数学教育概论课件

数学教育概论课件第1页，共107页，2023年，2月20日，星期六绪言数学教育学研究数学教与学的目的、内容、规律、方法的一门学科。数学教育的学科地位在基础教育体系中的地位在专业学科体系中的地位第2页，共107页，2023年，2月20日，星期六本课程的特点综合性理论性实践性第3页，共107页，2023年，2月20日，星期六本课程的基本内容1教学设计（备课、课前）2教学实施（上课、课中）3教学反思（评价、课后）第4页，共107页，2023年，2月20日，星期六教学设计在“时间”上有区分：长：比如，义务教育阶段课程（教学）设计短：比如，一节课的教学设计介于两者之间：比如，一个单元、一个学期的教学设计本课程更多的关注“一节课的教学设计”第5页，共107页，2023年，2月20日，星期六体现形式：教案教学设计的基本过程学习《课标》——钻研教材（教材分析）——了解学生——确定方法——撰写教案第6页，共107页，2023年，2月20日，星期六第一步：学习《课标》：有专门的课程第二部：钻研教材（1）教（学）什么？——有哪些内容（2）教（学）到什么程度？——教学目标（3）哪些重要，难教（学）？——教学重、难点（4）教材中如何呈现的？——知识结构、教学素材、教学程序第7页，共107页，2023年，2月20日，星期六教（学）什么？有哪些内容？第一层面：教学素材第二层面：知识（数学概念、数学定理、数学方法等）注意：1、对于“知识”，依据教材的顺序“罗列”（既可以是线性、也可以是结构框图）出来2、教材中的“知识”有的明显，有的需要“提炼”3、“知识”需要“瞻前顾后”4、“知识”需要适当的“细化”内容之间有何联系？第8页，共107页，2023年，2月20日，星期六第9页，共107页，2023年，2月20日，星期六教（学）到什么程度？

——教学目标的确定教学：教学是学习者发生预期变化的过程教学目标：教学中师生所预期达到的学习效果和标准——是教学的根本指向和核心任务，是教学设计的关键范例1、2、3第10页，共107页，2023年，2月20日，星期六教学目标确定后，具体实行起来必须抓重点，解决主要矛盾，同时，要分析数学内容的难点，设法克服教学重点是教材中为了达到教学目的而着重指导学生必须熟练掌握的内容。通常教材中的公式，定义，定理，法则，数学思想方法等都是数学教学重点教学难点是教材中那些对于学生来说不易理解的内容，或者说是那些太抽象、离生活实际太远的、过程太复杂的教学内容。有些难点是理解上的困难，如：无理数，复数，指数;有些难点是技巧性的，如：因式分解，三角恒等变换等多种情况下重点与难点是相同的。有时难点不见得是重点，但必须突破难点才有利于重点的解决。还有时，难点与重点无关。要注意，重点和难点的确定，一定要站在学生的角度去考虑。教师认为易学好懂的地方，学生不一定感到好学。哪些重要，难教（学）？——教学内容的重点和难点第11页，共107页，2023年，2月20日，星期六数学学习阶段的难点算术到代数的过渡代数到几何的过渡常量到变量的过渡有限到无限的过渡必然到或然的过渡第12页，共107页，2023年，2月20日，星期六教材中如何呈现的？

——教材中的知识结构教材是如何呈现这些内容的？（1）知识借助哪些素材和形式呈现？（2）素材和形式起什么作用？（3）例题如何构成，起什么作用？（4）练习题如何构成，起什么作用？（5）相关习题如何构成，起什么作用？第13页，共107页，2023年，2月20日，星期六第三步：了解学生了解学生的学习基础了解学生的学习状况“预设”学生的学习困难第14页，共107页，2023年，2月20日，星期六错例分析第15页，共107页，2023年，2月20日，星期六第16页，共107页，2023年，2月20日，星期六第四步：确定方法确定教学思路思考教学过程琢磨教学核心问题明确教（学）的方法……第17页，共107页，2023年，2月20日，星期六第五步：撰写教案教案的三要素：明确教学目标形成设计意图制定教学过程典型教案分析第18页，共107页，2023年，2月20日，星期六教案的基本框架课题教材分析学情分析教学目标教学重难点教学方法教具使用教学过程（核心内容）板书设计第19页，共107页，2023年，2月20日，星期六课题的撰写基于教材的章节基于课时安排凸显基本内容第20页，共107页，2023年，2月20日，星期六教学目标的撰写教学目标构成行为主体：行为目标描述的是学生的行为，而不是教师的行为。教学目标规范的写法开头是：“学生应该”，不过通常省略这四个字，但不管是否写这几个字，目标总是针对学生提出的。行为动词：说明学生在教学过程结束后应该达到什么要求。行为的表述应具有可观察的特点，应使用明确的行为动词来描述。描述行为的基本方法是使用动宾结构的短语，行为动词说明动作的类型，宾语说明学习的内容。例如，“写出”、“比较”、“列举”等都是行为动词，在它们后面加上动作的对象，就构成了教学目标中关于行为的表述。行为客体：指学生完成行为时的学习结果。条件包括环境、人、设备、信息、时间、问题明确性等因素。第21页，共107页，2023年，2月20日，星期六书写数学课堂教学目标的规范要求（1）明确指定行为主体。教学目标描述的应该是学生的行为而不是教师的行为。有的课堂教学目标表述成：“使学生理解和掌握…”或“把学生培养成…”都是不妥的。规范的教学目标的开头应该是“学生应该…”。（2）准确使用行为动词。要用描述学生的可观察、可测量的具体的行为动词来教学表述，如:“写出”、“辩认出”、“对比”、“列出”等。（3）恰当细化行为客体。行为客体不要太笼统，比如，“掌握等差数列”、“灵活运用函数性质”。第22页，共107页，2023年，2月20日，星期六目标领域水

平行为动词知识与技能知道/了解/模仿了解，体会，知道,识别，感知，认识，初步了解，初步体会，初步学会，初步理解，求理解/独立操作描述，说明，表达，表述，表示，刻画，解释，推测，想像，理解，归纳，总结，抽象，提取，比较，对比，判定，判断，会求，能，运用，初步应用，初步讨论掌握/应用/迁移掌握，导出，分析，推导，证明，研究，讨论，选择，决策，解决问题过程与方法经历/模仿经历，观察，感知，体验，操作，查阅，借助，模仿，收集，回顾，复习，参与，尝试发现/探索设计，梳理，整理，分析，发现，交流，研究，探索，探究，探求，解决，寻求情感、态度与价值观反应/认同感受，认识，了解，初步体会，体会领悟/内化获得，提高，增强，形成，养成，树立，发挥，发展第23页，共107页，2023年，2月20日，星期六教学目标和教学目的的区别

教学目标是预期的，在具体情景下学生行为变化的结果，是用“学生学会了什么？”的说法来表示的，它通常是策略性的，是可观察的、可明确校订、可测量、可评价的，而且还有时间、情景等条件的限制，它是目的具体化教学目的：与教育者的主观愿望有关，它通常是指某一社会和国家为实现教育目的，在教学领域给教师的一种应然状态的理想，一种方向、指针，而且还隐含着可能无法实现的意思，时间跨度也比较大教学目标和教学教学目的是一般与特殊、普通要求和具体结果的关系第24页，共107页，2023年，2月20日，星期六教学目标的功能

1.指向功能教学目标是教学活动的预期结果，对教学过程有指引作用，能使教学中的活动有明确的方向2.激励功能一方面，为了达到教学目标，教师必将积极地工作，精心设计与组织教学。另一方面，教学目标能引起学生的注意，激发学生对新内容的期待和达到教学目标的欲望，调动学生学习的积极性和主动性，激励学生学习。第25页，共107页，2023年，2月20日，星期六3.评价功能教学目标既是出发点，又是归宿。教学目标一经确定，教学就有确定的方向，同时也有了衡量教学效果的标准。在教学过程中，可按教学目标对学生的学习进展实况进行衡量。4.控制和指导功能教学目标一旦确定，整个教学活动就被置于教学目标的控制和制约之中（也就是应该这样讲），同时也指导着教学活动，使它沿着正确的轨道，朝预定的方向前进（有目标就会知道要朝哪里讲）。

第26页，共107页，2023年，2月20日，星期六教学重难点的撰写依据教学目标依据学生实际不要凭主观意向参考教师教学用书第27页，共107页，2023年，2月20日，星期六教学过程的撰写五环节是整体框架（1）课题引入（2）新课讲解（3）巩固练习（4）课堂小结（5）布置作业第28页，共107页，2023年，2月20日，星期六板书设计“一板清”既要设计内容，又要设计结构凸显核心“内容”注重层次性和逻辑性第29页，共107页，2023年，2月20日，星期六数学复习课的教学数学复习课的基本环节（1）忆（2）梳（3）析（4）练（5）测

第30页，共107页，2023年，2月20日，星期六忆：回忆，就是学生将过去学过的旧知识不断提取而再现的过程。回忆是复习课不可缺少的环节，教师要有意识地引导学生看课题回忆所学的知识。复习开始时，先向学生说明复习的内容和要求，然后引导学生回忆。回忆时，可先粗后细，引导学生进行系统的回忆。

第31页，共107页，2023年，2月20日，星期六梳：“梳”是引导学生对所学的知识进行梳理、总结、归纳，帮助学生理清知识线，分清解题思路，弄清各种解题方法联系的过程。要根据学生的回忆，进行从点到线、由线及面的总结，做到以一点或一题串一线、联一面，特别是要注意知识间纵横向联系和比较，构建知识网络。“梳”的过程是梳理、沟通的过程，是将所学知识前后贯通，把知识进行泛化的过程。这是复习课的鲜明特征。

第32页，共107页，2023年，2月20日，星期六析：对单元中的重点内容和学生中的疑难作进一步的分析，帮助学生解决重点、难点和疑点，从而使学生全面、准确地掌握教材内容，加深理解。这一环节重在设疑、答疑和析疑上。如内容较多时，可以分类、分专项进行分析、对比。第33页，共107页，2023年，2月20日，星期六练：选择有针对性、典型性、启发性和系统性问题，引导学生进行练习。练习时，可通过题组的形式呈现练习内容。练习的内容要注意算理、规律或知识技能、知识的纵横联系，抓一题多解或一题多变，做到举一反三，使学生通过练习不断受到启发，在练习中进一步形成知识结构。在练习设计中，可通过典型多样的练习，帮助系统整理；设计对比练习，帮助沟通与辩析；设计综合发展练习，提高学生的解题能力。

第34页，共107页，2023年，2月20日，星期六测：让学生对复习的结果进行检测、评价与反馈。复习完成时，可选取数量适当的题目进行当堂检测。第35页，共107页，2023年，2月20日，星期六复习课教学的特征：（1）重复性：不是简单地、原地踏步式的“重复”，而是在原有的基础上更高一层次的“重复”；（2）系统性：知识层面、方法层面第36页，共107页，2023年，2月20日，星期六命题课的教学基本环节引出定理证明定理讲解定理运用定理第37页，共107页，2023年，2月20日，星期六引出两种模式：（1）发现式（2）接受式教学注意：发现式：例子要适当、提问要明确接受式：复习要有针对性、要有参与性第38页，共107页，2023年，2月20日，星期六直线与平面平行的性质定理的发现第39页，共107页，2023年，2月20日，星期六证明（新教材中有所弱化，用“验证”替代）基本过程：（1）分析证明思路（2）给出证明表述（3）解释数学方法第40页，共107页，2023年，2月20日，星期六讲解三个“讲清”：（1）讲清“结构”（2）讲清“条件”（3）讲清“结论”第41页，共107页，2023年，2月20日，星期六运用三个层次：（1）基本运用——照着做（2）灵活运用——变式（3）引申延拓——推广第42页，共107页，2023年，2月20日，星期六数学概念及其教学数学概念概述数学概念学习的心理分析数学概念教学的基本要求和教法探讨第43页，共107页，2023年，2月20日，星期六数学概念概述数学概念的意义

反映数学对象本质属性的思维形式叫做“数学概念”。

“属性”与“本质属性”；概念及其名称和符号数学概念产生和发展的途径（1）从现实模型直接得来；（2）经过多级抽象概括得来；（3）从数学内部需要产生出来；数量关系和空间形式第44页，共107页，2023年，2月20日，星期六概念的内涵和外延

概念的内涵亦称内包，指概念所反映的对象的特有属性、本质属性。概念的外延亦称外包，指概念所反映的对象的总和。

例：“△ABC的顶点”

内涵是指点的性质和其中任一点同在这个三角形两边之上这个性质；

外延是指A、B、C三点的集合。注：（1）数学概念的内涵和外延是在一定的数学科学体系中来认识的。例如，角的概念在平面几何中和在平面三角中的内涵和外延均不同。（2）概念的内涵和外延是发展的第45页，共107页，2023年，2月20日，星期六概念间的关系（概念外延间的同异关系）1、相容关系（1）同一关系（全同关系或重合关系）外延完全重合，内涵可以不同。

例如：数0是扩大的自然数集中最小的数，又是正数与负数的分界数，在数的运算中它又是两个相等数的差等；等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角的平分线的外延都是同一条线段，而内涵也各不相同。

注：研究概念间的同一关系，可以对概念所反映的对象得到较深刻、较全面的认识。另外，在推理证明中具有全同关系的概念可以互相代换，使得论证简明。第46页，共107页，2023年，2月20日，星期六（2）从属关系如果甲概念的外延真包含乙概念的外延，如下图所示，那么，这两个概念具有从属关系。其中，外延较大的那个概念叫做属概念，外延较小的那个概念叫做种概念。这两个概念的外延和的关系可以写成注：内涵和外延的反比关系正方形内涵矩形内涵平行四边形内涵四边形内涵正方形外延矩形外延平行四边形外延四边形外延第47页，共107页，2023年，2月20日，星期六（3）交叉关系如果两个概念的外延有且只有部分重合，那么这两个概念具有交叉关系或者叫做部分重合关系，如下图。用集合符号表示概念的交叉关系，可设两个概念的外延分别是集合和集合，如果是非空集合而且不是，那么这两个概念具有交叉关系。例：（1）整数和整数（2）等腰三角形和直角三角形第48页，共107页，2023年，2月20日，星期六（4）不相容关系（全异关系）如果两个概念的外延间没有任何一部分重合的关系，那么这两个概念具有全异关系，这种关系又叫做“拳异关系”或“排斥关系”。全异关系又分为反对关系和矛盾关系。矛盾关系反对关系第49页，共107页，2023年，2月20日，星期六概念的定义和原始概念把概念的内涵用语言表达出来，就是给概念下定义。原始概念

点、线、面、空间、集合、元素、对应等。数学中常用的几种定义方式（1）属概念加种差的定义方式四边形+两组对边分别平行=平行四边形（2）发生定义方式在平面上，射线绕它的端点旋转所成的图形叫做角。第50页，共107页，2023年，2月20日，星期六（3）揭示外延的定义方式整数和分数统称为有理数。（4）约定式定义我们规定“”。第51页，共107页，2023年，2月20日，星期六下定义的基本要求（1）定义应当相称无理数：有理数开不尽的方根。×

平行线：两条不相交的直线。×

（2）定义不能恶性循环（直线垂直和直角）（3）定义一般不用否定形式不是有理数的数是无理数。×

（4）定义应当简明两组对边平行的平面四边形是平行四边形。四个角都是直角的平行四边形叫做矩形。（5）定义一般不用比喻说法第52页，共107页，2023年，2月20日，星期六概念教学的基本要求和教法探讨概念的引入——概念的明确——概念的系统化——概念的运用1、概念的引入（1）原始概念一般采用描述法和抽象化法或用直观说明或指明对象的方法来明确。“针尖刺木板”的痕迹引入“点”、用“拉紧的绳”或“小孔中射入的光线”来引入“直线”的方法是直观说明法，“1，2，3，···叫做自然数”是指明对象法。第53页，共107页，2023年，2月20日，星期六（2）对于用概念的形成来学习的概念一般可通过观察实例，启发学生抽象出本质属性，师生共同进行讨论，最后再准确定义。（3）对于用概念的同化来学习的概念（a）用属加种差定义的概念新概念是已知概念的特例，新概念可以从认知结构中原有的具有较高概括性的概念中繁衍出来。（b）由概念的推广引入的概念讲清三点：推广的目的和意义；推广的合理性；推广后更加广泛的含义。第54页，共107页，2023年，2月20日，星期六（c）采用对比方法引入新概念当新概念与认知结构中已有概念不能产生从属关系，但与已有的旧概念有相似之处时可采用此法。关键是讲清不同之处，防止概念的负迁移。（d）根据逆反关系引入新概念多项式的乘法引入多项式的因式分解、由乘方引入开方、由指数引入对数等。关键是讲清逆反关系。第55页，共107页，2023年，2月20日，星期六(4)发生式定义通过观察实例或引导学生思考，进行讨论，自然得出构造过程，即揭示出定义的合理性。2、概念的明确定义的必要理解；表示概念的名称或符号的正确使用；抓住掌握概念的关键；举出肯定例证和否定例证；充分揭示概念的内涵；3、概念的系统化4、概念的运用和深化第56页，共107页，2023年，2月20日，星期六对“等比数列的前n项和”的一些思考实例的运用公式的推导公式的呈现公式的运用第57页，共107页，2023年，2月20日，星期六实例的运用不同的实例灰太狼与喜羊羊银行贷款阿凡提光盘行动棋盘……实例之间有何异同？运用实例的焦点：数学化第58页，共107页，2023年，2月20日，星期六实例有什么用？仅用于“引入”；用于“引入”，还用于公式的简单运用；……第59页，共107页，2023年，2月20日，星期六公式的推导推导方法的多样性孰优孰劣？教材中使用“错位相减法”，教学上如何应对？（1）“等差数列前n项和”的推导有无借鉴意义？（构造另一个“式子”）（2）如何引导到“同乘以q”？（等比数列的特征、特殊到一般）（3）此方法的实质是“错位”、“相减”、还是构造“相同的项”？第60页，共107页，2023年，2月20日，星期六公式呈现多个公式，以何种方式呈现？第61页，共107页，2023年，2月20日，星期六基于第一个公式推导出第二个公式，从教法上来看，还有其它方法吗？公式呈现出来就“万事大吉”了吗？（如何进行公式讲解？）第62页，共107页，2023年，2月20日，星期六公式运用直接运用（有何不同？）第63页，共107页，2023年，2月20日，星期六灵活运用（多种方法、多种变式）第64页，共107页，2023年，2月20日，星期六变式途径：前多少项的和是求第5项到第10项的和求前2n项中所有偶数项的和……第65页，共107页，2023年，2月20日，星期六数学课堂教学基本技能训练第66页，共107页，2023年，2月20日，星期六吸引学生的基本策略启发学生数学学习的关键与学生交流要注意的问题组织学生的关键教学风格的基本类型及形成阶段第67页，共107页，2023年，2月20日，星期六一、如何吸引学生吸引学生的主要方式：联系、挑战、变化和魅力。联系是指教学设计要联系学生的客观现实和数学现实，与其已有的生活经验和知识结构有联系。挑战是指教学任务对学生具有挑战性，平庸拖沓的教学安排不可能吸引学生，教师应该尽可能地提高课堂教学效率，让学生感到学习充实，收获大。变化是教师在学生注意力涣散或情绪低落时，改变教学的形式、讲授的语速语调等，重新将学生的注意力拉回到教学上来的手段。魅力是指增加教师自身的魅力达到吸引学生的目的，比如精彩幽默的语言，挥洒自如的教态，简练漂亮的板书板画，得体的仪表，亲切的话语、热情的鼓励、信任的目光、敏捷的思维，娴熟的解题技巧，都有助于建立良好的师生关系。第68页，共107页，2023年，2月20日，星期六教学内容：二次根式的基本公式阅读案例，并分析该教师是如何吸引学生的范例赏析：给公式包上糖衣

第69页，共107页，2023年，2月20日，星期六案例点评L.H.克拉克、I.S.斯塔尔美在他们所著的《中学教学法》中指出：“要让你教的学科使人愉快，看起来是要把它包上糖衣。让它具有吸引力。”“能够用来促进学习的任何正当方法或手段，都是合理的。假如为了促进学习，必须把要教的东西包上糖衣，那么你不应当吝惜糖。”本案例的主观意图是创设一个幽默的教学情境，把枯燥且难于理解的数学公式包上糖衣使之甜甜的，让学生在品尝甜美中受到启迪，让学生在愉快和兴趣盎然的心境之中增强学习效果。从客观上看，案例实施的过程达到了“创造一种学生容易接受的气氛”的佳境，使学生在对所学内容产生的浓厚兴趣的情况下，注意力更为集中，更容易接受新知识，获得的新知识更为牢固。第70页，共107页，2023年，2月20日，星期六二、如何启发学生

不愤不启，不悱不发如何启发学生：定向：即教师要明确希望学生解决什么问题架桥：即教师要考虑，希望学生解决的问题与学生的现实之间有多大距离，应该设计哪些问题或进行哪些活动架桥铺路化解困难。

置疑：即教师设置一些疑难问题引起学生思想的交锋和深层次的思维。

揭晓：即教师要将学生原先想做而不会做的正确做法，想说而说不出的正确想法用精炼而明了的语言重述一遍。第71页，共107页，2023年，2月20日，星期六介绍“椭圆的简单几何性质”时，设置问题：与直线方程和圆的方程相对比，椭圆标准方程有什么特点？（1）椭圆方程是关于x，y的几元几次方程？（2）方程的左边是什么的形式？右边是什么？（3）方程中x2和y2的系数相等吗？设计意图：类比直线方程和圆的方程能够使学生容易得到椭圆标准方程的特点，体现了新旧知识的联系与区别，符合学生的认知规律，同时为利用方程研究椭圆曲线的几何性质做好了准备.第72页，共107页，2023年，2月20日，星期六在复习三角形全等时，教师可设计下列几种证题思路加以提问：1、如果有两边相等，还应寻找什么条件？学生答：寻找它们的夹角或者第三边对应相等。2、如果有一个角和一条边对应相等，还应寻找什么条件？学生答：还应寻找它们的一个角或相等角的另一边。3、如果有两个角对应相等，还应寻找什么条件？学生答：还应寻找一条边相对应相等。到此时，教师可以提问，那么证明两个三角形全等有哪些方法？学生就能归纳出三角形全等的解法。同时教师要强调的是：有三个角对应相等的二个三角形不一定全等；有两边中其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等。第73页，共107页，2023年，2月20日，星期六对于“直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径为多少？”老师提问：题目中有没有明确指出哪条边是斜边？通过老师这一点拨，同学们积极开动脑筋，对这题的讨论，解决了问题。通过教师提出的问题，使学生树立一些“路标”，启发学生循着“路标”前进，找到解题途径。第74页，共107页，2023年，2月20日，星期六在讲授新课：“不在同一直线上的三点确定一个圆”。教师提问：1、过一点可画多少个圆？为什么？2、过两点可画多少个圆？圆心的位置有什么规律？为什么？这些问题一一解决后，教师不失时机地进一步问：3、过不在同一直线上三点A、B、C画圆，这样的圆要经过A、B，圆心在哪里？这样的圆又要过B、C，圆心在哪里？若同时经过A、B、C，圆心又在哪里？4、这样的圆可画多少个？就这样教师提问，学生动脑、动手，把自己作为“研究者”，步步深入，将已有的知识、思维方法迁移到新知识中去，学得轻松，记得也牢。第75页，共107页，2023年，2月20日，星期六在讲完《圆与圆的位置关系》时，教师提了这样几个问题让学生思考：（1）如果两个圆相离，则有几条公切线？（2）如果两个圆有三条公切线，则两个圆的位置关系如何？（3）如果两圆的半径分别为5cm和3cm，圆心距为4cm，则两圆的关系如何？这样的提问，使学生有新鲜感，收到出人意料的教学效果。第76页，共107页，2023年，2月20日，星期六

引发“愤悱”状态的操作要领:符合内容需要及情绪特点；“跳一跳，摘得到”的目标难度；留有想象余地,激发潜能。第77页，共107页，2023年，2月20日，星期六三、如何与学生交流范例赏析：“直线和平面平行的判定定理”6个教学镜头透视(P281-288)提问技能：设计,含蓄,等待,开明第78页，共107页，2023年，2月20日，星期六四、如何组织学生范例赏析：艺术的回应第79页，共107页，2023年，2月20日，星期六五、形成教学艺术风格教学风格的基本类型:

儒雅型新奇型理智型情感型教学风格的形成:-------------模仿-探索-超越-成型第80页，共107页，2023年，2月20日，星期六波利亚的怎样解题表第81页，共107页，2023年，2月20日，星期六波利亚简介乔治·波利亚(GeorgePolya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．第82页，共107页，2023年，2月20日，星期六“怎样解题”表弄清问题

拟定计划

实现计划

回顾

第83页，共107页，2023年，2月20日，星期六第84页，共107页，2023年，2月20日，星期六第85页，共107页，2023年，2月20日，星期六第86页，共107页，2023年，2月20日，星期六第87页，共107页，2023年，2月20日，星期六“怎样解题”表的实践题目：给定正四棱台的高h，上底的一条边长a和下底的一条边长b，求正四棱台的体积F．(学生已学过棱柱、棱锥的体积)弄清问题问题1．你要求解的是什么?

要求解的是几何体的体积，在思维中的位置用一个单点F象征性地表示出来(图1)．第88页，共107页，2023年，2月20日，星期六问题2．你有些什么?

一方面是题目条件中给出的3个已知量a、b、h；另一方面是已学过棱柱、棱锥的体积公式，并积累有求体积公式的初步经验．把已知的三个量添到图示处(图2)，就得到新添的三个点a、b、h；它们与F之间有一条鸿沟，象征问题尚未解决，我们的任务就是将未知量与已知量联系起来．

第89页，共107页，2023年，2月20日，星期六拟定计划问题3．怎样才能求得F?

由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何结构(棱台的定义)告诉我们，棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥”，从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的．如果知道了相应两棱锥的体积B和A，我们就能求出棱台的体积Ｆ＝Ｂ－Ａ．①

我们在图示上引进两个新的点A和B，用斜线把它们与F联结起来，以此表示这三个量之间的联系(图3，即①式的几何图示)．这就把求F转化为求A、B．第90页，共107页，2023年，2月20日，星期六问题4．怎样才能求得A与B?

依据棱锥的体积公式(V＝Ｓｈ)，底面积可由已知条件直接求得，关键是如何求出两个棱锥的高．并且，一旦求出小棱锥的高x，大棱锥的高也就求出，为ｘ＋ｈ．

我们在图示上引进一个新的点x，用斜线把A与x、ａ连结起来，表示A能由a、ｘ得出，A＝ａ2ｘ；类似地，用斜线把B与b、ｈ、ｘ连结起来，表示B可由ｂ、ｈ、ｘ得出，Ｂ＝ｂ2（ｘ＋ｈ）(图4)，这就把求A、B转化为求x．第91页，共107页，2023年，2月20日，星期六问题5．怎样才能求得x？

为了使未知数x与已知数a、ｂ、ｈ联系起来，建立起一个等量关系．我们调动处理立体几何问题的基本经验，进行“平面化”的思考．用一个通过高线以及底面一边上中点(图5中，点Q)的平面去截两个棱锥，在这个截面上有两个相似三角形能把a、b、h、x联系起来

(转化为平面几何问题)，由△ＶＰＯ1∽△ＶＱＯ2得这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解．解方程②，便可由a、b、h表示x,在图示中便可用斜线将x与ａ、ｂ、h连结起来．至此，我们已在F与已知数a、b、h之间建立起了一个不中断的联络网，解题思路全部沟通．

第92页，共107页，2023年，2月20日，星期六实现计划第93页，共107页，2023年，2月20日，星期六回顾

(1)正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的．再作特殊性检验，令ａ→０，由③可得正四棱锥体的体积公式；令ａ→ｂ，由③可得正四棱柱体的体积公式．这既反映了新知识与原有知识的相容性，又显示出棱台体积公式的一般性；这既沟通了三类几何体极限状态间的知识联系，又可增进三个体积公式的联系记忆．

第94页，共107页，2023年，2月20日，星期六(2)回顾这个解题过程可以看到，解题首先要弄清题意，从中捕捉有用的信息(如图1所示，有棱台，a、b、h、F共5条信息)，同时又要及时提取记忆网络中的有关信息(如回想：棱台的定义、棱锥的体积公式、相似三角形的性质定理、反映几何结构的运算、调动求解立体几何问题的经验积累等不下6条信息)，并相应将两组信息资源作合乎逻辑的有效组合．这当中，起调控作用的关键是如何去构思出一个成功的计划(包括解题策略)．由这一案例，每一个解题者还可以根据自己的知识经验各自进一步领悟关于如何制定计划的普遍建议或模式．

第95页，共107页，2023年，2月20日，星期六(3)在解题方法上，这个案例是分析法的一次成功应用，从结论出发由后往前找成立的充分条件．为了求F，我们只需求A、B(由棱台体积到棱锥体积的转化——由未知到已知，化归)；为了求A、B，我们只需求x(由体积计算到线段计算的转化——由复杂到简单，降维)；为了求x，我们只需建立关于x的方程(由几何到代数的转化——数形结合)；最后，解方程求x，解题的思路就畅通了，在当初各自孤立而空旷的画面上(图1)，形成了一个联接未知与已知间的不中断网络(图5)，书写只不过是循相反次序将网络图作一叙述．这个过程显示了分析与综合的关系，“分析自然先行，综合后继；分析是创造，综合是执行；分析是制定一个计划，综合是执行这个计划”．第96页，共107页，2023年，2月20日，星期六(4)在思维策略上，这个案例是“三层次解决”的一次成功应用．首先是一般性解决(策略水平上的解决)，把F转化为A，B的求解（Ｆ＝Ａ－Ｂ），就明确了解题的总体方向；其次是功能性解决(方法水平的解决)，发挥组合与分解、相似形、解方程等方法的解题功能；最后是特殊性解决(技能水平的解决)，比如按照棱台的几何结构作图、添辅助线找出相似三角形、求出方程的解、具体演算体积公式等，是对推理步骤和运算细节作实际完成．第97页，共107页，2023年，2月20日，星期六(5)在心理机制上，这个案例呈现出“激活——扩散”的基本过程．首先在正四棱台(条件)求体积(结论)的启引下，激活了记忆网络中棱台的几何结构和棱锥的体积公式，然后，沿着体积计算的接线向外扩散，依次激活截面知识、相似三角形知识、解方程知识(参见图1～图5)，……直到条件与结论之间的网络沟通．这种“扩散——激活”的观点，正是数学证明思维中心理过程的一种解释．第98页，共107页，2023年，2月20日，星期六(6)在立体几何学科方法上，这是“组合与分解”的一次成功应用．首先把棱台补充(组合)为棱锥，然后再把棱锥截成(分解)棱台并作出截面，这种做法在求棱锥体积时曾经用过(先组合成一个棱柱、再分解为三个棱锥)，它又一次向我们展示“能割善补”是解决立体几何问题的一个诀窍，而“平面化”的思考则是沟通立体几何与平面几何联系的一座重要桥梁．这些都可以用于求解其他立体几何问题，并且作为一般化的思想(化归、降维)还可以用于其他学科．第99页，共107页，2023年，2月20日，星期六(7)“你能否用别的方法导出这个结果?”在信念上我们应该永远而坚定地做出肯定的回答，操作上未实现只是能力问题或暂时现象．

(8)“你能不能把这一结果或方法用于其他问题?”能，至少我们可以由正四棱台体积公式一般化为棱台体积公式(方法是一样的)．

第100页，共107页，2023年，2月20日，星期六用“怎样解题表”的尝试题目：如图所示，⊿ABC中，AB=m，AC=n，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别，表示以AB、BC、CA为边的正方形，求⊿ALD、⊿BEF、⊿CGH面积之和S的最大值．第101页，共107页，2023年，2月20日，星期六案例：一元一次方程问题设疑问题1：甲、乙两人同时出发，相对而行，距离是50千米，甲每小时3千米，乙每小时走2千米，问他们几小时可以碰到？问题2：甲带一只小狗经过，它每小时走5千米，同甲一起出发，碰到乙时它又往甲这边走，碰到甲又往乙这边走，问小狗在甲乙相遇时一共走了多少千米？问题3：如果乙带小狗，而小狗也以5