随机变量及其分布教案

第二章随机变量及其分布

一．本章的教学目标及基本要求

（1）理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质,理解离

散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事

件的概率；

（2）熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分

布的分布律或密度函数及性质；

二．本章的教学内容

随机变量

离散型随机变量及其分布

离散随机变量及分布律、分布律的特征

常用的离散型随机变量

常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布）

随机变量的分布函数

分布函数的定义和基本性质，公式

连续型随机变量及其分布

连续随机变量及密度函数、密度函数的性质

常用的连续型随机变量

常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算

三．本章教学内容的重点和难点

a)随机变量的定义、分布函数及性质；

b)离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度

函数求任何事件的概率；

c)六个常见分布(二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、

正态分布)；

四．教学过程中应注意的问题

a)注意分布函数F(x)P{Xx}的特殊值及左连续性概念的理解；

b)构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数F(x)之间的关系；

c)构成连续随机变量X的密度函数的条件，它与分布函数F(x)之间的关系；

d)连续型随机变量的分布函数F(x)关于x处处连续，且P(Xx)0，其

中x为任意实数，同时说明了P(A)0不能推导A。

e)注意正态分布的标准化以及计算查表问题；

五．思考题和习题

ex,x0

F(x)

思考题：1.函数1ex,x0是否是某个随机变量的分布函数？

2.分布函数F(x)有两种定义——P{Xx}orP{Xx}，主要的

区别是什么？

3.均匀分布与几何概率有何联系？

4.讨论指数分布与泊松分布之间的关系。

5．列举正态分布的应用。

§2.1随机变量与分布函数

一、随机变量的概念

一般来说一个随机试验的结果可以分为两种类型。

例2-1一次晚会组织抽奖，奖励以奖金形式发放。已知一等奖有一个名额，奖金额度

500元；二等奖有三个名额，奖金额度100元；三等奖有5个名额，奖金额度50元；纪念

奖10个名额，奖金额度10元。则此时抽奖活动可以看做是一个随机试验，作为获奖金额的

样本点是以具体数值形式出现的。

例2-2学校体育课有篮球、网球、羽毛球、排球和瑜伽五个项目供同学选择。选择方

法是首选自主，若该项目名额已满则系统随机将未入选学生安排至另外报名未满的项目。某

学生首选羽毛球，结果学员已满。此时第二次选择可以看做一次随机试验，所有可能的结果

为篮球班、网球班、排球班和瑜伽班，此时样本点不再是以具体数值出现。

例2-1中的样本点本身是以具体数量的形式出现的，称为数量型。我们很方便的可以将

样本点对应到其具体的数值上，从而得到一个由样本空间到实数的函数X:X()，其

中的X()即样本点的取值。例2-2中的样本点并不是以数量形式出现，我们称为非数量

型。类似数量型当我们将篮球班、网球班、排球班和瑜伽班四个班分别以数字{1,2,3,4}表

示时，我们也得到了由样本空间到实数的一个函数.此时样本空间中的每一个样本点作为函

数的自变量，对应到的具体数值即为函数的取值。由样本点的随机性这样的函数X取值变

化也具有随机性，是一个随机变化的变量，我们称之为随机变量。

定义2-1设为随机试验E的样本空间，若对中的每个样本点，都有唯一的

实数X()与之对应，则称函数：

X:R，X:X()

为定义在样本空间上的一个随机变量。一般用大写字母X，Y，Z；或者希腊字母，

，表示。X的函数值称为随机变量的取值，记为x，y，z等。

例2-3小明去布吉岛探险，不幸落入食人族手中。食人族族长与小明约定由小明掷骰

子决定他的生死。若点数为1、2（小），则小明成为食人族部落当晚的夜宵；若点数为5、

6（大），则可以给小明自由；若点数为3、4（中），则将小明关押起来等第二天再投骰子

决定。此时随机试验为小明掷骰子观测结果，样本空间为{1,2,3,4,5,6}.若记1为生，1

为死，0为生死未卜。则可得一随机变量X:R，X:X()，其中

X(1)X(2)1，X(3)X(4)0，X(5)X(6)1.随机变量的取值为x1，

1

x0，x1.

23

这里我们看到样本点和随机变量X的取值虽然都是数字，但它们并不相等。

例2-4一根树枝长度为两米，某人用一把刀随机地将树枝砍成两段。现在考虑较短的

一段长度，则其样本空间为[0,1].这是一个数量型样本空间，我们将样本空间中每个样

本点对应到它的数量就得到了一个随机变量X:R，X:X()，其中X().

这里的样本点个数有不可列个，同样随机变量的取值也有不可列个。在第三节我们会详细讨

论这样的随机变量。

例2-5为调查某产品的市场推广情况，调查小组随机地在消费者中选取了1000名志愿

者进行问卷调查。调查内容分为有关志愿者的个人情况如年龄、性别，是否使用过本产品，

以及满意度等等。此时随机试验的样本空间为全部1000名志愿者。

若记男性为1，女性为0则可得到一随机变量X:R，X:X().其中

111

X()i，当为男性，i1；当为女性，i0。若将每个样本点对应到志愿者的年

1

龄则得到另一随机变量X:R，X:X().其中X()为志愿者的年龄；若

2222

将志愿者使用过该产品记为1，未使用过记为0.则得到第三个随机变量X:R，

3

1

X:X()，其中X()；若将志愿者对产品的满意程度对应到[1,1]的每个实

3330

数，越大表示越满意，0表示未使用过，则同样得到一个随机变量X:R，

4

X:X()，其中X()的所有可能取值为[1,1].

444

由上面的例子可以看出，对应于同一个样本空间，进行不同的随机试验就得到了不同的

随机变量，它们反映了同一个个体不同方面的属性。这也是利用随机变量研究随机现象的一

个优势。

类似集合表示的形式，对于具体的随机事件我们可以将第一章中有关事件及其关系运算

的内容表示为随机变量取值的形式如：一般的随机事件A可对应表示为：{XD}；单样

1

本点概率P()可表示为：P{Xx}，其中X()x；若记D{X()|A}，

1

D{X()|B}则：事件概率P(A)可表示为：P{XD}；积事件概率P(AB)可表

21

示为：P{XD,XD}；和事件概率P(AB)为：P{(XD)(XD)}；条件概

1212

率P(A|B)可表示为：P{XD|XD}.类似地，读者可以自己将第一章中概率的性质

12

及条件概率的三大公式表示为随机变量形式。

二、随机变量的分布函数

随机变量只能反映样本点和其取值之间的对应关系，并不能反映随机事件的概率性质，

因此我们还需要利用函数工具给出随机变量和其概率性质之间的关系。我们称反映这样对应

关系的函数为随机变量的概率分布函数。注意，分布函数是反映随机变量不同取值对应的概

率性质，因此其自变量是随机变量取值，而因变量则是对应的某个随机事件的概率值。因此，

我们定义分布函数如下：

定义2-2设X为随机变量，对任意的xR，称函数

F(x)P{Xx}，x

为随机变量X的分布函数，记为X~F(x).

如图所示，分布函数表示随机变量X取值不超过x的概率。

图2-1分布函数的意义

由分布函数的定义不难得到分布函数具有下列性质：

性质若F(x)为随机变量X的分布函数，则

（1）有界性：0F(x)1，xR；

（2）单调不减性：xxF(x)F(x)；

1212

（）F()0，F()1；

3

（4）右连续性：F(x)F(x0)，xR.

证明略。分布函数一定满足以上四条性质。反之，可以证明满足以上四条性质的函数，

可以看做某个随机变量的分布函数。

利用分布函数我们很容易求出随机事件的概率。一般地有：

（1）P{aXb}F(b)F(a)；

（2）P{Xa}1F(a)；

（3）P{aXb}F(b)F(a0)；

0x1

1

1x0

4

1

例2-6随机变量X的分布函数为F(x)0x1，求以下事件概率：

2

x

1x2

2

1x2

P{0.5X1.5}，P{X0.5}，P{0X3}，P{X1}.

1.511

解P{0.5X1.5}F(1.5)F(0.5)，

224

11

P{X0.5}1F(0.5)1，

22

13

P{0X3}F(3)F(00)1，

44

11

P{X1}P{1X1}F(1)F(10)0.

22

例2-7随机变量X的分布函数为F(x)ABarctanx，求常数A，B.

解由分布函数的性质有，

F()ABarctan()AB0，

2

F()ABarctan()AB1，

2

11

故：A，B.

2

1

例2-8F(x)是否可以作为某个随机变量的分布函数？（1）x；（2）

1x2

x0，其他场合适当定义；（3）0x，其他场合适当定义。

解（1）当x时，由于F()0，

但F()01

1

因此F(x)不可以作为某个随机变量的分布函数；

1x2

（2）当x0时，F()0，F(00)1，

1

x0

故只需定义F*(x)1x2，

1x0

容易验证F*(x)满足分布函数的四条基本性质，因此F*(x)可以作为某个随机变量

的分布函数。

（3）当0x时，F()01，因此F(x)不能作为某个随机变量的分布函数。

注意我们现在涉及到与随机试验有关的两个函数：随机变量和随机变量的分布函数，它

们之间有联系也有区别。随机变量是由样本点对应到其取值——用一个数字反映观测对象的

某方面属性的，其自变量是样本点而函数值是实数；而分布函数则反映随机变量取值的概率

分布情况的，其自变量是随机变量的取值而函数值是样本点对应的概率，因此取值范围只能

是[0,1].随机变量X取值为x时所对应的样本点与分布函数F(x)在x点所对应的样本点是

一致的。

对于一些特殊的随机变量，除了分布函数可以完整描述其概率分布外，还可以采用其他

的工具来处理。随机变量按照处理工具不同可分为：离散型——取值有限或者至多可列如例

2-3.这类随机变量可以采用用列表法将其取值概率一一列举；连续型——取值不可数但事件

概率可看作是某个函数积分如例2-4，这类随机变量可以采用解析法求积分处理；除了这两

类以外称为奇异型随机变量，这类随机变量在实际中出现相对较少，只能采用分布函数法处

理。在后续章节中我们主要讨论离散型和连续型两类随机变量。

§2.2离散型随机变量

一、离散型随机变量的概率分布

定义2-3取值有限或可列的随机变量X称为离散型随机变量。

因为离散型随机变量的取值为有限或可列，因此我们可以将其取值一一列举出来，而把

对应的概率列举在取值下方而形成列表的形式。我们称这样的列表为离散型随机变量的分布

列。将列表表示为函数的形式称为离散型随机变量的概率分布。

定义2-4设X为离散型随机变量，其取值为x，i1,2,...,n,...，则称P{Xx}p

iii

为X的概率分布；而称

Xxx...x...

12n

Ppp...p...

12n

为X的分布列。

例2-9小红帽带糕点去奶奶家。行至岔路口有三条支路，已知其中只有一条通往奶奶

家。若将小红帽可以到达奶奶家记为1，不可到达记为0，则可得取值为0、1的随机变量X，

其分布列为：

X01

P2/31/3

例2-10设某大型网络游戏中一件极品装备在某副本中爆出的几率为0.00001，有游戏

玩家为获得该装备决定去刷能爆出该装备的游戏副本。若用X表示该游戏玩家在刷出装备

前进入游戏副本的次数，则显然X的可能取值为0，1，2，3，......，n，......；概率分布

为：

P{Xi}(10.00001)i0.000010.99999i0.00001，i0,1,2,...,n,....

离散型随机变量的分布列具有以下性质：

性质

（1）p1；

i

i1

（2）0p1，i1,2,...,n,....

i

离散型随机变量的概率分布一定满足以上两个性质，反之，满足以上两条性质的数列，

一定可以作为某离散型随机变量的概率分布。

例2-11离散型随机变量X的概率分布如下：

2

（1）P{Xi}a()i，i1,2,3；

3

2

（2）P{Xi}a()i，i1,2,3,.

3

求未知量a.

解注意到（1）中取值为有限个，而（2）中为可列个。由离散型随机变量分布列性质：

322222227

（1）pa()1a()2a()3a[()1()2()3]1，故a.

i33333338

i1

221

（2）pa()ia()i1，故a.

i332

i1i1i1

由离散型随机变量的概率分布很容易可以得到一般随机事件概率的计算公式，事实上

P{XI}p

i.

xI

i

例2-12离散型随机变量X的概率分布如例2.2.3（1），求P{X1}，P{X1}，

P{X2}，P{X2.5}，P{X3}，P{X4}.

272

解由于X的概率分布为：P{Xi}()i，i1,2,3，故

383

P{X1}=p0，

i

x1

i

2729

P{X1}pp，

i138319

x1

i

9

P{X2}pp，

i119

x2

i

9615

P{X2.5}pppp，

ii12191919

x2.5x2

ii

P{X3}pppp1，

i123

x3

i

P{X4}pp1.

ii

x4x3

ii

例2-13袋内有5个黑球，3个白球，每次抽取一个，不放回，直到取得黑球为止。记

X为取到白球的数目，求随机变量X的概率分布。若记Y为抽取的次数，则随机变量Y的

概率分布又如何？

解X为取到白球的数目，故其取值为：0，1，2，3.对应概率：

5

pP{X0}，

08

3515

pP{X1}=，

18756

3255

pP{X2}=，

287656

32151

pP{X3}=，

3876556

故X的分布列为：

X0123

P5/815/565/561/56

Y为抽取的次数，则Y的可能取值为：1，2，3，4.而

5

P{Y1}P{X0}，

8

3515

P{Y2}P{X1}=，

8756

3255

P{Y3}P{X2}=，

87656

32151

P{Y4}P{X3}=，

876556

故Y的分布列为：

Y1234

P5/815/565/561/56

离散型随机变量概率分布图像如下，形如一列竖立着的火柴棒。

图2-2离散型随机变量概率分布

二、离散型随机变量的分布函数

对离散型随机变量来说，我们已经有分布函数和概率分布两个工具来全面描述其概率特

征。那么这两者之间有什么样的关系呢？由分布函数的定义，立即可以得到离散型随机变量

X的分布函数为:

F(x)P{Xx}p

i

xx

i

而由分布函数的右连续性又可以得到pF(x)F(x0)，因此随机变量X的概率分布

iii

为

P{Xx}pF(x)F(x0).

iiii

例2-14已知随机变量X的分布列为

X135

P0.50.20.3

求X的分布函数。

解X的取值为1，3，5.

当x5时，

F(x)P{Xx}ppP{X5}P{X3}P{X1}1；

ii

xxx5

ii

当3x5时，

F(x)P{Xx}pP{X1}P{X3}0.7；

i

xx

i

当1x3时，

F(x)P{Xx}pP{X1}0.5；

i

xix

当x1时，

F(x)P{Xx}p0；

i

xix

故X的分布函数为：

0x1

0.51x3

F(x)，

0.73x5

15x

函数图像为：

由上例可以看出离散型随机变量的分布函数的图像为阶梯形的分段函数，在每个取值点

分段，每段均为一条水平线段；其高度差或者说跳跃的幅度为左端点取值的概率大小；由分

布函数的右连续性，空心圆始终出现在线段的右端点；最左端与x轴重合，最右端与直线

x1重合。

0x1

0.31x1

例2-15设F(x)为某随机变量X的分布函数，

0.71x2

12x

试做出分布函数的图像，并求X的分布列。

解X的分布函数图像为：

分布函数分段点为随机变量X的取值，故X的取值为：1、1、2；

分布函数每段的跳跃幅度即为分段点对应取值的概率，故P{X1}0.3、

P{X1}0.70.30.4、P{X2}10.70.3；因此，X的分布列为：

X112

P0.30.40.3

三、常用离散型随机变量的分布

下面我们介绍几种常用的离散型随机变量的分布，请读者注意它们的实际应用背景或者

对应的实际概率模型。

1.退化分布

定义2-5如果随机变量X的概率分布为:P{Xx}1，则称该随机变量服从退化分

0

0xx

布。其布分布函数为F(x)0.

1xx

0

若X服从退化分布，X只去常数x，此时可以说X的取值并不随机，但我们宁可把

0

它看作随机变量的极端或退化情况，因此成为退化分布。

2.01分布

例2-16期货交易是在指定时间发生（实际交割）前以当前价格买入或卖出某类货物的

金融投资行为。当某投资者认为该货物在指定交割时间价格要高于当前价格则会考虑此时买

入，从而等到指定交割时间到来时卖出以获得收益。称为做多。反之若投资者认为该货物在

指定交割时间价格要低于当前价格则会考虑将手中的货物按照当前价格抛出，在实际交割时

间时赚取利润。称为做空。设某投资者判断正确则可获利5000元，错误则损失3000元。

则可得一随机变量取值为5000和3000。因其取值只有两个，我们称之为两点分布。

P{Xx}p

定义2-6如果随机变量X的概率分布为:1，则称该随机变量服从

P{Xx}1p

2

0xx

1

参数为p的两点分布，不妨设xx，则其分布函数为：F(x)pxxx.

1212

1xx

2

特别地，如果x0和x1，即X的概率分布可表示为

12

P{X0}p

，

P{X1}1p

0x0

则称随机变量X服从参数为p的01分布。其分布函数为F(x)p0x1.

1x1

第一章中我们介绍了贝努利试验，若记试验成功为1、失败为0则一次贝努利试验所对

应的随机变量即为01分布。。

3.n个点上的均匀分布

第一章中我们还介绍了古典概型，其样本点有限且等概率。表示成随机变量即可得到：

1

定义2-7如果随机变量X的概率分布为:P{Xx}，i1,2,...,n，则称该随机

in

变量服从n个点x，x，……，x上的均匀分布。

12n

之所以称其为n个点上的均匀分布，是因为随后在连续型随机变量中我们会遇到均匀分

布。那时候我们会发现n个点上的均匀分布实际上是对连续均匀分布的离散化。

4.二项分布

在n重贝努利试验中考虑事件A发生的次数X，则X的所有可能取值为0，1，……，

n，由第一章定理1-3，试验恰好成功k次的概率为Ckpk(1p)nk.

n

定义2-8如果随机变量X的概率分布为：

P{Xk}Ckpk(1p)nk，k0,1,...,n；

n

则称该随机变量服从参数为n，p的二项分布，记为X~B(n,p)，并将第k项概率分布值

记为P{Xk}Ckpk(1p)nkb(k;n,p).其分布列为

n

......

X01kn

P(1p)nnp(1p)n1...Ckpk(1p)nk...pn

n

由二项定理不难验证，定义2.2.6给出的概率分布满足性质2.2.1，请读者自己验证。

例2-17试判定下列哪些是二项分布，并确定参数。

（1）

...

X12n

...

Pnp(1p)n1C2p2(1p)n2pn

n

（2）

...

X012n

...

PC0(1p)0pnn(1p)pn1C2(1p)2pn2(1p)n

nn

（3）

...

X012n

...

PCn(1p)nCn1p(1p)n1Cn2p2(1p)n2C0pn

nnnn

解（1）不是，取值不是从0开始。

（2）是，根据定义服从B(n,1p).

（3）是，因为CnkCk，故服从B(n,p).

nn

由上面例子可以看出，参数p和1p在二项分布中地位是对等的，且组合系数

CkCnk，于是我们有如下定理：

nn

定理2-1若X~B(n,p)，记YnX，则Y~B(n,1p).

定理的意义如下表示。证明较简单，留给读者自己练习。

......

YnXnn1nk0

......

X01kn

......

P(1p)nnp(1p)n1Ckpk(1p)nkpn

n

例2-18对某种药物的疗效进行研究，假设这种药物对某种疾病的治愈率p0.8，现

对10名患者进行试验，求患者同时服药后至少有6人治愈的概率。

解设10名患者中治愈的人数为随机变量X，则X~B(10,0.8)，于是有

10

P{X6}Ck0.8k0.210k

10

k6

由于参数p0.8较大，故可以考虑利用定理2.2.1转化为YnX处理。

4

Y~b(10,0.2)，P{X6}P{Y4}Ck0.2k0.810k0.97.

10

k0

例2-19某大学的校网球队与该校某系网球队举行对抗赛。一般地，校队实力略高于

系队，每个校队队员获胜概率为p0.55.现双方商讨对抗赛的比赛方式，提出以下三种备

选方案：（1）双方各出3人；（2）双方各出5人；（1）双方各出7人。胜出人数多的一方获

最终胜利。问系队如何选择较为有利？

解设系队获胜队员人数X为，系队队员获胜概率为p0.45，一般可认为队员间的

比赛相互独立，则X服从二项分布。分别计算三种方案的获胜概率：

3

（1）P{X2}Ck0.45k0.553k0.425；

3

k2

5

（1）P{X3}Ck0.45k0.555k0.406；

5

k3

7

（1）P{X4}Ck0.45k0.557k0.391；

7

k4

由此可知，第一种方案对系队最为有利。这也比较容易理解，因为参赛的队员人数越少，

偶然性越大，系队侥幸获胜的概率也就越大。显然双方若都只出一人比赛则系队获胜概率达

到最大为p0.45.

5.几何分布

在贝努利试验序列中，考虑事件A第一次发生时的试验次数X，则X的可能取值为1，

2，…，n，…，取值为k的概率为

P{Xk}P(AA...AA)P(A)P(A)...P(A)P(A)(1p)k1p，

k1k1

我们称这样的离散型随机变量服从几何分布。

定义2-9设随机变量X的概率分布为：P{Xk}(1p)k1p，k1,2,...,n,...，

则称该随机变量服从参数为p的几何分布。记为X~G(p).

1

由于P{Xk}(1p)k1pp(1p)k1p=1，

1(1p）

k1k1k1

且(1p)k1p0，故几何分布概率分布满足离散型随机变量概率分布的两条性质。

例2-20血库急需RH阴性血液，需从献血者中获得，依据经验，RH阴性血液出现概率

为0.003，今对献血者进行化验，用X表示在第一次找到合格的RH阴性血液时，献血者已

经化验的人数。求已知化验了5人尚未出现RH阴性血液的概率，以及化验了10人后再化验

5人仍未出现RH阴性血液的概率。

解依题意有随机变量X~G(0.003)，故所求概率分别为：

(10.003)5

P{X5}P{Xk}0.0030.99750.985，

1(10.003)

k6

P{X15,X10}P{X15}

P{X105|X10}0.985.

P{X10}P{X10}

我们称上面的性质为几何分布的无记忆性。它说明几何分布在之前进行的试验次数对随

后再进行试验的次数是没有影响的。即：

性质若随机变量X~G(p)，则

P{Xmn|Xn}P{Xm}，n,m。

(1p)mp

证明P{Xm}(1p)k1p(1p)m，

1(1p)

km1

P{Xmn,Xn}

P{Xmn|Xn}

P{Xn}

P{Xmn}(1p)mn

(1p)m

P{Xn}(1p)n

故P{Xmn|Xn}P{Xm}.

6.超几何分布

某学校有1000名学生，其中900男生、100女生，现学校随机选取10名同学参加一项

公益活动，其中男生的人数恰好为8名的概率应如何计算?

上例中我们需要对一类总体进行不放回的抽样。一般地若有NNN个个体构成的

12

总体，N个具有性质A，N个不具有性质A，不放回抽取n个，其中具有性质A的个体

12

数目就构成了一个随机变量，这样的随机变量分布称为服从超几何分布。

CkCnk

NN

定义2.2.8如果随机变量X的概率分布为：P{Xk}12，k0,1,2,...,n，

Cn

N

其中NNN，则称该随机变量X服从参数为n，N，N的超几何分布，记为

1212

X~H(n,N,N).

12

CkCnkn

NNknkn

由组合数的非负性显然P{Xk}120，利用组合性质CCC

NNNN

Cn1212

Nk0

nnCkCnk1nCnCn

NNNN

可得：P{Xk}12CkCnk12N1，因此超几何分布

NN

CnCn12CnCn

k0k0NNk0NN

满足离散型随机变量概率分布的两条性质。

7.泊松分布（X~P()）

k

定义2-10如果随机变量X的概率分布为：P{Xk}e，k0,1,2,...,n,...，

k!

0，则称该随机变量服从参数为的泊松分布，记为：X~P().

xkx

由指数函数的幂级数展开式ex有，当取x时e，故

k!k!

k0k0

kk

p{Xk}eeee1

k!k!

k0k0k0

k

且由于0，所以P{Xk}e0，故泊松分布满足离散型随机变量概率分布的

k!

两个性质。

泊松分布在排队问题中有着重要应用。凡是涉及到一段时间内的计数问题，最终都近似

服从泊松分布，如单位时间内的电话呼叫数等。

由泊松分布的概率分布计算有关事件的概率是比较困难的。经过人们长期努力，通过其

他手段得到了泊松分布在不同参数和取值下的分布函数值，并编成了表格形式，称为泊松分

布表。随后对服从泊松分布的随机变量概率的计算，我们只需要查表取值就可以了。

例2-21某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的销售量可以用参数为10

的泊松分布来描述。为了以95%以上的概率保证不脱销，问商店在月底应存多少件该商品？

（只在月底进一次货）

解设X为该商店每月的销售量，则X~P(10)，依题意要求，k满足

P{Xk}0.95，查参数为10的泊松分布表有

1410i

P{X14}e100.91660.95，

i!

i0

1610i

P{X16}e100.95130.95，

i!

i0

因此商店在月底应存15件该商品才能保证以95%以上的概率保证不脱销。

8.超几何分布、二项分布、泊松分布的关系

在超几何分布中当N非常大而抽样个数相对较少时，可以近似地将不放回抽样看作有

放回抽样，从而超几何分布近似于二项分布。类似地，当n重贝努利试验次数较大而事件发

生概率较小时，则我们可以将其看成近似计数问题而符合泊松分布。由此我们得到以下定理：

N

定理2-2（1）若X~H(n,N,N)，若lim1p时，则

NN12

NN

CkCnk

NNkknk

lim12Cp(1p)；

n

NCk

n

（2）若YB(n,p)，若n，np时，则

nnn

k

limCkpk(1p)nke.