椭圆及其性质（练习）（含解析）2023年高考数学二轮复习

考点8-2椭圆及其性质1．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率，解得，，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B.2．（2019·福建·高考模拟（文））设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于A． B．或2 C．2 D．【答案】A【详解】试题分析：根据题意可设出|PF1|，|F1F2|和|PF2|，然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况，分别利用定义表示出a和c，则离心率可得．解：依题意设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，若曲线为椭圆则2a=|PF1|+|PF2|=6t，c=t则e==，若曲线为双曲线则，2a=4t﹣2t=2t，a=t，c=t∴e==故选A点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．关键是利用圆锥曲线的定义来解决．3．（2020·浙江·高考模拟（文））如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点.若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A．3 B．2 C． D．【答案】B【详解】是双曲线的两顶点，将椭圆长轴四等分椭圆的长轴长是双曲线实轴长的倍双曲线与椭圆有公共焦点，的离心率的比值是故答案选4.（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．【答案】13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴，得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故答案为：13.5．（2021·福建·高考模拟（理））椭圆的左右焦点分别为,焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于_____【答案】【详解】注意到直线过点即为左焦点，又斜率为，所以倾斜角为，即．又故，那么．，，．【考点定位】考查离心率的算法，要求学生要有敏锐的观察力，比如直线的特征．属于难题．6.（2022·全国·高三练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上，若，则该椭圆的离心率不可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则，代入中，可得，再利用，即可求出离心率的取值范围，从而可判断出离心率不可能的值【详解】设．因为点M在椭圆C上，所以，所以．因为，所以，解得．由题意可知，即．由，可得，即，显然成立．由，可得，则．又，所以，因为，，，，故选：A．7．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知椭圆：的两个焦点为，，过的直线与交于A，B两点.若，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件以及椭圆的定义,将,用a表示出,再在三角形中利用余弦定理建立方程,即可求解.【详解】设,则,.由椭圆的定义可知,所以,所以,.在△ABF1中,.所以在△AF1F2中,,即整理可得：,所以故选：C8．（2022·北京市十一学校高三模拟）已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．.【答案】B【分析】由题设以线段为直径的圆为，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.【详解】由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，所以，可得，即，又，所以.故选：B9.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为若则直线的斜率为___.【答案】【分析】由，可得的值，即可求出的值，设，可得，从而可得，进而由，可求出.【详解】由题意，，解得，因为，所以，故.设，则，即，则，因为，所以，所以，故.故答案为：10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：1的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，其中，若，||，则椭圆的离心率的取值范围为_____．【答案】(，]【分析】设，由已知得到的范围，再由椭圆的定义得到n，m间的关系，代入、换元，求出e的范围.【详解】设，由，知，因为，在椭圆上，，所以四边形为矩形，；由，可得1，由椭圆的定义可得，

①，平方相减可得②，由①②得；令t，令，所以，即，所以，所以，所以，解得.故答案为：.11.（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率.【详解】因为，所以，如图，在上取一点M，使得，连接，则，则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，所以，设，则，由椭圆定义可知：，即，所以，所以，，故点A与上顶点重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以椭圆离心率为.故选：A【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率.12．（2021·江苏省天一中学高三预测）如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，由已知条件及椭圆、圆的性质得，，且，根据勾股定理列方程求x，进而求椭圆离心率.【详解】连，若，则，，，又，则，即，得，又，即，代入得.故选：C.【点睛】关键点点睛：根据椭圆的定义、圆的性质，由垂直关系，利用勾股定理列齐次方程求离心率.13．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角形的中位线、线段的中垂线、椭圆的定义对转化，用P点的坐标表示，通过P点在第一想象的范围，求出范围.【详解】如图所示，点在轴右边，因为为的垂直平分线，所以．由中位线定理可得．设点．由两点间的距离公式，得，同理可得，所以，故，因为，，所以，+故，所以．因为，所以．故的取值范围为．故选：D．【点睛】本题考查了椭圆的定义、直线和椭圆的关系、三角形中位线和线段的中垂线的几何性质，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于难题.14．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：1的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，其中，若，||，则椭圆的离心率的取值范围为_____．【答案】(，]【分析】设，由已知得到的范围，再由椭圆的定义得到n，m间的关系，代入、换元，求出e的范围.【详解】设，由，知，因为，在椭圆上，，所以四边形为矩形，；由，可得1，由椭圆的定义可得，

①，平方相减可得②，由①②得；令t，令，所以，即，所以，所以，所以，解得.故答案为：.15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知椭圆的方程为，，为椭圆的左右焦点，P为椭圆上在第一象限的一点，I为的内心，直线PI与x轴交于点Q，椭圆的离心率为，若，则的值为___________.【答案】