数理统计统计量及其分布

数理统计统计量及其分布现在是1页\一共有51页\编辑于星期五5.3.1统计量及其分布定义统计量:设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本,若样本函数T=T(x1,x2,…,xn)中不含有任何未知参数,则称T为统计量.抽样分布:统计量的分布成为抽样分布.现在是2页\一共有51页\编辑于星期五现在是3页\一共有51页\编辑于星期五注:统计量不依赖于未知参数,但是它的分布一般是依赖与未知参数的.现在是4页\一共有51页\编辑于星期五5.3.2样本均值及其抽样分布定义5.3.2设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本,其算术平均值称为样本均值，一般用表示,即在分组样本场合,样本均值的近似公式为其中k为组数,xi为第i组的组中值,fi为第组的频数.现在是5页\一共有51页\编辑于星期五例5.3.1某单位收集到20名青年人的某月的娱乐支出费用数据:79848488929394979899100101101102102108110113118125则该月这20名青年的平均娱乐支出为现在是6页\一共有51页\编辑于星期五将这20个数据分组可以得到如下频数频率分布:组序分组区间组中值频数频率现在是7页\一共有51页\编辑于星期五定理5.3.1若把样本中的数据与样本均值之差称为偏差,则样本所有偏差之和为0,即定理5.3.2数据观察值与均值的偏差平方和最小,即在形如的函数中,最小,其中为任意给定常数.现在是8页\一共有51页\编辑于星期五定理5.3.2数据观察值与均值的偏差平方和最小,即在形如的函数中,最小,其中c为任意给定常数.现在是9页\一共有51页\编辑于星期五证明:为任意给定常数c现在是10页\一共有51页\编辑于星期五定理5.3.3设x1,x2,…,xn是来自某个总体的样本，为样本均值1)若总体分布为，则2)若总体分布未知或者不是正态分布,但则n较大时现在是11页\一共有51页\编辑于星期五证明:1)证明见p210,习题13.（提示：用特征函数的性质证）2)由中心极限定理,现在是12页\一共有51页\编辑于星期五例5.3.3求样本容量为30,总体分布如下的样本均值的渐进分布:1)总体分布为均匀分布U(1,5);2)总体分布密度函数为(倒三角分布)3)总体分布为指数分布Exp(1)；现在是13页\一共有51页\编辑于星期五解:1)均匀分布U(1,5)的均值和方差分别为3和4/3,所以样本均值的渐进分布为2)容易算出该分布均值和方差分别为3和2,所以样本均值的渐进分布为3)指数分布Exp(1)的均值和方差都为1,所以样本均值的渐进分布为现在是14页\一共有51页\编辑于星期五5.3.3样本方差和

样本标准差现在是15页\一共有51页\编辑于星期五称为样本方差.称为样本标准差.也称为样本方差(也称无偏方差)也称为样本标准差..不大时常用在定义5.3.3设x1,x2,…,xn是来自某个总体的样本，则它的平均偏差平方和:关于样本均值现在是16页\一共有51页\编辑于星期五说明：称为偏差平方和的自由度自由度的含义是：

个偏差中只有个数据可以自由变动,而第个则不能自由取值,因为现在是17页\一共有51页\编辑于星期五分组样本场合，样本方差的近似计算公式为练习:例现在是18页\一共有51页\编辑于星期五定理5.3.4设总体X具有二阶矩,即x1,x2,…,xn为从总体得到的样本,则:证明:现在是19页\一共有51页\编辑于星期五现在是20页\一共有51页\编辑于星期五5.3.4样本矩及其函数现在是21页\一共有51页\编辑于星期五定义5.3.4设x1,x2,…,xn是样本,则统计量称为样本阶原点矩称为样本阶中心矩,,是样本矩吗？请回答：

定义5.3.5设x1,x2,…,xn是样本,则统计量称为样本偏度.现在是22页\一共有51页\编辑于星期五说明:反映了总体分布密度曲线的对称性信息.1、是个相对数,刻画了数据分布的偏斜方向和程度.2、说明数据是对称的.

称为样本偏度.现在是23页\一共有51页\编辑于星期五说明数据中有几个较大的数，反映总体分布是正偏的或右偏的.

说明数据中有几个较小的数，反映总体分布是负偏的或左偏的.现在是24页\一共有51页\编辑于星期五定义5.3.6设x1,x2,…,xn是样本,则统计量称为样本峰度.现在是25页\一共有51页\编辑于星期五现在是26页\一共有51页\编辑于星期五现在是27页\一共有51页\编辑于星期五现在是28页\一共有51页\编辑于星期五5.3.5次序统计量

及其分布现在是29页\一共有51页\编辑于星期五一、次序统计量的定义及性质

现在是30页\一共有51页\编辑于星期五例设总体X的分布为仅取0,1.2的离散均匀分布,分布列为x012p1/31/31/3现从中抽取容量为3的样本，其一切可能取值有将它们列在下表左侧，其右侧是相应的次序统计量观测值。现在是31页\一共有51页\编辑于星期五000000120012001001210012010001022022100001202022002002220022020002112112200002121112011011211112101011122122110011212122012012221122021012111111102012222222201012现在是32页\一共有51页\编辑于星期五现在是33页\一共有51页\编辑于星期五二、次序统计量的抽样分布

现在是34页\一共有51页\编辑于星期五练习：请写出最小次序统计量和最大次序统计量的密度函数.（p157）现在是35页\一共有51页\编辑于星期五例中抽得一个容量为5的样本,试计算现从该总体设总体密度函数为解：由总体密度函数求出总体分布函数为:现在是36页\一共有51页\编辑于星期五例这正是的分布.设总体分布为现在是37页\一共有51页\编辑于星期五例设总体分布为极差现在是38页\一共有51页\编辑于星期五5.3.6样本中位数与

样本分位数现在是39页\一共有51页\编辑于星期五现在是40页\一共有51页\编辑于星期五现在是41页\一共有51页\编辑于星期五现在是42页\一共有51页\编辑于星期五5.3.7五数概括与箱线图所谓五数概括就是用这五个数来大致描述一批数据的轮廓现在是43页\一共有51页\编辑于星期五5.3.7五数概括与箱线图一、单批数据箱线图二、多批数据箱线图现在是44页\一共有51页\编辑于星期五用箱线图初步考察测验成绩的分布sas程序如下:1)单批数据箱线图

现在是45页\一共有51页\编辑于星期五现在是46页\一共有51