傅里叶变换和拉普拉斯变换

一傅里叶变换在应用上的局限性在第三章中，已经介绍了一个时间函数满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在第三章中，已经介绍了一个时间函数满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换。即F(>)=引8f。-j0dt一8(正变换)(5.1)f(t)=—j8F(^》&32兀-8(反变换)(5.2)但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号UG)，斜变信号tU°)，单边正弦信号sin°tU°)等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅里叶变换。还有一些信号，例如单边增长的指数信号eaU()(a>0)等，则根本就不存在傅里叶变换。另外，在求傅里叶反变换时，需要求°从-8到8区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。实际上，信号f(tl总是在某一确定的时刻接入系统的。若把信号f(t)接入系统的时刻作为t=0的时刻(称为起始时刻)，那么，在t<0的时间内即有fG)=0。我们把具有起始时刻的信号称为因果信号。这样，式(5-1)即可改写为8f(t)-j°dt(53)式(5-3)中的积分下限取为0―，是考虑到在t=0的时刻fQ中有可能包含有冲激函数8°)。但要注意，式；5-2)中积分的上下限仍然不变(因积分变量是°)，不过此时要在公式后面标以t>0,意即只有在t>0时/Q才有定义，即/0=—f00/0=—f00F(窿egd®2丸-00t>0(5-4a)或用单位阶跃函数”0）加以限制而写成下式，即也）=1271-oo8也）=1271-oo8F(jCoij®tZCDU(t)(5-4b)二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换当函数fG）不满足绝对可积条件时，可采取给fG）乘以因子Ja（。为任意实常数）的办法，这样即得到一个新的时间函数心/。今若能根据函数'的具体性质，恰当地选取b的值，从而使当t*时，函数他-点T°,即满足条件limfOa=0—00则函数即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因fQ起着使函数收敛的作用，故称为收敛因子。设函数心5满足狄里赫利条件且绝对可积（这可通过恰当地选取。的值来达到），则根据-((?+jcoXdt式(5-3)有F（>）=f°°/Q—cte-jst出=o-（）-在上式中，是以9+）①/的形式出现的。令S=b+/CD,s为一复数变量，称为复频1-((?+jcoXdt。的单位为s,s的单位为md/s。这样，上式即变为F(jco)=fco/Gl-st0-由于上式中的积分变量为t,故积分结果必为复变量s的函数，故应将"。°）改写为"G）,即F(s)=P°f(t2-stdt号)复变量函数FQ称为时间函数f。的单边拉普拉斯变换。F。称为f。的像函数，为FG)的原函数。一般记为F(s)=Llf(t)]符号L-1LI为一算子，表示对括号内的时间函数f°)进行拉普拉斯变换。利用式(5-4)可推导出求FVs7反变换的公式，即f(t)e一°t=—J"f(s)ej®td①2丸f对上式等号两边同乘以纹，并考虑到纹不是o的函数而可置于积分号内。于是得f(t)=—"F(s)e顷ejotdo=—"F(s)eG+Gdo=—"F(s)estdo(5-6)2兀-82兀-82兀-8』。)由于式(5-6)中被积函数是"W，而积分变量却是实变量o。所以欲进行积分，必须进行变量代换。因故ds=d(o+o)=jdo(因。为任意实常数)故do=1dsj且当o=-8时，s=b—j8；当o=8时，s=b+j8。将以上这些关系代入式(5-6)即f(t)=上jgj8F(s^stds(5-7a)2兀j◎―j8t>0八)=|2f°+y*F(s^stdsUQ(5-6)(5-7a)写成LMe」(5-7b)式(5-7b)称为拉普拉斯反变换，可从已知的像函数FG)求与之对应的原函数f°)。一般记为/()=山F&)]符号L-i[•I也为一算子，表示对括号内的像函数F(s)进行拉普拉斯反变换。式(5-5)与式(5-7)构成了拉普拉斯变换对，一般记为f()oF(s)或F(s)of()4)若E不是因果信号，则拉普拉斯变换式(5-5)的积分下限应改写为(-8)，即F(s)=Mf(t\stdt-8(5-8)式(5-8)称为双边拉普拉斯变换。因为一般常用信号均为因果信号(即有始信号)，故本书主要讨论和应用单边拉普拉斯变换。以后提到拉普拉斯变换，均指单边拉普拉斯变换而言。由以上所述可见，傅里叶变换是建立了信号的时域与频域之间的关系，即而拉普拉斯变换则是建立了信号的时域与复频域之间的关系，三、复频率平面以复频率s="+/①的实部°和虚部，3为相互垂直的坐标轴而构成的平面，称为复频率平面，简称s平面，如图5-1所示。复频率平面(即s平面)上有三个区域：/①轴以左的区域为左半开平面；J®轴以右的区域为右半开平面；J®轴本身也是一个区域，它是左半开平面与右半开平面的分界轴。将s平面划分为这样三个区域，对以后研究问题将有很大方便。四、拉普拉斯变换存在的条件与收敛域上面已经指出，当函数f(t)乘以收敛因子eq后，所得新的时间函数f(t)e-ct便有可能

满足绝对可积条件。但是否一定满足，则还要视f°）的性质与”值的相对关系而定。下面就来说明这个问题。因f°）=质e_stdt=j"（te-”te-jgdtlim_”t=00_0_由此式可见，欲使FG）存在，则必须使S_Ct满足条件式（5-9）中的气值指出了函数f°。Q的收敛条件。气的值由函数f°的性质确定。根据气的值，可将s平面（复频率平面）分为两个区域，如图5-2所示。通过”0点的垂直于°轴的直线是两个区域的分界线，称为收敛轴，”0称为收敛坐标。收敛轴以右的区域不包括收敛轴在内）即为收敛域，收敛轴以左的区域（包括收敛轴在内）则为非收敛域。可见f。或F°的收敛域就是在s平面上能使式（5-9）满足的”的取值范围，意即”只有在收敛域内取值，Elim_”t=0的拉普拉斯变换2才能存在，且一定存在。五、拉普拉斯变换的基本性质由于拉普拉斯变换是傅里叶变换在复频域（即s域）中的推广，因而也具有与傅里叶变换的性质相应的一些性质。这些性质揭示了信号的时域特性与复频域特性之间的关系，利用这

些性质可使求取拉普拉斯正、反变换来得简便。关于拉普拉斯变换的基本性质在表5-1中列出。对于这些性质，由于读者在工程数学课中已学习过了，所以不再进行证明，读者可复习有关的工程数学书籍。表5-1拉普拉斯变换的基本性质序号性质名称f(tU(t)F(s)1唯一性f()F(s)2齐次性Af饥AF()3叠加性f1Q+f2(t)匕。+F2(s)4线性Af(t)+Af(t)1122AF(s)+AF(s)11225尺度性f(at)，a>01Fas]、a)6时移性f(t-10)U(t-10)，t0>0F(s)e-107时域微分f(t)e-atF(s+a)8复频微积分八)sF(s)-f6-)f"G)s2F(s)-sf(0-)-fr(0-)f(n)(t)SnFG)-sn-1f&-)一sn-2f-)一fn-1^0-^9复频移性tf(t)(-1)1也dstf(n)(t)(-1).dnF(s)dsn10时域积分「f(J)dT0-F(s)s11复频域t广Fsy)

积分12时域卷积fm2qF(s)F()1213复频域卷积fG)f2G)2-F1(s)*F2(s)14初值定理fG)cosWt1F(s+jw)+F(s-jw)]200f(t)sinwt2F(s-jW0)-F(s+jW0)]15终值定理fG+)=limf(t)=limsF(s)tT0+tT816调制定理f(^)=limf()=limsF(s)tStT0利用式(5-5)和拉普拉斯变换的性质，可以求出和导出一些常用时间常数f'。的拉普拉斯变换式，如表5-2中所列。利用此表可以方便地查出待求的像函数FG)或原函数f°)表5-2拉普拉斯变换表序号f(tU(t)F(s)1.(t)12an(t)sn3U(t)14t土5tnn!sn+16e—ats+a7te—at1(s+a)2

n!sinwt11S2+321213+a23s2+3215n!sinwt11S2+321213+a23s2+3215S2-32亍2+32)10161718艾5(t-nT)19芝f(t-nT)从已知的像函数F^)求与之对应的原函数fG),称为拉普拉斯反变换。通常有两种方法。1部分分式法由于工程实际中系统响应的像函数””'通常都是复变量S的两个有理多项式之比，亦即是S的一个有理分式，即(\N(s)bsm+bs叶ihbs+bF\S)—(、m〃日1QLas)sn+aas+an—Lion—L(5-10)式中，"o,气,…，an-i'''和4,b2,bm等均为实系数；m和n均为正整数。故可将像函数"G)展开成部分分式，再辅以查拉普拉斯变换表即可求得对应的原函数'6)。』)欲将/将/展开成部分分式，首先应将5^5-10)化成真分式。即当mN"时，应先用除NQ法将表示成一个、的多项式与一个余式之和，即sm-n+^-+Bs+B+^7^r风)”E1°,这样余式已为一真分式。对应于多项式Bm_nSm-n+'''+Bis+B,各项的时间函数是冲激函数的各阶导数与冲激尸(y)=*^已是真分式的情况讨论。分两种情况函数本身。所以，在下面的分析中，均按DKS)研究：已是真分式的情况讨论。分两种情况(1)分母多项式0仔)=、〃+气_严1+・・・+。/+。0=。的根为n个单根七七七。由于瓜)=0时即有湛)=8,故称瓜)=。的根P‘(i=i,2,...,n)为F(s)的极点。此时可将D(s)进行因式分解，而将式(5-10)写成如下的形式，并展开成部分分式。即F(s)=N(s)bsm+bsm-ihfbs+b窗=(s-p)(s-p1)^(s-p).A(s-p)=12in+2+，，，+i—+，，，+n—

s-ps-F(s)=(5-11)式中，Ki(i=1,2,…,n)为待定常数。可见，只要将待定常数Ki求出，则FG)的原函数f(t)即可通过查表5-2中序号6的公式而求得为f(t)=Kept+Kep2t+—+Kept+—+Kepnt12in=乎Kep^U(t)i=1待定常数火1按下式求得，即N(s)(、Ki=Ds)(s一明s=pi(5-12)现对式(5-12)推导如下：给式(5-11)等号两端同乘以(s―p)，即有F(s)(s-p)=—(s-p、+—^-2—(s-p)+K++is一pis一piiKn—s-pnp)由于此式为恒等式，故可取'pt代入之，并考虑到七尹p2p2二ptpn二pt，故得:F(sX-p)=0+0+...+K+—+0于是得K=F(s)S—p)=半(s-p)iil=pD(S)i'『i证毕。*2留数法(ResidueMethod)f(t)=—j~&F(s^stds2兀j根据式(5-7)知，拉普拉斯反变换式为J◎一jt>0这是个复变函数的线积分，其积分路径是s平面内平行于J°轴的°=Ci>Go的直线AB(亦即直线AB必须在收敛轴以右)，如图5-4所示。直接求这个积分是很困难的，但从复变函数论知，可将求此线积分的问题，转化为求F(S)的全部极点在一个闭合回线内部的全部留数的代数和。这种方法称为留数法，也称围线积分法。闭合回线确定的原则是：必须把F(S^T全部极点都包围在此闭合回线的内部。因此，从普遍性考虑，此闭合回线应是由直线AB与直线AB左侧半径R=8的圆Cr所组成，如图54所示。这样，求拉普拉斯反变换的运算，就转化为求被积函数F(S在F')的全部极点上留数的代数和，即—fF(sItds2财Crf(t)=—!—J。*J8F(s"甬ds=—!—fF(sMtds+2财。—J82—fF(sItds2财Cr—LfF(s)estds=ERes[p]2财ab+cri=ifF(s)estds=f(t)=f°+J8F(s^stdsfF(s\stds=0ReAp］为极点P,的留数。以下分两种Crpi(=1,2,)为fQ的极点，亦即d(s)=0的根;情况介绍留数的具体求法。ReAp］为极点P,的留数。以下