关注高考课标试卷典例评析创新试题

关注高考课标试卷典例评析创新试题

随着课标课程实施的不断深入，2009年有八省一市一区采用了课标数学高考试卷，这些高考课标试卷在一定程度上体现了课标课程的基本理念，体现了注重基础、强调能力和强化应用意识与创新意识的命题原则，体现了高考服务于课程改革的指导思想，因而出现了一些耳目一新和让人回味的创新试题，为2010年高考数学的复习指明了方向和提供了有力的帮助。本文结合《2009年普通高等学校招生全国统一考试福建省数学（理科）考试说明》（以下简称《考试说明》）的解读，对今年高考课标试卷中的一些典型的创新试题给予解析并加以评注，供复习参考。为行文篇幅所限，本文列举的部分解答题略去详细解答过程。一、新情境，强调能力立意《考试说明》指出：“以能力立意命题”是数学的学科特点和考试目标所决定的。高考对能力的考查，应以抽象概括能力、推理论证能力为重点，全面考查各种能力，强调综合性、应用性，切合考生实际。例1(2009年高考浙江卷·理10)例2(2009年高考福建卷·理16)从集合｛1,2,3,4,5｝的所有非空子集中，等可能地取出一个。(1)记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率。(2)记所取出的非空子集的元素个数为ξ求ξ的分布列和数学期望Eξ。解析（略）。评注本题给出记性质r的新定义问题，对学生阅读理解能力有一定的要求。理解新情境下的数学问题既是思维的起点也是解题的关键。因此看来学好高中数学也需阅读。阅读在语文中就要抓住精炼的或生动形象的词与句，而在数学中，则应抓住关键的词语，解题时应关注这一点。二、新背景，强化应用意识《考试说明》指出：应用意识的培养与考查是时代的需要，是教育改革的需要，同时也是数学科的特点所决定的。应用性问题主要是考查数学知识的实际应用。应用题的设计应贴近生活，联系实际，具有强烈的现实意义。例3（2009年高考广东卷·理7）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()A.36种B.12种C.18种D.48种解析分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法=12，共有选法36种，选A。评注本题是以2010年广州亚运会为背景的应用题，很有时代感强。本题中的小张或小赵是特殊元素，故在求解要注意分类讨论。例4（2009年高考福建卷·理18）如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx(A＞0,ω＞0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°。(Ⅰ)求A、ω的值和M、P两点间的距离。(Ⅱ)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？解析（略）。评注本题是与三角函数的图象与性质、解三角形和基本不等式的应用有关的应用题，考点之间结合自然，不落俗套，背景新颖，贴近学生非常熟悉的实际生活。该题设问方式不仅具有开放性而且答案呈现的方式可以有不同的形式：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：③点N在线段MP的垂直平分线上；等等。例5（2009年高考安徽卷·理17）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的。对于C，因为难以判定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是。同样也假设D受A、B和C感染的概率都是。在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量。写出X的分布列（不要求写出计算过程），并求X的均值（即数学期望）。解析（略）。评注本题以甲型H1N1流感为背景的统计问题，关注当今社会的焦点。通过设置密切贴近生活的新背景，考查概率思想的应用意识和创新意识，体现数学的科学价值。三、新设问，提倡开放探索《考试说明》指出：高考中可适当设置开放性、探索性试题。重视“探究”与“思考”问题，让新课程中“倡导积极主动、勇于探索的学习方式和注重提高学生的数学思维能力”等基本理念得到有效落实。例6（2009年高考江苏卷14）解析（略）。评注本题是属于存在型的探究性问题，它主要考查函数的单调性、导数的概念与应用等基础知识，同时也考查逻辑推理能力和创新意识。求解此题的关键在于：方程思想观点下等价性的灵活应用，同时要注意说明所解的数学问题中涉及的存在性和唯一性，它很好地体现了数学思维的严谨性。例8（2009年高考江苏卷18）(Ⅰ)若直线l过点A(4,0)，且被圆截得的弦长为，求直线l的方程。(Ⅱ)设P为平面上的点满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。解析（略）。评注本题在条件信息上精心设计，起点低，符合学生的认知规律，用解析几何的基本思想和方法就能够解决。它强调了数形结合和方程的数学思想在解题的运用，但巧妙回避了解析几何问题经常呈现的普遍方式，因此具有一定的创新价值。四、新构思，关注创新意识《考试说明》指出：高考作为选拔性考试，应该适当考查考生在未来的学习或工作中是否具有创新意识。考查创新意识的问题应立足于中学数学，以中学数学的基础知识为基本素材，考查学生创造性地应用知识分析问题、解决问题的能力。在设计考查创新意识的试题时，一方面，要积极探索，大胆实践；另一方面，应进一步研究试题的稳定性与创新性的关系，处理好试题创新与试题难度的关系。例9（2009年高考山东卷，理11）评注本题在题干信息的设计上可谓用心良苦，就是提醒考生要充分利用二次函数图象的对称性，但从考后反馈的情况来看大多考生没有很好的理解和领会，结果束手无策，只好随意乱猜个答案了事。求解此题的关键在于：通过换元，把方程的解的问题转化为二次函数图象与一条垂直y轴的直线的交点的横坐标的问题，利用二次函数图象的对称性就可容易得出所求方程的根之间的关系。它在考查二次函数图象的对称性同时也考查了做选择题的灵活性。例11（2009年高考福建卷·理15）五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和。②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次。已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为______。解析五位同学围成一圈依序循环报出的数依次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…（著名的斐波那契数列），若报出的数为3的倍数，则此数被3整除的余数必为0。这五位同学甲、乙、丙、丁、戊围成一圈，从甲开始依序循环报数报了二十次时所报出的数被3整除的余数分别为：同学：甲乙丙丁戊余数：11202210112022101120从以上可以看从甲开始，每隔三个人，紧接下去的第四个人报出的数必为3的倍数，因此循环报数报二十次时这五个人都各只有一次机会报出的数为3的倍数，故当五位同学依序循环报到第100个数时甲同学拍手的总次数为5次。评注本题中的“循环”二字是题目的“题眼”，暗示此问题与周期性有关。它在提醒考生理解题意的作用上与上述例10可谓异曲同工。它构思巧妙，无统一的解题模式。此题很好地体现了课标课程所倡导的基本理念之一——关注学习过程，改善学生的学习方式，对推动课标课程改革的进程和促进课标课程改革的良性发展起到了很好的示范作用。总之，创新试题既是课标课程高考数学的一道不可缺少的风景线，也是课标课程高考数学的一个显著的特征和一块重要的基石。由于这种题型的解题套路较少，对学生的数学思维和分析、解决问题能力的要求较高，因此在高