数列极限的个等价性质

数列极限的个等价性质第1页，共20页，2023年，2月20日，星期六这样我们得到区间套存在唯一点由区间套定理知，因为覆盖区间所以使得因为所以使得与区间套的构做方式矛盾.第2页，共20页，2023年，2月20日，星期六开区间被开区间系覆盖①存在有限子系使得例如,令则被开区间系覆盖,但不能被其任意一个有限子系覆盖.第3页，共20页，2023年，2月20日，星期六闭区间被闭区间系覆盖②存在有限子系使得例如,令则被闭区间系覆盖,但不能被其任意一个有限子系覆盖.第4页，共20页，2023年，2月20日，星期六1.非空实数集若有上(下)界则必有上(下)确界.2.单调有界数列必收敛.3.区间套定理.4.有界数列必有收敛子列.5.数列收敛当且仅当它是Cauchy列.6.有限覆盖定理.以上六条等价！第5页，共20页，2023年，2月20日，星期六已经证过的结论：单调有界必有极限(2)有上界必有上确界(1)设A是一个非空实数集，某个元素不是自己的上界.有上界.不妨设A的将此元素记作A的一个上界记作则令否则令令若是A的一个上界,令Ⅰ第6页，共20页，2023年，2月20日，星期六如此我们得到一个数列有下界记易知其每一项都是A的一个上界，数列单调减少、所以收敛。由保序性,所以s是上确界.因为因为不是A的上界,所以第7页，共20页，2023年，2月20日，星期六有限覆盖定理(6)假设数列有界，因为没有收敛子列，存在有限个使得Bolzano定理(4)分别是其一个下界，一个上界，但没有收敛子列.所以开区间中只含中有限项.由有限覆盖定理，Ⅱ第8页，共20页，2023年，2月20日，星期六因为每个开区间只含中有限项，中有限项，矛盾！中只含所以中有限项，中中只含所以第9页，共20页，2023年，2月20日，星期六Ⅲ有限覆盖定理(6)但中的任意有限个中至少有一个记这样找到有界数列存在收敛子列假设开区间都不能覆盖中记作至少有一个不能被中的有限个开区间覆盖，不能被中的有限个开区间覆盖，由例题的结论，Bolzano定理(4)第10页，共20页，2023年，2月20日，星期六记则且有因为所以使得因为是开集，所以与区间列的构作方式矛盾.且第11页，共20页，2023年，2月20日，星期六Cauchy收敛准则(5)单调有界必收敛(2)Ⅳ设数列单调增加且有上界,但发散.由Cauchy收敛准则知,对于存在对于存在对于存在因为单调增加,所以使得使得使得第12页，共20页，2023年，2月20日，星期六从而数列无界,矛盾！第13页，共20页，2023年，2月20日，星期六123456有上(下)界则必有上(下)确界Cauchy收敛准则Bolzano定理区间套定理单调有界必收敛有限覆盖定理第14页，共20页，2023年，2月20日，星期六邻域点的邻域是指与点距离小于的点的集合即开区间聚点设集合若对于任意正数的邻域中都含有A中无穷多个点,则称是A的一个聚点.例如,A中每个点都是A的聚点,也都是A的聚点.第15页，共20页，2023年，2月20日，星期六例如则A只有一个聚点而集合没有聚点.是A的一个聚点的充要条件是命题的邻域中都含有A中异于的点.第16页，共20页，2023年，2月20日，星期六数列有界,从而有收敛子列,记下证是A的一个聚点.7.有界无穷集必有聚点.证明任取设A是有界无穷集.是有界无穷集,任取是有界无穷集,任取含有A中无穷多个点即的邻域第17页，共20页，2023年，2月20日，星期六设是有界数列.记1)A是有限集.此时中有无穷多项相等,这些项组成的子列是常数列,收敛.2)A是无限集.此时A有聚点,记a是A的一个聚点.任取的一项,记作令在a的邻域中取中标号大于n1的一项,记作第18页，共20页，2023年，2月20日，星期六这样得到的子列收敛到a.因为从而,令中标号大于n2的一项,记作在a的邻域中取第19页，共20页，2023年，2月20日，星期六123