数值分析 插值法

数值分析插值法第1页，共60页，2023年，2月20日，星期六22.1引言

设函数在区间上有定义，且已知在点

上的值，函数，若存在一简单使成立，就称为的插值函数，点称为插值节点，包含节点的区间称为插值区间，求插值函数的方法称为插值法.第2页，共60页，2023年，2月20日，星期六3

若是次数不超过的代数多项式，其中为实数，就称为插值多项式，相应的插值法本章只讨论多项式插值与分段插值.

若为分段的多项式，就称为分段插值.

若为三角多项式，就称为三角插值.即称为多项式插值.第3页，共60页，2023年，2月20日，星期六4

从几何上看，插值法就是确定曲线，使其通过给定的个点，并用它近似已知曲线

.图2-1见图2-1.第4页，共60页，2023年，2月20日，星期六5

本章主要研究如何求出插值多项式，分段插值函数，样条插值函数；

讨论插值多项式的存在唯一性、收敛性及误差估计等.第5页，共60页，2023年，2月20日，星期六6

2.2多项式插值设在[a,b]上给定n+1个点

上的函数值yi=f(xi)(i=0,…n),求次数不超过n的多项式P(x)，满足P(xi)=yi,(i=0,…n),

既满足线性方程组第6页，共60页，2023年，2月20日，星期六7

因为线性方程组的系数行列式

所以线性方程组的解存在且唯一。第7页，共60页，2023年，2月20日，星期六8

在次数不超过的多项式集合中，满足条件的插值多项式是存在唯一的.定理1第8页，共60页，2023年，2月20日，星期六9

1.线性插值

对给定的插值点，可以用多种不同的方法求得插值多项式.

先讨论的简单情形.问题：给定区间及端点函数值，要求线性插值多项式，2.3拉格朗日插值使它满足第9页，共60页，2023年，2月20日，星期六10

其几何意义就是通过两点的直线.图2-2如图2-2.第10页，共60页，2023年，2月20日，星期六11由的几何意义可得到表达式（点斜式），（两点式），

由两点式看出，是由两个线性函数的线性组合得到，其系数分别为及，即第11页，共60页，2023年，2月20日，星期六12称及为线性插值基函数，显然，及也是线性插值多项式，在节点及上满足条件图形见图2-3.第12页，共60页，2023年，2月20日，星期六13图2-3第13页，共60页，2023年，2月20日，星期六14

根据插值的定义应满足先定义次插值基函数.

为构造，2.n次插值多项式第14页，共60页，2023年，2月20日，星期六15

定义1就称这个次多项式为节点上的次插值基函数.

若次多项式在个节点上满足条件第15页，共60页，2023年，2月20日，星期六16显然它满足条件.

于是，满足条件的插值多项式Ln(x)可表示为

与前面的推导类似，次插值基函数为第16页，共60页，2023年，2月20日，星期六17由的定义，知容易求得

若引入记号称为拉格郎日（Lagrange)插值多项式而线性插值与抛物线插值是n=1和n=2的特殊情形第17页，共60页，2023年，2月20日，星期六18于是上述公式可改写成

注意:

次插值多项式通常是次数为的多项式，特殊情况下次数可能小于.

关于插值多项式存在唯一性有以下定理.第18页，共60页，2023年，2月20日，星期六193.插值余项与误差估计

设在上连续，在内存在，节点是满足条件的插值多项式，则对任何，插值余项

若在上用近似，则其截断误差为也称为插值多项式的余项.定理2.第19页，共60页，2023年，2月20日，星期六20

由给定条件知在节点上为零，即，其中是与有关的待定函数.

现把看成上的一个固定点，作函数根据插值条件及余项定义，可知在点及处均为零，故在上有个零点.证明于是第20页，共60页，2023年，2月20日，星期六21根据罗尔定理，在的两个零点间至少有一个零点，故在内至少有个零点.

对再应用罗尔定理，可知在内至少有个零点.

依此类推，在内至少有一个零点，记为，使第21页，共60页，2023年，2月20日，星期六22于是将它代入，

余项表达式只有在的高阶导数存在时才能应用.

但在内的具体位置通常不可能给出，如果可以求出那么插值多项式逼近的截断误差限是且依赖于就得到余项表达式.第22页，共60页，2023年，2月20日，星期六23当时，线性插值余项为当时，抛物插值余项为第23页，共60页，2023年，2月20日，星期六24若取，则

根据定理2，可得若令它可用来检验函数组的正确性.第24页，共60页，2023年，2月20日，星期六25由题意,取

用线性插值计算，例1已知的值并估计截断误差.用线性插值及抛物插值计算解取由点斜式公式（点斜式），第25页，共60页，2023年，2月20日，星期六26第26页，共60页，2023年，2月20日，星期六27

其截断误差其中于是第27页，共60页，2023年，2月20日，星期六28

用抛物插值计算，由公式得第28页，共60页，2023年，2月20日，星期六29

其中于是这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了.截断误差限第29页，共60页，2023年，2月20日，星期六30第30页，共60页，2023年，2月20日，星期六312.4.差商与牛顿插值公式

1.差商

利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化.第31页，共60页，2023年，2月20日，星期六32其中为待定系数，确定.

为了克服这一缺点，可把插值多项式表示为如下便于计算的形式:可由个插值条件第32页，共60页，2023年，2月20日，星期六33

当时，

当时，依此递推可得到.

当时，推得推得由，由第33页，共60页，2023年，2月20日，星期六34

称为函数关于点的一阶差商.称为的二阶差商.定义2第34页，共60页，2023年，2月20日，星期六35

一般地，称为的阶差商.第35页，共60页，2023年，2月20日，星期六36

第36页，共60页，2023年，2月20日，星期六37差商有如下的基本性质：

1°阶差商与节点的排列次序无关。称为差商的对称性.即第37页，共60页，2023年，2月20日，星期六38

证：设由n+1个互异节点x0,…,xn和函数值yi=f(xi)（i=0,…,n)建立的Newton插值多项式为对上述节点任意调整次序，设为xk0,…,xkn和函数值yki=f(xki)（i=0,…,n)建立的Newton插值多项式为第38页，共60页，2023年，2月20日，星期六39

根据插值多项式的唯一性，第39页，共60页，2023年，2月20日，星期六402°由性质1°与差商的定义证：由定义第40页，共60页，2023年，2月20日，星期六41差商计算可列表如下（表2-1）.第41页，共60页，2023年，2月20日，星期六42

首先根据给定函数表造出差商表.

给出的函数表（见表2-2），求4次牛顿插值多项式，并由此计算的近似值.例2第42页，共60页，2023年，2月20日，星期六43

从差商表看到4阶差商近似常数，5阶差商近似为0.

故取4次插值多项式做近似即可.于是

按牛顿插值公式，将数据代入第43页，共60页，2023年，2月20日，星期六443°若在上存在阶导数，且节点

则阶差商与导数关系如下：第44页，共60页，2023年，2月20日，星期六45

第45页，共60页，2023年，2月20日，星期六462.差分与等距节点插值

实际应用时经常遇到等距节点的情形，这时插值公式可以进一步简化，计算也简单得多.

1差分及其性质

设函数在等距节点上的值为已知，这里为常数，称为步长.

为了得到等距节点的插值公式，先介绍差分的概念.第46页，共60页，2023年，2月20日，星期六47记号定义3分别称为在处以为步长的向前差分，向后差分及中心差分.

符号，，分别称为向前差分算子，向后差分算子及中心差分算子.第47页，共60页，2023年，2月20日，星期六48

利用一阶差分可定义二阶差分为一般地可定义阶差分为

第48页，共60页，2023年，2月20日，星期六49

除了已引入的差分算子外，常用的算子符还有不变算子和移位算子定义如下：于是，由第49页，共60页，2023年，2月20日，星期六50

差分基本性质.

性质1其中为二项式展开系数.例如各阶差分均可用函数值表示.

第50页，共60页，2023年，2月20日，星期六51

性质2

例如，可用向前差分表示，所以可用各阶差分表示函数值.因为第51页，共60页，2023年，2月20日，星期六52

性质3

例如，对向前差分，差商与差分有密切关系.由定义第52页，共60页，2023年，2月20日，星期六53

差商与导数的关系又可得到其中，一般地有这就是差分与导数的关系.第53页，共60页，2023年，2月20日，星期六54

计算差分时可列差分表（见表2-3），表中