定理求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得|MN|的最大值.

【详解】

(1)设点M在极坐标系中的坐标

31

由p二1-sin8,得一=1一sin。，sin6=——

22

.•.9=匕或。=止,

66

「)

所以点M的极坐t标d为［i万3,7*-7)或r［l53,171-^J

(2)由题意可设M(q,e),N(P2，］+“・

(JI\

由夕=1-sin。，得夕］=1-sin8,p2=1-sin—4-^J=1-cos^.

\MN\=y］p；+p；=^(l-sin<9)2+(l-cos^)2

=j3-2(sin6+cose)

=’3—2&sin(8+?)

57r

故6=7时，|MN|的最大值为正+1.

【点睛】

本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题.

2

21.(1)y+y=1;(2)272-3-

【解析】

(1)因为点(l,e)在椭圆。上，所以』+奈=1,然后，利用＜、2=“2一从，e=/,得出e+进而求

解即可

(2)设点尸的坐标为(2/),直线AP的方程为y=4(x—2)+f,直线8尸的方程为y=%(x—2)+r,分别联立方

2

X21kx+k2=2t

—+V=1和(/_[,利用韦达定理，再利用相n-k^y/2-2^+t,即可求出

程：〈2人2)+r,2

p=K(x_2)+f豕2=亍

mn的值

【详解】

(1)由椭圆C的长半轴长为力，得a=&

因为点(l,e)在椭圆。上，所以二+e2

=1.

Cl~后

又因为02=/一从，2=£,所以4+七单=1,

acrcrb2

所以8=—1(舍)或6=1.

故椭圆C的标准方程为-+/=1.

2

(2)设点P的坐标为(2,7),直线AP的方程为y=4(x—2)+r,直线3P的方程为y=的(x—2)+r.

2

X1

—+y2=1

据2得(26+1)炉+秋«_2幻2«-2&J-2=0.

y=k1(x-2)+z

据题意，得166(-2K)2—4(2%：+1)[2(-2幻2_2]=0,得26—4/+产—1=(),

同理，得2代一4%+产一1=(),

+%2=2f

所以

k\k)=

2

又可求，得/〃=K—2)+乙〃=&—2)+1,

所以K(J2-2J+［俨2(J2-2)+f

=(6—4后)"2+(正—2)优+&»+/

=(3—2旬(产—1)+2(8—2)/+』

=