人教初中数学《位似》教案 (公开课获奖)1

27.3位似(第一课时)

教学任务分析

理解位似图形的定义；能够熟练准确找到位似中心，能够熟练准确地

知识技能

利用图形的位似将一个图形放大与缩小.

教

1.理解位似图形的定义,选择适当的方式进行图形放大与缩小.

学数学思考

2.从具体操作活动中,培养学生动手操作能力,空间想象能力.

目

解决问题能够熟练准确地利用图形的位似将一个图形放大与缩小.

标

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,获得成功的体验,感受数学

情感态度

的无处不在,锻炼克服困难的意志,建立学好数学的自信心.

重点能根据位似图形的特征,将一个图形放大与缩小.

难点选择适当的方式进行图形放大与缩小.

板书设计

一、位似图形的定义二、位似的应用

课后反思

教学过程设计

活动一.创设情景,归纳概念

1.复习相似概念、性质,相似应用知学生答复,举生活中实例说明.

识.

2.生活中,哪些应用到相似?

例如，放映幻灯时，通过光源，把幻

灯片上的图形放大到屏幕上〔如图显

从生活中实例来

示了它工作的原理〕．在照相馆中，

认识理解位似图

摄影师通过照相机，把人物的形象缩

形与相似图形的

小在底片上．

区别与联系,从而

3.观察图片,你有何发现?得出位似图形概

念.

图中两幅图片不仅相似，而且对应顶学生归纳总结位似图形概念.

点的连线相交于一点，像这样的两个

图形叫做位似图形.

4.位似图形概念:

如果两个相似图形每组对应顶点所在

的直线都相交于一点，那么这样的两

个图形叫做位似图形，这个交点叫做

位似中心.学生答:

(1)位似图形是特殊的相似图

5.相似图形与位似图形有什么区别与

形;

联系?

(2)位似图形对应顶点连线都

相交于一点.

通过练习稳固对

学生选择,并一一分析各选项.概念的理解.

从图形、文字两方

面来加深对位似

图形的理解.

教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图

活动二.稳固新知，应用新知

在老师带着下,学生先完成在学案

1.以下说法正确的选项是()上,然后找学生展示作图.

A.两个图形如果是位似图形，那么

这两个图形一定全等；

A

B.两个图形如果是位似图形，那么

D

这两个图形不一定相似；B

A'

D'

C.两个图形如果是相似图形，那么B'C

这两个图形一定位似；C'

D.两个图形如果是位似图形，那么

这两个图形一定相似.

2．要把四边形ABCD缩小到原来的

1

.

2

步骤:

学生思考并答复:为什么所得

(1).在四边形外任选一点O〔如

A'B'C'D'

图〕，四边形就是所要求的图学生自己寻

形呢?根据是什么?找解决问题的方

(2).分别在线段OA、OB、OC、OD法.

上取点A'、B'、C'、D'，

使得

学生在老师带着下明确作出

OA'OB'OC'OD'1

位似图形步骤后,与同伴交流动手

OAOBOCOD2

自己摸索画图.

(3).顺次连接点A'、B'、C'、D'，

B

所得四边形A'B'C'D'就是所要求的

C

图形．

C'

D'

A'

A

D

B

教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图

C

3.探究:对于上面的问题，还有其他

C

方法吗？如果在四边形外任选一个

A

点O，分别在OA、OB、OC、OD的反向加强对概念的理

解

延长线上取A'，B'、C'、D'，使D

B

得O

OA'OB'OC'OD'1

OAOBOCOD2

呢？如果点O取在四边形ABCD内部

呢？分别画出这时得到的图形．

3.如图，△OAB和△OCD是位似图形，

AB与CD平行吗？为什么？

答:AB∥CD

∵△OAB与△ODC是位似图形

∴△OAB∽△OCD

∴∠A=∠C

∴AB∥CD

活动四.畅所欲言,收获成果

学生谈收获体会.加强对学习内容

1.作位似图形时,先确定位似中心,的理解,从多角

再根据相似的性质,把对应线段放大度引导学生学习

或缩小.数学.

2.位似中心的位置有以下几种情

况:(以三角形为例)

(1)三角形的外部;D

(2)三角形的内部;A

(3)三角形的顶点上;

(4)三角形的边上;

B

C

A

3.位似的作用:

BC

将一个图形放大与缩小.

活动五.布置作业,书写收获

1

.

2

△ABC扩大到原来的2倍.

15.2.2分式的加减

教学目标

明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.

重点难点

1．重点：熟练地进行分式的混合运算.

2．难点：熟练地进行分式的混合运算.

3．认知难点与突破方法

教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的

方向，先乘方，再乘除，然后加减.有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.

混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分

母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面.

教学过程

例、习题的意图分析

1．教科书例7、例8是分式的混合运算.分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数

有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注

意最后的结果要是最简分式或整式.

2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，

也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.

二、课堂引入

1．说出分数混合运算的顺序.

2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.

三、例题讲解

〔教科书〕例7计算

[分析]这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：

先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简

分式.

〔教科书〕例8计算：

[分析]这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：

先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，

注意运算的结果要是最简分式.

四、随堂练习

计算：

x24x2ab11

(1)()〔2〕()()

x22x2xabbaab

31221

〔3〕()()

a2a24a2a2

五、课后练习

1．计算：

yx

(1)(1)(1)

xyxy

a2a1a24a

(2)()

a22aa24a4aa2

111xy

(3)()

xyzxyyzzx

114

2．计算()，并求出当a-1的值.

a2a2a2

六、答案：

ab

四、〔1〕2x〔2〕〔3〕3

ab

xy11

五、1.(1)(2)〔3〕

x2y2a2z

a21

2.原式=，当a-1时，原式=-.

a243

13.3.1等腰三角形

教学目标

〔一〕教学知识点

1．等腰三角形的概念．

2．等腰三角形的性质．

3．等腰三角形的概念及性质的应用．

〔二〕能力训练要求

1．经历作〔画〕出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．

2．探索并掌握等腰三角形的性质．

〔三〕情感与价值观要求

通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质

的过程中培养学生认真思考的习惯．

重点难点

重点：1．等腰三角形的概念及性质．

2．等腰三角形性质的应用．

难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．

教学方法

探究归纳法．

教具准备

师：多媒体课件、投影仪；

生：硬纸、剪刀．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出

一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的

图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形

是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？

[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．

[师]那什么样的三角形是轴对称图形？

[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折

后两局部能够完全重合的就是轴对称图形．

[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．

Ⅱ．导入新课

[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．

AA

BBC

II

作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连

接AB、BC、CA，那么可得到一个等腰三角形．

[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．

[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬

纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．

……

[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三

角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底

角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．

[师]有了上述概念，同学们来想一想．

〔演示课件〕

1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．

2．等腰三角形的两底角有什么关系？

3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？

[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三

角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对

称轴是顶角的平分线所在的直线．

[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什

么关系．

[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．

[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的局部就可以重合，所

以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．

[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的局部互相重合，说明底

边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．

[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．

[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．

[生齐声]它们是同一条直线．

[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．

[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的局部互相重合，由此可知这个

等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边

上的高．

[师]很好，大家看屏幕．

〔演示课件〕

等腰三角形的性质：

1．等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕．

2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合〔通常称作“三线

合一〞〕．

[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全

等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过

程〕．

〔投影仪演示学生证明过程〕A

[生甲]如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，

因为

ABAC,BDC

BDCD,

ADAD,

所以△BAD≌△CAD〔SSS〕．

所以∠B=∠C．

[生乙]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为

ABAC,

A

BADCAD,

ADAD,

所以BAD≌△CAD．

△BDC

1

所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．

2

[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很标

准．下面我们来看大屏幕．

〔演示课件〕A

[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，

求：△ABC各角的度数．

D

[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．

[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到

BC

∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•

再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．

再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．

[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把

∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．

〔课件演示〕

[例]因为AB=AC，BD=BC=AD，

所以∠ABC=∠C=∠BDC．

∠A=∠ABD〔等边对等角〕．

设∠A=x，那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x，

从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．

于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，

解得x=36°．

在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．

[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识．

Ⅲ．随堂练习

〔一〕课本练习1、2、3．

练习

1．如图，在以下等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．

36

120

(1)(2)

答案：〔1〕72°〔2〕30°

2.如图，△ABC是等腰直角三角形〔AB=AC，∠BAC=90°〕，AD是底边BC上的高，

标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？

A

BDC

答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC，BD=DC=AD．

3.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和

∠C的度数．

答：∠B=77°，∠C=38.5°．

〔二〕阅读课本，然后小结．

Ⅳ．课时小结

这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴

对称图形，它的两个底角相等〔等边对等角〕，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并

且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．

我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并A

且能够灵活应用它们．

Ⅴ．课后作业

〔一〕习题13.3第1、3、4、8题．

BDC

〔二〕1．预习课本．

2．预习提纲：等腰三角形的判定．

Ⅵ．活动与探究

如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC

于E．

求证：AE=CE．

B

D

A

EC

过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的

性质．

结果：

证明：延长CD交AB的延长线于P，如图，在△ADP和△ADC中，

12,

ADAD,P

ADPADC,

∴△ADP≌△ADC．

BD

A

EC

∴∠P=∠ACD．

又∵DE∥AP，

∴∠4=∠P．

∴∠4=∠ACD．

∴DE=EC．

同理可证：AE=DE．

∴AE=CE．

板书设计

一、设计方案作出一个等腰三角形

二、等腰三角形性质

1．等边对等角

2．三线合一

三、例题分析

四、随堂练习

五、课时小结

六、课后作业

备课资料

参考练习

1．如果△ABC是轴对称图形，那么它的对称轴一定是〔〕

A．某一条边上的高B．某一条边上的中线

C．平分一角和这个角对边的直线D．某一个角的平分线

2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是〔〕

A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°

答案：1．C2．C

3.等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．求这个等腰三角形的边

长．

解：设三角形的底边长为xcm，那么其腰长为〔x+2〕cm，根据题意，得

2〔x+2〕+x=16．解得x=4．

所以，等腰三角形的三边长为4cm、6cm和6cm．

15.2.2分式的加减

教学目标

明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.

重点难点

1．重点：熟练地进行分式的混合运算.

2．难点：熟练地进行分式的混合运算.

3．认知难点与突破方法

教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的

方向，先乘方，再乘除，然后加减.有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.

混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分

母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面.

教学过程

例、习题的意图分析

1．教科书例7、例8是分式的混合