二重积分的计算方法

第二节二重积分的计算法计算二重积分的方法:二重积分累次积分(即两次定积分).1现在是1页\一共有28页\编辑于星期四在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为一、利用直角坐标系计算二重积分2现在是2页\一共有28页\编辑于星期四(2)如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.［X－型］3现在是3页\一共有28页\编辑于星期四回忆：平行截面面积为已知的立体的体积立体体积此方法关键是求4现在是4页\一共有28页\编辑于星期四计算截面面积(红色部分即A(x0))＊以D为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.用二重积分的几何意义说明其计算法:是区间为曲边的曲边梯形.为底,曲线5现在是5页\一共有28页\编辑于星期四A(x0)先对y后对x的二次积分(累次积分)6现在是6页\一共有28页\编辑于星期四(2)

积分区域为：先对x后对y的二次积分也即其中函数在区间上连续.［Y－型］7现在是7页\一共有28页\编辑于星期四1.当D既不是X-型区域也不是Y-型区域时,将D分成几部分，使每部分是X-型区域或是Y-型区域.注意：2.当D既是X-型区域也是Y-型区域时,可以用两个公式进行计算.ⅠⅡⅢyx0yx0cdabD8现在是8页\一共有28页\编辑于星期四特殊地即等于两个定积分的乘积.D为矩形域:则则a≤x≤b,c≤y≤d9现在是9页\一共有28页\编辑于星期四二重积分是化为两次定积分来计算的，关键是确定积分限.定限要注意的问题：1.上限>下限.2.内层积分的上，下限应为外层积分变量的函数.3.外层积分上，下限应为常数(后积先定限).4.二重积分的结果应为常数.10现在是10页\一共有28页\编辑于星期四例

计算其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域.解法1：先y后x

··xyx012y=xy=1x=211现在是11页\一共有28页\编辑于星期四解法2：先x后yyx012y=xx=2··y12现在是12页\一共有28页\编辑于星期四解例计算(1,1)13现在是13页\一共有28页\编辑于星期四选取积分次序,不仅要看区域的特点,而且要看被积函数的特点.凡遇如下形式积分:等等,一定要放在后面积分.14现在是14页\一共有28页\编辑于星期四解积分区域如图例改变积分的次序.15现在是15页\一共有28页\编辑于星期四例交换积分次序：解原式=16现在是16页\一共有28页\编辑于星期四例交换积分次序：解积分区域:原式=17现在是17页\一共有28页\编辑于星期四例求证左边的累次积分中,提示不能直接计算，是y的抽象函数,证毕.要先交换积分次序.证明18现在是18页\一共有28页\编辑于星期四例

求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为及

解

求所围成的立体的体积.19现在是19页\一共有28页\编辑于星期四解曲面围成的立体如图.例

求由下列曲面所围成的立体体积，20现在是20页\一共有28页\编辑于星期四21现在是21页\一共有28页\编辑于星期四例解22现在是22页\一共有28页\编辑于星期四补充轮换对称性结论:若D关于x,y满足轮换对称性(将D的边界曲线方程中的x与y交换位置,方程不变),则23现在是23页\一共有28页\编辑于星期四证所以,

例24现在是24页\一共有28页\编辑于星期四二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）小结［Y－型］［X－型］（1）化二重积分为二次积分；（2）交换积分次序；题型25现在是25页\一共有28页\编辑于星期四作业习题8-2(1)(77页)3.(1)(3)(4)4.5.6.(1)(2)7.(2)(3)26现在是26