数学实验 课件

数学实验课件2023/4/21第1页，共25页，2023年，2月20日，星期六

设光在两种介质中的速度比为u，两介质分界线(separatrix)为直线。从第一介质的A点到第二介质的B点，走怎样的路线时间最短？T=f(x)=Sqrt[x^2+a^2]+Sqrt[(c-x)^2+b^2]/u问题：第2页，共25页，2023年，2月20日，星期六求f(x)的最小值(minimum

1均匀搜索法区间(interval)[a,b]内取n个点,d为步长(step)a0=a,a1=a+d,a2=a+2d,…,an=a+nd,an+1=b依次计算对应的yk=f(a+kd),找到最佳的yk,把对应的xk作为最佳点x*的近似值.误差|x*-xk|<d第3页，共25页，2023年，2月20日，星期六均匀搜索法第4页，共25页，2023年，2月20日，星期六确定最初的搜索区间[a,b]记d=b-a.插入两分点x1=a+0.382d(0.382点）x2=a+0.618d（0.618点）求出f(x1),f(x2).2)0.618搜索法(求每一点的f值需花成本第5页，共25页，2023年，2月20日，星期六如果f(x1)优于f(x2),用[a,x2]代替[a,b]。x1已是0.618点，只须再求0.382点的值。否则，用[x1,b]代替[a,b]。不断重复以上过程。第6页，共25页，2023年，2月20日，星期六第7页，共25页，2023年，2月20日，星期六3)求导法求出使导函数y’=f’(x)等于0的x=x*和使y’不存在的x=x*值如果在x*两侧有x<x*,f’(x)<0;x>x*,f’(x)>0,

则x=x*是f(x)的极小值点可以用迭代法求f’(x)的根如果不容易求出f(x)的二阶导数值，可用如下方法将f(x)在x*附近展成二次函数：求出y0=f(x0),y’0=f’(x0),如果y’0≠0在x0附近选一点x0+d,计算y1=f(x0+d)的值。第8页，共25页，2023年，2月20日，星期六确定二次函数g(x)=ax2+bx+c的系数a,b,c使满足条件：g(x0)=y0,g’(x0)=2ax0+b=y’0,g(x0+d)=y1如果a>0则用二次函数g(x)的的最小值点

X1=-b/2a=x0-y’0/2a=x0-y’0d2/(2(y1-y0-dy’0))

作为最小值点的近似值。用x1代替x0重复上述过程。如果a<0,g(x)的最小值点在端点，我们直接用x0+d代替x0重复上述过程第9页，共25页，2023年，2月20日，星期六第10页，共25页，2023年，2月20日，星期六4）利用Mathematica：画出y=f(x)的图象，观察最小值点的近似位置x=c.运行语句FindMinimum[f,{x,c}]第11页，共25页，2023年，2月20日，星期六第12页，共25页，2023年，2月20日，星期六第13页，共25页，2023年，2月20日，星期六10.2奔向最优点

问题：设A,B,C是平面上三点。求点P(x,y)到三点距离之和s=f(x,y)最小。

Mathematica语句：FindMinimum[f[x,y],{x,x0},{y,y0}]第14页，共25页，2023年，2月20日，星期六第15页，共25页，2023年，2月20日，星期六

多元搜索：最速下降法从初始位置P0(x0,y0)出发求P0点及点(x0+d,y0),(x0,y0+d)的f值s0,s1,s2。

u=(s1-s0)/d,v=(s2-s0)/d.梯度方向G=(u,v).第16页，共25页，2023年，2月20日，星期六

最快下降方向-G=(-u,-v)

选步长h。从P0到P1(x0-hu,y0-hv)。从P1出发再前进。第17页，共25页，2023年，2月20日，星期六第18页，共25页，2023年，2月20日，星期六第19页，共25页，2023年，2月20日，星期六10.3

最小二乘法数据点集t={(xi,yi)}.用直线y=kx+b去拟合，使所有kxi+b-yi

的平方和s(k,b)最小。Fit[t,{1,x},x]第20页，共25页，2023年，2月20日，星期六第21页，共25页，2023年，2月20日，星期六第22页，共25页，2023年，2月20日，星期六第23页