西安中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文科）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精陕西省西安中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文科）试题含解析2019-2020学年陕西省西安中学高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题).1．在集合{a，b，c，d)上定义两种运算⊕和⊗如图,那么d⊗（a⊕c）＝(）A．a B．b C．c D．d2．已知点的极坐标为那么它的直角坐标为（）A． B． C． D．3．若，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．下列叙述中正确的是（）A．若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0” B．若a,b，c∈R,则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c” C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0” D．钱大姐常说“好货不便宜”，她的意思是：“好货”是“不便宜”的充分条件5．若函数有且只有一个零点,则a的取值范围是(）A．（﹣∞,﹣1）∪（0，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪[0,+∞） C．[﹣1，0） D．［0，+∞）6．如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是（)A．①﹣分析法，②﹣综合法 B．①﹣综合法，②﹣分析法 C．①﹣综合法，②﹣反证法 D．①﹣分析法,②﹣反证法7．函数f（x）＝的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0,b＞0,c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0,b＞0,c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜08．以下命题正确的是（）①幂函数的图象都经过(0，0）②幂函数的图象不可能出现在第四象限③当n＝0时，函数y＝xn的图象是两条射线（不含端点）④f（x）＝x﹣3是奇函数，且f（x）＝x﹣3在定义域内为减函数A．①② B．②④ C．②③ D．①③9．某单位为了了解用电量y（度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温x（℃）﹣1101318用电量（度）64383424由表中数据得线性回归方程＝﹣3x+a，预测当气温为﹣4℃时用电量度数为(）A．65 B．67 C．78 D．8210．设x，y，z∈R+，，则a,b，c三数（）A．都小于2 B．都大于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于211．设f（x）＝lg（+a）是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数是（)A．（﹣∞，+∞）上的减函数 B．（﹣∞，+∞）上的增函数 C．（﹣1,1）上的减函数 D．（﹣1，1）上的增函数12．已知定义在R上的函数y＝f（x）对任意的x都满足f(x+2）＝f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f(x）﹣loga|x｜恰有6个不同零点，则a的取值范围是（）A．（,］∪（5，7] B．(，]∪（5，7］ C．（，］∪（3，5] D．（，］∪（3，5]二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中相应的横线上。)13．若△ABC的三边之长分别为a、b、c，内切圆半径为r，则△ABC的面积为．根据类比思想可得：若四面体A﹣BCD的三个侧面与底面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r,则四面体的体积为．14．马林•梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对形如2p﹣1的数作了大量的计算、验证工作．人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2p﹣1(其中p是素数）的素数,称为梅森素数．若执行如图所示的程序框图,则输出的梅森素数的个数是．15．若ad≠bc，则（a2+b2）(c2+d2)(ac+bd）2．(选“≥”、“≤”、“＞”、“＜”其一填入)16．已知函数f(x）＝，若f(x)的最大值为3，则a＝三。解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．随着手机的普及,学生使用手机的人数也越来越多，手机是否影响学生的学习，是备受争论的问题,某学校从学生中随机抽取60人进行访问调查，结果表明：有手机的36人中有24人认为手机对学习有影响，另外12人认为无影响，在无手机的24人中有8人认为手机对学习有影响，另外16人认为无影响．试根据以上数据完成2×2列联表,并用独立性检验的思想,指出有多大把握认为手机对学习有影响．有手机无手机合计有影响无影响合计参考公式：K2＝,其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.150。100。050.0250.0100。005k02。7022.7063.8415。0246.6357。87918．已知函数f（x）＝｜3x﹣1|，g（x）＝1﹣｜x|．(1）解不等式f（x)≤2；（2）求F(x)＝f（x)﹣g（x）的最小值．19．（1）已知函数g（x）＝（a+1)x﹣2+1（a＞0)的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象上，求不等式g（x）＞3的解集；（2）已知﹣1≤，求函数的最大值和最小值．20．如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C,其中AB＝30米,AD＝20米．记三角形花园APQ的面积为S．（Ⅰ）当DQ的长度是多少时,S最小？并求S的最小值．（Ⅱ)要使S不小于1600平方米，则DQ的长应在什么范围内？21．已知f(x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是(0,5）,且f（x)在区间［﹣1，4]上的最大值是12．(1)求f（x）的解析式；（2）设函数f（x）在x∈［t，t+1］上的最小值为g（t)，求g（t)的表达式；（3)若关于t的方程g（｜t｜）＝k至少有4个根，求参数k的取值范围．（直接给出答案，不用书写解答过程）22．在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（其中t为参数）．以坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为．（1）求直线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2)过点P（3，2）作直线C1的垂线交曲线C2于M,N两点，求｜PM|•|PN｜．

参考答案一、选择题:(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在集合｛a，b，c，d)上定义两种运算⊕和⊗如图，那么d⊗（a⊕c）＝（）A．a B．b C．c D．d【分析】先求出a⊕c＝c，从而d⊗（a⊕c)＝d⊗c，由此能求出结果．解：由题意得：a⊕c＝c，∴d⊗(a⊕c）＝d⊗c＝a．故选：A．2．已知点的极坐标为那么它的直角坐标为（）A． B． C． D．【分析】利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ即可得出直角标准．解：点的极坐标为，可得它的直角坐标x＝2＝﹣1，y＝2＝．即．故选:C．3．若,则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】直接利用虚数单位i的性质及复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵＝＝＝，∴z在复平面内对应的点的坐标为(﹣1，﹣2）,位于第三象限．故选:C．4．下列叙述中正确的是（)A．若a，b，c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0” B．若a,b,c∈R，则“ab2＞cb2"的充要条件是“a＞c” C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0” D．钱大姐常说“好货不便宜”，她的意思是：“好货”是“不便宜”的充分条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别对每一选项进行判断即可．解：A、b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0错误，当a＝0时为一元一次不等式条件不成立,B、a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c"错误，当b＝0时不成立，C、“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”错误，对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2＜0”D、大姐常说“好货不便宜”，她的意思是:“好货"是“不便宜"的充分条件正确，好货一定能得到价格不便宜，故选：D．5．若函数有且只有一个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞,﹣1）∪（0，+∞） B．(﹣∞，﹣1)∪[0，+∞) C．[﹣1，0） D．［0，+∞）【分析】当x＞0时，因为log21＝0，所以有一个零点，所以要使函数f（x）有且只有一个零点，则当x≤0时，函数f（x）没有零点即可，即恒为负或恒为正,进而求出a的取值范围即可．解：当x＞0时，因为log21＝0，所以有一个零点,所以要使函数有且只有一个零点，则当x≤0时,函数f(x)没有零点即可，当x≤0时，0＜2x≤1，∴﹣1≤﹣2x＜0，∴﹣1﹣a≤﹣2x﹣a＜﹣a，所以﹣a≤0或﹣1﹣a＞0，即a≥0或a＜﹣1，故选：B．6．如图是解决数学问题的思维过程的流程图:图中①、②两条流程线与“推理与证明"中的思维方法相匹配是（）A．①﹣分析法，②﹣综合法 B．①﹣综合法,②﹣分析法 C．①﹣综合法,②﹣反证法 D．①﹣分析法，②﹣反证法【分析】根据综合法和分析法的定义,可知由已知到可知进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，进而得到答案．解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图:∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法,故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①﹣综合法，②﹣分析法，故选：B．7．函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0【分析】分别根据函数的定义域，函数零点以及f（0）的取值进行判断即可．解：函数在P处无意义，由图象看P在y轴右边，所以﹣c＞0，得c＜0，f（0）＝，∴b＞0，由f(x)＝0得ax+b＝0,即x＝﹣,即函数的零点x＝﹣＞0，∴a＜0，综上a＜0,b＞0，c＜0，故选：C．8．以下命题正确的是（）①幂函数的图象都经过（0，0）②幂函数的图象不可能出现在第四象限③当n＝0时，函数y＝xn的图象是两条射线(不含端点)④f（x）＝x﹣3是奇函数，且f(x）＝x﹣3在定义域内为减函数A．①② B．②④ C．②③ D．①③【分析】根据幂函数的性质进行判断或举反例说明错误．解：（1）幂函数y＝x﹣1不经过点（0，0），故①错误；（2)幂函数y＝xa,显然不论a取何值，当x＞0时,xa＞0，故幂函数图象不可能经过第四象限，故②正确；(3）当n＝0时,y＝xn＝1(x≠0），故y＝x0的图象为两条射线（不含端点），故③正确；（4）f（x）的定义域为｛x｜x≠0},且f（x）＝x﹣3＝，∴f(﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），故f（x）＝x﹣3是奇函数,又当x＜0时，f(x）＜0,当x＞0时,f（x）＞0，故f（x）在定义域内不是减函数，故④错误．故选：C．9．某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温x(℃)﹣1101318用电量（度）64383424由表中数据得线性回归方程＝﹣3x+a，预测当气温为﹣4℃时用电量度数为（）A．65 B．67 C．78 D．82【分析】先求出样本中心点为（10，40），然后将其代入＝﹣3x+a，得到a＝70，从而得到线性回归方程为＝﹣3x+70，再把x＝﹣4代入，求出即可得解．解：，，把样本中心点(10,40)代入＝﹣3x+a,得40＝﹣3×10+a，所以a＝70，即＝﹣3x+70，当x＝﹣4时,＝﹣3×（﹣4）+70＝82，故选:D．10．设x,y，z∈R+,,则a，b,c三数（）A．都小于2 B．都大于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2【分析】将三个式子相加，构造出均值不等式的形式，由均值不等式可得a+b+c≥6，从而推出a，b，c的范围．解：∵a+b+c＝x++y++z+≥2+2+2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号∴a，b，c至少有一个不小于2．故选:D．11．设f(x）＝lg（+a）是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数是（）A．（﹣∞，+∞）上的减函数 B．(﹣∞，+∞）上的增函数 C．（﹣1，1)上的减函数 D．（﹣1，1）上的增函数【分析】由f（0）＝0，求得a的值，可得f（x）＝lg（)，由此求得函数f（x）的定义域．再根据f（x）＝lg（﹣1﹣），以及t＝﹣1﹣在（﹣1，1）上是增函数，可得结论．解：由于f（x）＝lg(+a)是奇函数，且在x＝0处有意义，故有f（0）＝0，即lg(2+a）＝0，解得a＝﹣1．故f（x）＝lg(﹣1）＝lg（）．令＞0，求得﹣1＜x＜1，故函数f（x）的定义域为（﹣1，1）．再根据f(x）＝lg(）＝lg（﹣1﹣），函数t＝﹣1﹣在（﹣1,1）上是增函数，可得函数f（x）在（﹣1,1)上是增函数，故选：D．12．已知定义在R上的函数y＝f（x）对任意的x都满足f(x+2）＝f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g(x）＝f（x）﹣loga｜x|恰有6个不同零点，则a的取值范围是（）A．(，］∪（5，7］ B．（,］∪（5，7］ C．（，］∪（3，5] D．（，］∪（3，5]【分析】本题通过典型的作图画出loga｜x｜以及f（x）的图象，从图象交点上交点的不同,来判断函数零点个数，从而确定底数a的大小范围．解：首先将函数g（x）＝f（x）﹣loga|x|恰有6个零点，这个问题转化成f(x)＝loga｜x|的交点来解决．数形结合：如图,f（x+2)＝f（x)，知道周期为2，当﹣1＜x≤1时，f（x）＝x3图象可以画出来，同理左右平移各2个单位，得到在(﹣7，7)上面的图象，以下分两种情况：(1）当a＞1时,loga｜x|如图所示，左侧有4个交点，右侧2个，此时应满足loga5≤1＜loga7，即loga5≤logaa＜loga7，所以5≤a＜7．（2）当0＜a＜1时，loga｜x｜与f（x）交点,左侧有2个交点，右侧4个，此时应满足loga5＞﹣1,loga7≤﹣1，即loga5＜﹣logaa≤loga7，所以5＜a﹣1≤7．故≤a＜综上所述，a的取值范围是：5≤a＜7或≤a＜，故选:A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中相应的横线上。）13．若△ABC的三边之长分别为a、b、c,内切圆半径为r,则△ABC的面积为．根据类比思想可得：若四面体A﹣BCD的三个侧面与底面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为．【分析】根据三角形的边应与四面体中的各个面进行类比,而面积与体积进行类比,进行类比猜想即可．解：根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比:∴△ABC的面积为s＝，对应于四面体的体积为V＝．故答案为：．14．马林•梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物,梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对形如2p﹣1的数作了大量的计算、验证工作．人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2p﹣1（其中p是素数)的素数，称为梅森素数．若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是4．【分析】由已知中的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得p＝2，S＝3，输出S的值为3，满足条件p≤8，执行循环体，p＝3，S＝7,输出S的值为7，满足条件p≤8,执行循环体，p＝4，S＝15，输出S的值为15，满足条件p≤8，执行循环体，p＝5,S＝31，输出S的值为31,满足条件p≤8，执行循环体，p＝6,S＝63，输出S的值为63，满足条件p≤8,执行循环体,p＝7,S＝127，输出S的值为127，满足条件p≤8，执行循环体，p＝8，S＝254，输出S的值为254，满足条件p≤8，执行循环体，p＝9，S＝511，输出S的值为511，此时,不满足条件p≤8，退出循环,结束．由于9不是素数，所以511不是梅森素数，则输出的梅森素数的个数是4．故答案为：4．15．若ad≠bc，则（a2+b2）(c2+d2)＞（ac+bd）2．（选“≥”、“≤”、“＞”、“＜”其一填入）【分析】根据ad≠bc即可得出（ad）2+（bc）2＞2ac•bd,从而可得出（a2+b2)（c2+d2)＞（ac+bd)2．解：∵ad≠bc，∴（a2+b2）（c2+d2）＝（ac）2+（bd)2+(ad)2+（bc)2＞（ac）2+（bd）2+2ac•bd＝（ac+bd）2．故答案为：＞．16．已知函数f（x)＝，若f(x）的最大值为3，则a＝2【分析】根据复合函数的性质，f（t）＝是递减函数，那么t＝ax2﹣4x+1必有最小使得得f（t）的最大值为3;从而求解a的值；解：由题意，f（t）＝是递减函数，那么t＝ax2﹣4x+1必有最小使得得f（t）的最大值为3；即3＝，那么tmin＝﹣1，由t＝ax2﹣4x+1，显然二次函数有最小值,a＞0；其对称轴x＝,∴﹣1＝a×﹣4×，解得：a＝2，故答案为：2．三。解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)17．随着手机的普及，学生使用手机的人数也越来越多，手机是否影响学生的学习，是备受争论的问题,某学校从学生中随机抽取60人进行访问调查，结果表明：有手机的36人中有24人认为手机对学习有影响，另外12人认为无影响,在无手机的24人中有8人认为手机对学习有影响,另外16人认为无影响．试根据以上数据完成2×2列联表,并用独立性检验的思想，指出有多大把握认为手机对学习有影响．有手机无手机合计有影响无影响合计参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．参考数据:P（K2≥k0）0.150。100。050.0250。0100.005k02。7022。7063.8415。0246。6357.879【分析】根据题意填写列联表,计算K2，对照附表得出结论．解：根据题意,填写列联表如下;有手机无手机合计有影响24832无影响121628合计362460计算K2＝＝≈6。429＞5。024，所以有97.5%的把握认为手机对学习有影响．18．已知函数f（x）＝|3x﹣1|，g(x）＝1﹣｜x|．（1）解不等式f（x）≤2;(2）求F（x）＝f(x）﹣g（x）的最小值．【分析】（1）解绝对值不等式｜3x﹣1|≤2即可得出答案；（2）将函数F（x）化为分段函数的形式,利用函数性质即可求得最小值．解：（1)f(x）≤2即｜3x﹣1|≤2，∴﹣2≤3x﹣1≤2，∴﹣1≤3x≤3，解得，∴不等式的解集为；（2）F（x）＝|3x﹣1|+|x|﹣1＝,∴当时取到最小值．19．（1)已知函数g（x）＝(a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象上，求不等式g（x）＞3的解集；（2）已知﹣1≤，求函数的最大值和最小值．【分析】（1）根据指数函数的定义可得A(2，2），代入可求得a＝1,则列出不等式可得解集；（2)根据条件得到x的范围，利用换元思想可得函数y的最值解：（1)由题意知定点A的坐标为（2，2)∴2＝，解得a＝1∴g（x)＝2x﹣2+1∴由g（x）＞3得,2x﹣2+1＞3∴2x﹣2＞2，∴x﹣2＞1,∴x＞3∴不等式g（x）＞3的解集为（3，+∞）;（2)由﹣1≤≤1得≤x≤2，令t＝，则≤t≤,y＝4t2﹣4t+2＝4(t﹣)2+1∴当t＝,即＝，x＝1时,ymin＝1，当t＝,即＝,x＝2时，ymax＝．20．如图,互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上,Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB＝30米，AD＝20米．记三角形花园APQ的面积为S．（Ⅰ）当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值．(Ⅱ）要使S不小于1600平方米,则DQ的长应在什么范围内？【分析】（1）由于DC∥AB得出△QDC∽△DAP从而AP用DQ表示，利用三角形的面积公式表示出面积,(2）转化成数学问题，再利用基本不等式求最值,注意等号何时取得．解:（Ⅰ）设DQ＝x米(x＞0），则AQ＝x+20，∵，∴,∴AP＝则S＝×AP×AQ＝＝15(x+）≥1200，当且仅当x＝20时取等号（Ⅱ）由S≥1600，得3x2﹣200x+1200≥0解得0＜x≤或x≥60答:（Ⅰ）当DQ的长度是20米时，S最小?且S的最小值为1200平方米．（Ⅱ）要使S不小于1600平方米，则DQ的取值范围是0＜DQ≤或DQ≥60．21．已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间[﹣1，4］上的最大值是12．（1）求f（x)的解析式;(2）设函数f（x）在x∈［t,t+1]上的最小值为g（t)，求g（t）的表达式;（3)若关于t的方程g(｜t｜）＝k至少有4个根，求参数k的取值范围．(直接给出答案，