文档：向量在中学数学中的应用

向量在中学数学中的应用向量兼有数与形两大特征，向量的三种运算又能有效、简捷地描述图形中的数量关系和图形之间的位置关系，加之向量与坐标系具有天然的联系，所有这些得天独厚的特性使得向量成为解决中学数学有关问题的强有力工具。向量与图形前两节已举了不少运用向量研究图形性质的例子。概括起来，运用向量方便、简洁地解决的图形问题大致有以下几类：比例的有关问题；平行与垂直的有关问题；角度与距离的有关问题。由于平面向量与空间向量没有本质的区别，因此，不管是平面图形还是空间图形，运用向量解决、研究图形问题的思路是一致。一般情况下，有两种途径：一是选择适当的基向量，其它有向线段用基向量线性表示，然后通过向量的运算求解；二是建立适当的坐标系，运用向量或点的坐标运算求解。究竟用哪一种方法，可视具体问题而定。下面举例说明之。例1已知P、Q过△OAB的重心G，OP:OA=m，OQ:OB=n,求证：EQ\F(1,m)+EQ\F(1,n)=3。分析这是涉及到比例的问题，运用向量的加法、数乘运算即可。图7-23中有众多的线段，不妨以不共线的向量EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(OA))、EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(OB))为基向量，其它有向线段用基向量线性表示。设EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(OA))=a，EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(OB))=b，则EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(OD))=EQ\F(1,2)(a+b),EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(OG))=EQ\F(1,3)(a+b)，EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(OP))=mEQ\O(\s\up12(→),\S\do4(OA)),EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(OQ))=nEQ\O(\s\up12(→),\S\do4(OB))。EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(PG))=EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(OG))-EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(OP))=(EQ\F(1,3)-m)a+EQ\F(1,3)b,EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(PQ))=EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(OQ))-EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(OP))=nb–ma。∵P、Q、G共线，∴存在λ，使EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(PG))=λEQ\O(\s\up12(→),\S\do4(PQ))，即(EQ\F(1,3)-m)a+EQ\F(1,3)b=λ（nb–ma）。

整理，得(EQ\F(1,3)-m+λm)a+（EQ\F(1,3)–λn）b=0，于是，EQ\F(1,3)-m+λm=0，

EQ\F(1,3)–λn=0，消去λ，得EQ\F(1,m)+EQ\F(1,n)=3。例1也可以通过建立坐标系，运用向量的坐标运算来解决，读者不妨一试。例2已知△ABC中，AM:AB=1:3，AN:AC=1:4,，BN与CN交于点E，AB=m，AC=n,∠BAC=60°，求AE之长（图7-24）。解问题涉及到比例，长度与距离，因此必须运用向量的三种运算求解。选择EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(AB))=a，EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(AC))=b为基向量，则EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(NB))=a－EQ\F(1,4)b,EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(CM))=EQ\F(1,3)a－b。因N、E、B共线,C、E、M共线，故存在实数λ,μ，使EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(NE))=λEQ\O(\s\up12(→),\S\do4(NB))=λ(a-EQ\F(1,4)b),EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(CE))=μEQ\O(\s\up12(→),\S\do4(CM))=μ(EQ\F(1,3)a-b)。∵EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(NC))+EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(CE))+EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(EN))=0，∴EQ\F(3,4)b+μ(EQ\F(1,3)a-b)-λ(a-EQ\F(1,4)b)=0，(EQ\F(3,4)－μ+EQ\F(1,4)λ)b+(EQ\F(1,3)μ－λ)a=0。∵a,b不共线，∴{EQ\A(EQ\F(3,4)--μ+EQ\F(1,4)λ=0,EQ\F(1,3)μ-λ=0)解得λ=EQ\F(3,11)，μ=EQ\F(9,11)。∴EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(AE))=EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(AN))+EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(NE))=EQ\F(1,4)b+EQ\F(3,11)(a-EQ\F(1,4)b)=EQ\F(3,11)a+EQ\F(3,11)b

|EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(AE))|=EQ\F(1,11)EQ\R(,(3a+2b)2)=EQ\F(1,11)EQ\R(,9m2+4n2+6mn)。例3在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1。证欲证明两个平面垂直，只须证明这两个平面的法向量相互垂直即可。由于ABCD-A1B1C1D1是个正方体，故可建立坐标系，应用向量坐标的运算来解决。以A为原点，分别以EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(AB))、EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(AD))、EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(AA1))所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图7-25），则D(0,1,0)、E(1,0,EQ\F(1,2))、F(EQ\F(1,2),1,0)、A1(0,0,1)、D1(0,0,1)，于是EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(AD))=(0,1,0),EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(AE))=(1,0,EQ\F(1,2)),EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(A1D1))=(0,1,0),EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(D1F))=(EQ\F(1,2),1,0)。设平面ADE的法向量为n1=(x,y,z)，而EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(AD))、EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(AE))在平面ADE内，所以有n1⊥EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(AD)),n1⊥EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(AE))，求得y=0，x=-EQ\F(1,2)z,所以平面ADE的一个法向量为n1=(－EQ\F(1,2),0,1)。同理，求得平面A1F1D1的一个法向量n2=(—1,0,—EQ\F(1,2))。∵n1.n2=0,∴n1⊥n2。平面ADE⊥平面AFD1。例4在正四面体ABCD中，E、M分别是AB，AC的中点，N为面BDC的中心（图7-26），求DE，MN之间的夹角。解令EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(DA))=a,EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(DB))=b,EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(DC))=c，则EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(DE))=EQ\F(1,2)(a+b)，EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(NM))=EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(ND))+EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(DC))+EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(CM))=—EQ\F(1,3)(b+c)+c+EQ\F(1,2)(a—c)=-EQ\F(1,3)b+EQ\F(1,6)c+EQ\F(1,2)∵|EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(DE))|=EQ\F(EQ\R(,3),2)|EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(NM))|=EQ\F(1,2)，EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(DE)).EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(NM))=EQ\F(1,2)(-EQ\F(1,3)b+EQ\F(1,6)c+EQ\F(1,2)a).(a+b)=EQ\F(5,24)，∴cos<EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(DE)),EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(NM))>=EQ\F(EQ\O(\s\up3(→),\S\do2(DE))EQ\O(\s\up3(→),\S\do2(NM)),|EQ\O(\s\up3(→),\S\do2(DE))||EQ\O(\s\up3(→),\S\do2(NM))|)=EQ\F(5EQ\R(,3),18)。从上述例子可以看出，运用向量求直线与直线，直线与平面或两个平面的夹角，基本途径相同，寻找能表示两个元素方向的向量a、b，然后利用公式cos<a、b>=EQ\F(a·b,|a||b|)。例5已知正四棱锥S—ABCD两相对侧面SAD和SBC相互垂直，求两相邻侧面SAB和SBC所成二面角的大小。（图7-27）解求平面夹角的问题可以转化为求平面的法向量的夹角问题。以底面ABCD中心O为坐标原点，建立如图所示的坐标系Oxyz，Ox≤≤|a|.|b|来达到求解的目的。

f(x)=EQ\R(,1+x2),若a≠b，证明

|f(a)—f(b)|<|a—b|证f(a)=EQ\R(,1+a2),f(b)=EQ\R(,1+b2),

∴令a1=(1,a)，b1=(1,b),

则f(a)=|a1|，f(b)=|a2|，a1–a2=(0,a—b)

于是：|f(a)—f(b)|=||a1|—|a2||≤|a1—a2|=|a—b|。

在不等式||a1|—|a2||≤|a1—a2|中，等号成立当且仅当a1、a2共线，而a≠b，这说明a1、a2不同向，于是等号取不到，从而|f(a)—f(b)|<|a—b|。例11设0<x<1，a、b为非零常数，试求y=EQ\F(a2,x)+EQ\F(b2,1-x)的最小值。解设m=(EQ\F(a,EQ\R(,x)),EQ\F(b,EQ\R(,1-x)))，n=(EQ\R(,x),EQ\R(,1-x))，则m·.n=a+b，|m|=EQ\R(,EQ\F(a2,x)+EQ\F(b2,1-x))，n|=1，由m·n≤|m|.|n|得a+b≤EQ\R(,EQ\F(a2,x)+EQ\F(b2,1-x))，即（a+b）2≤EQ\F(a2,x)+EQ\F(b2,1-x)。等号当且仅当m、n共线，即EQ\F(a,EQ\R(,x))：EQ\R(,x)=EQ\F(b,EQ\R(,1-x))：EQ\R(,1-x)时成立，求得当x=EQ\F(a,a+b)时，ymin=(a+b)2例12设x、y、z是正实数，x+y+z=1，求w=EQ\F(1,x)+EQ\F(4,y)+EQ\F(9,z)的最小值。解设m=(EQ\F(1,EQ\R(,x)),EQ\F(2,EQ\R(,y)),EQ\F(3,EQ\R(,z)))，n=(EQ\R(,x),EQ\R(,y),EQ\R(,z))，则|m|=EQ\R(,w),|n|=1，||=6。由|m·n|≤|m||n|，知6≤EQ\R(,w),36≤w当且仅当m,n共线，即EQ\F(1,EQ\R(,x)):EQ\R(,x)=EQ\F(2,EQ\R(,y)):EQ\R(,y)=EQ\F(3,EQ\R(,z)):EQ\R(,z)，即x=EQ\F(1,6),y=EQ\F(1,3),z=EQ\F(1,2)时等号成立，故wmin=363．4向量与复数在复平面上，点，向量与复数建立了一一对应的关系。可见复数与向量有着密切的联系，将向量与复数结合起来，可方便地解决某些涉及到旋转的图形问题。例13在不等边ΔABC的外侧，分别以AB,AC为一边外作正三角形ABC’,ACB’,且以BC为一边作正三角形BCA’与A同侧，求证A’C’(k=cos60°+isin60°)而EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(C'A'))=EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(C'B))+EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(BA'))=kEQ\O(\s\up12(→),\S\do4(AB))+kEQ\O(\s\up12(→),\S\do4(BC))=kEQ\O(\s\up12(→),\S\do4(AC))于是，EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(C'A'))=EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(AB'))，即C’A’EQ\O(\s\up12(∥),\S\do4(＝))AB’。例14平面上有两个正三角形ABC,A1B1C1(顶点按顺时针方向排列，如图7-32)，边BC与B1C1有共同的中点O，求证AA1⊥BB1，且EQ\F(AA1,BB1)=EQ\R(,3)(第六届俄罗斯奥赛题)。证：EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(OB))=a、EQ\O(\s\up12(→),\S\do4(OB1))=b,则EQ\O(\s\up12(→),\