如何理解小波

如何理解小波第1页，共25页，2023年，2月20日，星期六2/20如何理解小波?Daubechies16阶Meyer第2页，共25页，2023年，2月20日，星期六3/20小波的优点小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化特性；小波变换可以自适应地调节时频窗口；小波变换对信号奇异点非常敏感，可以用于分析检测突变信号；因而能在信号检测、降噪、特征提取方面发挥重要作用，被誉为信号分析的“显微镜”。

第3页，共25页，2023年，2月20日，星期六4/20小波的应用J.Morlet，地震信号分析。S.Mallat，二进小波用于图像的边缘检测、图像压缩和重构Farge，连续小波用于涡流研究Wickerhauser，小波包用于图像压缩。Frisch噪声的未知瞬态信号。Dutilleux语音信号处理H.Kim时频分析Beykin正交小波用于算子和微分算子的简化信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探流体力学、电磁场、CT成象、机器视觉、机械故障诊断、分形第4页，共25页，2023年，2月20日，星期六5/20小波的历史发展小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的。当时未能得到数学家的认可。1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的多尺度分析。1992年，比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（TenLecturesonWavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。1994年,AT&T公司Bell实验室的WimSwelden提出的提升方案LiftingScheme，即第二代小波。第5页，共25页，2023年，2月20日，星期六6/20小波的历史发展I.DaubechiesS.MallatWimSwelden第6页，共25页，2023年，2月20日，星期六7/20小波分析典型参考书荣获1994年LeroyP．Steele奖。该书印数超过15000册，这在学术著作中是极为罕见的。ISBN：7-118-03381-2作者：Daubechies,李建平，杨万年译第7页，共25页，2023年，2月20日，星期六8/20小波分析典型参考书MATLAB6.5辅助小波分析与应用

出版社:电子工业出版社出版日期:2003年1月1日作者:飞思科技产品研发中心ISBN:7505381**定价:26元

该书是作者总结多年研究小波分析的心得，以MATLAB6.5中的小波分析工具箱（wavelettoolbox）2.2版为基础，在简要介绍小波分析的基础理论之后，重点说明了小波分析工具箱的详细使用方法，并以信号和图像处理领域为例展示了如何应用小波分析工具箱来解决工程中的实际问题，以达到使读者快速入门小波分析的目的。

第8页，共25页，2023年，2月20日，星期六9/20泛函知识初步空间空间的直观理解就是一种集合，其元素可能是函数、矢量等，而元素之间存在一定的关系或性质。函数空间所谓函数空间，就是由函数构成的集合，并在集合上赋予了一定的代数结构。距离空间第9页，共25页，2023年，2月20日，星期六10/20泛函知识初步函数空间线性空间赋范线性空间Banach空间Hilbert空间第10页，共25页，2023年，2月20日，星期六11/20泛函知识初步基底张成span基底正交(直交)标准正交基（规范正交基）双正交基第11页，共25页，2023年，2月20日，星期六12/20泛函知识初步框架框架：frame紧框架：compactframe若A=B=1，则此紧框架就退化为规范正交基举例第12页，共25页，2023年，2月20日，星期六13/20泛函知识初步常用的函数空间第13页，共25页，2023年，2月20日，星期六14/20傅立叶变换傅里叶变换的基本思想是将信号分解成一系列不同频率的连续正弦波的叠加，或者从另外一个角度来说是将信号从时间域转换到频率域。第14页，共25页，2023年，2月20日，星期六15/20傅立叶变换从泛函的角度看傅里叶变换：待处理的信号<,>为广义的内积运算第15页，共25页，2023年，2月20日，星期六16/20傅立叶变换傅里叶变换严重的不足

傅里叶变换时丢掉了时间信息，无法根据傅里叶变换的结果判断一个特定的信号是在什么时候发生的。也就是说，傅里叶变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域里的定位是完全准确的（即频域分辨率最高），而在时域无任何定位性（或无分辨能力）第16页，共25页，2023年，2月20日，星期六17/20连续小波变换容许条件对于理论分析很重要，但对于工程应用不太明显。小波母函数的性质：第17页，共25页，2023年，2月20日，星期六18/20小波母函数第18页，共25页，2023年，2月20日，星期六19/20小波母函数举例：给出Marr小波在不同尺度和平移因子下的时域和频域波形图：时域波形频域波形第19页，共25页，2023年，2月20日，星期六20/20连续小波变换第20页，共25页，2023年，2月20日，星期六21/20连续小波变换第21页，共25页，2023年，2月20日，星期六22/20连续小波变换第22页，共25页，2023年，2月20日，星期六23/20小波变换与傅立叶比较待处理的信号共轭连续小波定义：傅立叶变换定义：第23页，共25页，2023年，2月20日，星期六