苏教版八年级数学上册第一-三单元复习教案

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第一——三章单元复习

一、知识点梳理

轴对称与轴对称图形

1．什么叫轴对称：

如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这

两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点

叫做对称点。

2．什么叫轴对称图形：

如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么

这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：

区别：

①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个

图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。

②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图

形的特性。

联系：

①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。

②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称

图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就

成轴对称。

常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角

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形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。

4．线段的垂直平分线：

垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

（也称线段的中垂线）

5．轴对称的性质：

⑴成轴对称的两个图形全等。

⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

6．怎样画轴对称图形：

画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。

例题精讲

例1：判断题：

①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；

（）

②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；

（）

③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；

（）

④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。

（）

例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它

们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.

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例3：如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画

一个小正方形使它成为一个轴对称图形：

方法1方法2方法3

例4：如图，已知：ΔABC和直线l，请作出ΔABC关于直线l的对称三角形。

CCC

AA

B

A

BB

l

ll

例5：如图，DA、CB是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光

线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整。

A

B

DC

例6：如图，四边形ABCD是长方形弹子球台面，有

黑白两球分别位于E、F两点位置上，试问怎样撞击

黑球E，才能使黑球先碰撞台边AB反弹后再击中白

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球F？

例7：如图，要在河边修建一个水泵站，向张庄A、李庄B送水。修在河边什么

地方，可使使用的水管最短？

A·

·B

a

例8：如图，OA、OB是两条相交的公路，点P是一个邮电所，现想在OA、OB

上各设立一个投递点，要想使邮电员每次投递路程最近，问投递点应设立在何

处？A

·P

OB

线段、角的轴对称性

1．线段的轴对称性：

①线段是轴对称图形，对称轴有两条；一条是线段所在的直线，

另一条是这条线段的垂直平分线。

②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

③到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合

----完整版学习资料分享----A

C

D

P

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2．角的轴对称性：

①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。

②角平分线上的点到角的两边距离相等。

③到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合

例题精讲

例1：已知ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，交AC于E，已知BEC的周长

是16。求ABC的周长.

例2：如图，已知∠AOB及点C、D，求作一点P，使PC=PD，并且使点P到OA、

OB的距离相等。

A

·D

C·

O

B

例3：如图，已知直线l及其两侧两点A、B。

（1）在直线l上求一点P，使PA=PB；

（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB。B

·

l

A·

例4：如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，

要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？如何选？

a

b

c

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例5：已知：如图，在ΔABC中，O是∠B、∠C外角的平分线的交点，那么点O

在∠A的平分线上吗？为什么？A

C

B

DE

O

例6：如图，已知：AD和BC相交于O，∠1=∠2，∠3=∠4。试判断AD和BC的

C

关系，并说明理由。

A13D

2O4

B

例7：已知：如图，△ABC中，BC边中垂线ED交BC于E，交BA延长线于D，

过C作CF⊥BD于F，交DE于G，DF=1BC，试说明∠FCB=1∠B

22

D

F

AG

例8：已知：在∠ABC中，D是∠ABC平分线上一点，BE、FE分别在ABC、AC上，

且DE=DF。试判断∠BED与∠BFD的关系，并说明理由.

等腰三角形的轴对称性

一、知识点：

3．等腰三角形的性质：

①等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴；

②等腰三角形的两个底角相等；（简称“等边对等角”）

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③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(简称

“三线合一”)

4．等腰三角形的判定：

①如果一个三角形有2个角相等，那么这2个角所对的边也相等；（简称“等

角对等边”）

②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。

3．等边三角形：

①等边三角形的定义：

三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。

②等边三角形的性质：

等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；

等边三角形的每个角都等于600。

③等边三角形的判定：

3个角相等的三角形是等边三角形；

有两个角等于600的三角形是等边三角形；

有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。

4．三角形的分类：

斜三角形：三边都不相等的三角形。

三角形只有两边相等的三角形。

等腰三角形

等边三角形

例题精讲

例1、如图，已知D、E两点在线段BC上，AB＝AC，AD＝AE，试说明BD=CE的

理由?A

BDEC

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例2：如图，已知：△ABC中，AB＝AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平

分线，且相交于O点。①试说明△OBC是等腰三角形；②连接OA，试判断直线

OA与线段BC的关系？并说明理由。A

ED

O

BC

例3：如图，已知：AD和BC相交于O，∠1=∠2，∠3=∠4。试判断AD和BC的

关系，并说明理由。C

A13D

2O4

B

例4：如图，已知：△ABC中，∠C=900，D、E是AB边上的两点，且AD=AC，BD=BC。

求∠DCE的度数。A

E

D

BC

例5：如图，已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，G、F分别是

BC、DE的中点。试探索FG与DE的关系。

A

E

F

·D

·

BGC

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例6：如图，已知：△ABC中，∠C=900，AC=BC，M是AB的中点，DE⊥BC于E，

DF⊥AC于F。试判断△MEF的形状？并说明理由。

A

M

D

F

CEB

例7：如图，已知：△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，

连结EC、ED，试说明CE=DE。E

A

BCD

例8：如图，在等边△ABC中，P为△ABC内任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于

E，PF⊥AB于F，AM⊥BC于M，试猜想AM、PD、PE、PF之间的关系，并证明你

的猜想．

A

E

F

P

BDMC

等腰梯形的轴对称性AD

一、知识点：E

5．等腰梯形的定义：

①梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行为梯形。BC

梯形中，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称为腰。

AD

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BC

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②等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

6．等腰梯形的性质：

①等腰梯形是轴对称图形，是两底中点的连线所在的直线。

②等腰梯形同一底上两底角相等。

③等腰梯形的对角线相等。

3．等腰梯形的判定：

③在同一底上的2个底角相等的梯形是等腰梯形。

④补充：对角线相等的梯形是等腰梯形。

例题精讲

例1：填空：

1、等腰梯形的腰长为12cm，上底长为15cm，上底与腰的夹角为120°，则下

底长为cm．

2、如果一个等腰梯形的二个内角的和为1000，那么此梯形的四个内角的度数

分别为；

3、等腰梯形上底的长与腰长相等，而一条对角线与一腰垂直，则梯形上底角的

度数是______；

4、已知等腰梯形的一个底角等于600，它的两底分别为13cm和37cm，它的周

长为_______；

5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠A＝120°，对角线BD平分∠ABC，

则AD

∠BDC的度数是；又若AD＝5，则BC＝．

BC

6、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，BD=BC，

则∠C=0。

例2：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．试说明：

AD

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O

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AO＝DO．

例3：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD。试说明：梯形ABCD是等腰梯形。

AD

O

BC

例4：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3cm，BC＝7cm，E为CD的中点，四边

形ABED的周长比△BCE的周长大2cm，试求AB的长．

例5：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，M为BC中点，则：

(1)点M到两腰AB、CD的距离相等吗?请说出你的理由。

(2)若连结AM、DM，那么△AMD是等腰三角形吗?为什么?

(3)又若N为AD的中点，那么MN⊥AD一定成立．你能说明为什么吗?

AD

EF

BMC

例6、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，E为CD中点，AE与BC的

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AD

E

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延长线交于F．

(1)判断S和S梯形ABCD有何关系，并说明理由．

△ABF

(2)判断S和S梯形ABCD有何关系，并说明理由．

△ABE

(3)上述结论对一般梯形是否成立?为什么?

例7、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，AD+BC＝AB．则：

(1)AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC吗?为什么?

AD

(2)AE⊥BE吗?为什么?

E

BC

例8：在梯形ABCD中，∠B＝900，AB＝14cm，AD＝18cm，BC＝21cm，点P从

点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB向点B

以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从两点同时出发，多少秒后，梯形PBQD

是等腰梯形？

APD

BQC

勾股定理、勾股定理的应用

一、知识点：

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1、勾股定理：B

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。ac

数学式子：CbA

∠C=900a2b2c2

2、神秘的数组(勾股定理的逆定理)：

如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三

角形.

数学式子：

a2b2c2∠C=900

满足a2＋b2＝c2三个数a、b、c叫做勾股数。

经典例题

例1：⑴一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度，

⑵一个直角三角形一条直角边为6，斜边为10，求另一条直角边；

例2：在△ABC中，AB=13，AC=15，BC=14，。求BC边上的高AD。

A

BC

D

例3：在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，试求BC的长．(两解)

例4：如图，在△ABC中，AC=AB，D是BC上的一点，AD⊥AB，AD=9cm，BD=15cm，

求AC的长．A

----完整版学习资料分享B----C

D

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例5：一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8km，接着，它又掉头向正

东方向航行15千米．⑴此时轮船离开出发点多少km?⑵若轮船每航行1km，

需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?

例6：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角

边AC沿直线折叠，使它落在斜边AB上，且点C落到E点，则CD的长是多少?

A

E

CB

例7：如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，DAD=13，∠

B=90°，求四边形ABCD的面积。D

A

BC

例8：有一根70cm的木棒，要放在50cm，40cm，30cm的木箱中，试问能放进

去吗？

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例9：甲、乙两人在沙漠进行探险，某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时

速度向东南方向行走，1小时后乙出发，他以5千米/时速度向西南方向行走，

上午10∶00时，甲、乙两人相距多远？

例10：如图，由5个小正方形组成的十字形纸板，现在要把它剪开，使剪成的

若干块能够拼成一个大正方形。

（1）如果剪4刀，应如何剪拼？

（2）少剪几刀，也能拼成一个大正方形吗？

平方根、立方根

一、知识点：

1、什么叫做平方根？

如果一个数的平方等于9，这个数是几？

±3是9的平方根；9的平方根是±3。

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做的a平方根,也称为二

次方根。

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数学语言：如果x2a，那么x就叫做a的平方根。

4的平方根是；1的平方根是。的平方根是0.81。

49

如果x225，那么x。2的平方根是？

2、平方根的表示方法：

一个正数a的正的平方根，记作“a”，正数a的负的平方根记作“a”。

这两个平方根合起来记作“a”，读作“正，负根号a”.

9表示，9=。2的平方根是；如果x22，那

么x。

3、平方根的概念：

一个正数的平方根有2个，它们互为相反数；

0只有1个平方根，它是0本身；

负数没有平方根。

求一个数的平方根的运算叫做开平方。

4、算术平方根：

正数有两个平方根,其中正数的正的平方根,叫的算术平方根.

例如，4的平方根是2，2叫做4的算术平方根，记作4=2；

2的平方根是2，2叫做2的算术平方根，记作22。

5、算术平方根的性质：

⑴a0；a中被开方数a0。

⑵a2a(a0),a2a(a0)，(a)2a(a0)

6、什么叫做立方根？

一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，也称

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为三次方根。即如果x3a,那么x就叫做a的立方根。记为3a，读作“三次根

号a”.

7、立方根的概念：

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0本身。互为相

反数的两个数的立方根也互为相反数。求一个数的立方根的运算叫做开立

方。

经典例题

例1：填空题：

⑴16的平方根是；25的平方根是；16的平方根

49

是；

2.56的平方根是；(-2)2的平方根是；102的平方根

是。

12

⑵36=；0.01=；=。

3

12

⑶；2；=；

0.015

4

162=；162；52=。

⑷一个数的平方等于它本身，这个数是；一个数的平方根等于它本身，

这个数是；一个数的立方根等于它本身，这个数是；

⑸若3a+1没有算术平方根，则a的取值范围是。若3x-6总有平

方根，则x的取值范围是。若式子x－1的平方根只有一个，则x的

3

值是。

⑹若4a+1的平方根是±5，则a=。若

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x216,则5x的算术平方根是。

⑺一个正数的两个平方根为m+1和m－3，则m=，n=。

⑻若a1.2,则a；若m22,则m；

b

⑼若a4b90,则。

a

⑽已知x，y都是实数，且y＝x22x3，试求xy的值．

例2：选择题

1、下列说法正确的是（）

A、-8是64的平方根，即648B、8是82的算术平方根，即828

C、±5是25的平方根，即±255D、±5是25的平方根，即255

2、下列计算正确的是（）

9511

A、1B、42C、0.250.05D、255

16422

3、81的算术平方根是（）

A、±9B、9C、±3D、3

4、下列说法错误的是（）

A、3是3的平方根之一B、3是3的算术平方根

C、3的平方根就是3的算术平方根D、3的平方是3

例3：求下列方程中的x的值

125

（1）x225（2）x3（3）2x3236

216

（4）x331（5）9y22160（6）x323

例4：已知△ABC的三边分别是a、b、c，且满足a1b24b40，求c的

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取值范围。

例5：已知xy3与xy1互为相反数，求xy2的平方根。

例6：若a，b为有理数，且有a，b满足a2＋2b＋2b＝17－42，求a＋b的

值．

例7：某纸箱加工厂，有一批边长为40㎝的正方形硬纸板，现准备将此纸板折

成没盖的纸盒。首先在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为

625㎝２的纸盒子，想一想，你怎样求出截去的小正方形的边长？

例8：提高题：

（1）3a2(3b)22c50,求a23b2c的值；

x21616x21

（2）已知y,求2x5y。

3x4

实数、近似数与有效数字

一、知识点：

1、什么是有理数？

整数和分数统称有理数。

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2、2是一个什么数？

问题1：2是有理数吗？

问题2：2是一个整数吗？

问题3：2是1与2之间的一个分数吗？

问题4：2有多大？

2是一个无限不循环小数，它的值为1.141213562373095048801688

7242097…

3、什么是实数？

无限不循环小数是无理数。

有理数和无理数统称实数。

常见的无理数有：⑴无限不循环小数：如0.010010001……

⑵开不尽的根号：如3、5、34、37等

⑶圆周率：如-3.14、等。

3

4、近似数的认识：

实际生产生活中的许多数据都是近似数，例如测量长度，时间，速度所得

的结果都是近似数，且由于测量工具不同，其测量的精确程度也不同。在实际

计算中对于像π这样的数，也常常需取它们的近似值.请说说生活中应用近似数

的例子。

取一个数的近似值有多种方法，四舍五入是最常用的一种方法。用四舍五

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入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

例如，圆周率π=3.1415926…

取π≈3，就是精确到个位（或精确到1）

取π≈3.1，就是精确到十分位（或精确到0.1）

取π≈3.14，就是精确到百分位（或精确到0.01）

取π≈3.142，就是精确到千分位（或精确到0.001）

2、有效数字：

对一个近似数，从左面第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的

数字都称为这个近似数的有效数字。

例如：上面圆周率π的近似值中，3.14有3个有效数字3，1，4；

3.142有4个有效数字3，1，4，2.

例题精讲

例1：把下列各数填入相应的集合内：

1

3、38、0、27、、0.5、3.14159、-0.0200200020.12121121112…

23

（1）有理数集合{}

（2）无理数集合{}

（3）正实数集合{}

（4）负实数集合{}

例2：小亮用天平称得罐头的质量为2.026kg,,按下列要求取近似数，并指出每

个近似数的有效数字：

⑴精确到0.01kg;⑵精确到0.1kg;⑶精确到1kg.

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例3：用四舍五入法，按要求取近似值，并用科学记数法表示.

⑴地球上七大洲的面积约为149480000（保留2个有效数字）

⑵某人一天饮水1890ml（精确到1000ml）

⑶小明身高1.595m（保留3个有效数字）

⑷人的眼睛可以看见的红光的波长为0.000077cm（精确到0.00001）

例4：下面由四舍五入法得到的近似数，分别精确到哪一位？各有几个有效数

字？

⑴小明身高1.59m；

⑵地球的半径约为6.4×103；

⑶组成云的小水滴很小，最大的直径约为0.2mm；

⑷某种电子显微镜的分辨率为1.4×10-8；

例5：若x24x4+∣y2－2x∣=0。求x－y的值。

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例6：若a=17－1,求a5＋2a4－17a3－a2＋18a－17的值

例7：已知m是13的整数部分，n是13的小数部分，求m2n2的值。

中心对称与中心对称图形

一、知识点：

1、图形的旋转：

在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图

形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。旋转前、后的图

形全等。对应点到旋转中心的距离相等。每一对对应点与旋转中心的连线所成

的角彼此相等。

2、中心对称：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么

称这两个图形关于这一点对称。也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称

中心，两个图形中的对应点叫做对称点。

注意：①中心对称是旋转的一种特例，因此，

成中心对称的两个图形具有旋转图形的一切性质。

②成中心对称的2个图形，对称点的连线都经过对称中心，

并且被对称中心平分。

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3、中心对称图形：

把一个平面图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的

图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。

中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

4、中心对称与中心对称图形之间的关系：

区别：（1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的

图形。（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形

的对称点在一个图形上。

联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中

心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形.

5、对比轴对称图形与中心对称图形：

轴对称图形中心对称图形

有一条对称轴——直线有一个对称中心——点

沿对称轴对折绕对称中心旋转180O

对折后与原图形重合旋转后与原图形重合

例题精讲

例1：如图，将点阵中的图形绕点O按逆时针方向旋转900，画出旋转后的图形.

O·

例2：画出将ΔABC绕点O按顺时针方向旋转120°后的对应三角形。

A

·O

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例3：如图，已知ΔABC是直角三角形，BC为斜边。若AP=3，将ΔABP绕点A

逆时针旋转后，能与ΔACP′重合，求PP′的长。

A

P′

P

BC

例4：如图AC＝BD，∠A＝∠B，点E、F在AB上，且DE∥CF，试说明此图是中

心对称图形的理由。

例5：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=1200，以BC为边向形外作等边三角形

△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转600后得到△ECD，若AB=3，AC=2，

求∠BAD的度数与AD的长.

E

C

A

BD

例6：如图，直线l⊥l，垂足为O，点A与点A关于直线l对称，点A与点A

12112

关于直线l对称。点A1与点A2有怎样的对称关系？你能说明理由吗？

2

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平行四边形

一、知识点：

1、平行四边形的定义：

2组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

记作：□ABCD，读作平行四边形ABCD.

平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的

对称中心。

2、平行四边形的性质：

①平行四边形的对边平行；

②平行四边形的对边相等；

③平行四边形的对角相等；

④平行四边形的对角线互相平分。

3、平行四边形的判定：

①2组对边分别平行的四边形是平行四边形；

②2组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③2组对角分别相等的四边形是平行四边形；

④对角线互相平分的四边形是平行四边形；

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⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

例题精讲

例1：如图，□ABCD中，E、F分别是BC和AD边上的点，且BE=DF，请说明AE

与CF的关系，并说明理由。

AF

D

B

EC

例2：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线与AD、BC分

别相交于点E、F。试探求OE与OF是否相等，并且说明理由。

例3：如图，在□ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E、F，四边形AECF

A

D

是平行四边形吗？为什么？F

E

BC

例4：如图，在□ABCD中，点E、F在AC上，且AF=CE，点G、H分别在AB、CD

上，且AG=CH，AC与GH相交于点O，

A

D

E

OH

试说明：（1）EG∥FH，（2）GH、EF互相平分。G

F

BC

例5：如图，在平行四边形ABCD中，点E在AC上，AE=2EC，点F在AB上，BF=2AF，

如果△BEF的面积为2cm2，求平行四边形ABCD的面积。

A

D

F

E

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例6：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，P、Q分别从A、C同时

出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，

几秒后四边形ABQP是平行四边形？

AP

D

BQC

例7：已知：如图，分别以△ABC的三边为其中一边，在BC的同侧作三个等边

三角形：△ABD、△BCE、△ACF。求证：AE、DF互相平分。

矩形、菱形、正方形

一、知识点：

1、矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，通常也叫长方形。

2、矩形的性质：

①矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；

②矩形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是对边中点连线所在直

线，有两条，对称中心是对角线的交点。

③矩形的对角线相等；

AD

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O

BC

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④矩形的四个角都是直角。

3、矩形的判定：

①有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②对角线相等的平行四边形是矩形；

③有3个角是直角的四边形是矩形。

4、菱形的定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

5、菱形的性质：

①菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；

②菱形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是两条对角线所在直

线，对称中心是对角线的交点。

③菱形的四条边相等；

④菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分

一组对角。

6、菱形的判定：

①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②四边都相等的四边形是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

7、菱形的面积：AD

S=1AC·BDO

菱形2

8、正方形的定义：

BC

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

9、正方形的性质：

①正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质。

②正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是

对角线的交点。

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10、正方形的判定：

①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；

②有一组邻边相等矩形形是正方形；

③有一个角是直角的菱形是正方形。

11、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：

例题精讲

例1：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝4cm，∠AOB＝60°。

（1）求对角线AC的长；（2）求矩形ABCD的周长AD

O

BC

例2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE：∠ECB＝3：1。求∠

ACE的度数。

AD

O

E

BC

例3：如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED。

（1）△BEC是否为等腰三角形？为什么？

（2）若AB=1，∠ABE=45°，求BC的长

AED

BC

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例4：如图，平行四边形ABCD中，4个内角平分线围成的四边形PQRS是矩形吗？

说说你的理由。

例5：已知：如图，菱形ABCD的周长为8cm，∠ABC：∠BAD=1：2，对角线AC、

BD相交于点O，求AC的长及菱形的面积。

例6：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC

分别相交于点E、F。四边形AFCE是菱形吗？为什么？

例7：如图，在⊿ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的角平分线交于点D，DE

⊥BC于E，DF⊥AC于F。问四边形CFDE是正方形吗?请说明理由。

A

F

D

BEC

例8：如图，C是线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形

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ACDE和BCFＧ，连接AF、BD．

⑴AF与BD是否相等？为什么？

⑵如果点C在线段AB的延长线上，⑴中的结论是否成立？

请作图，并说明理由．

ED

FG

ACB

三角形、梯形的中位线

一、知识点：

A

1、三角形的中位线：

DF

⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的E中位

线．BC

区别三角形的中位线与三角形的中线。

⑵三角形中位线的性质

三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

2、梯形的中位线：

⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位

线。

注意：中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。

⑵梯形中位线的性质

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梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

例题精讲

例1：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、、DA的中点。

四边形