CFA考试：投资的数量方法投资工具

学时⒊投资分析的数量方法（QuantitativeMethodsforInvestmentAnalysis）——投资工具PAGEPAGE66第五章：正态概率分布Chapter⒌CommonProbabilityDistributions本章简介（Introduction）P226本章的内容，是四种概率分布及它们的应用，即：①theuniform；②thebinomial；③thenormal；④thelognormal。本章的其他数量工具：①Hypothesistesting；②regressionanalysis；③time-seriesanalysis。不连续的随机变量（DiscreteRandomVariables）P227§⒈定义和解释概率分布（ProbabilityDistributions）概率分布（ProbabilityDistributions），即将随机变量可能结果的概率予以特定。每个随机变量都有描述它的概率分布，概率分布的方式有两种：①概率函数（probabilityfunctions）。②累积分布函数（cumulativedistributionfunctions／distributionfunctions／cdf§⒉区别：连续的随机变量和不连续（discrete）的随机变量随机变量，是一个未来结果不确定的数。随即变量有两种类型：不连续的随机变量（discreterandomvariable）、连续的随机变量（continuousrandomvariable）。役变量的结果粘能予以历数浑（个数有限访）的随机变梦量，为不连周续的随机变笼量。诚§⒊蕉描述某特牺定变量可能殊结果的集合挑§⒋牵定义一个预概率函数（珍Proba伴bilit化yfun叹ction斑）并说明它滚的关键特征柳概率函数的础表示方法是牵：P（X垒＝x），昂它表示随机锄变量的值为刘x的概率。游不连续随机谦变量的概率姻函数，可以圆缩写为p（焰x）；连续厅随机变量的货概率函数用干f（x）表手示，称之为找概率密度函信数（Pro递babil宾ityd分ensit酒yfun拐ction恐s／den旋sity／腥pdf）。趟概率函数有够两个关键特灰征：牙⑴墙0吊≤销p（x）什≤敲1；岭⑵菠随机变量婚X所有值的证概率的总和岁等于1。宪§⒌型定义概率半密度函数（携Proba塔bilit胸yden瓦sity塘funct依ion辛）介§⒍西定义累积血分布函数（挠cumul脑ative笨dist铸ribut她ion顷funct衫ion代）并根据累通积分布函数净计算随机变风量的概率朋累积分布函橡数（cum秃ul摩ative部折distr蒜ibuti乏on激func旧tions箩／埋distr镜ibuti浙on用func订tions驳／cdf）占，表示随机临变量的结果粒位于某一范蚀围的概率。呈cdf函数敌的功能相当周于累积相对批频率。胸连续的或不例连续的随机提变量的结果瓣的累积概率候分布，可以禾记作F（X嘴）＝P（厉X副≤翅x），或F秧（X）＝舌P（x步1循≤税X旷≤台x须2犯），或F（隶X）＝P（芬X唱≥蜓x）。扰累积概率函浪数（cdf呈函数）的特屯征：犁⑴搬0宵≤有F（x）吵≤炒1；蔑⑵纯随着x的饲增加，cd递f函数或增脊加或保持不嗓变。伐不连续的单柱项分布乖（The锹Discr接eteU寄nifor自mDis泄tribu凝tion）陡P228茂§⒎智给定不连辽续的单项分某布（ad惠iscre到teun目iform姐dist候ribut踏ion），脊定义不连续遣的单一随机谊变量并计算早概率拣单项分布（焰Unifo袖rmDi跳strib隐ution复），即随机让变量所有可埋能结果的概注率都相等。汽单项分布的束应用：悬①俩它是为其侍它概率分布痕产生随机数揪以作为随机吗观察对象（旗rando辛mobs梨ervat讽ion）的蛾基础；戒②岩它可以用卫来描述结果甘概率相等的路随机变量。敢贝诺里分布轧（The爷binom项ialD替istri龄butio酱n）醉P230家§⒏庄给定贝诺会里概率分布左（bino乒mial观Proba抛bilit兵yDis漏tribu栽tions于），定义贝虎氏随机变量玩（Bern重oulli株Rand乘omva驾riabl恭e）并计算衣概率雅⒈敌贝诺里（好Binom预ial）分绘布的功能扑贝诺里（B雕inomi越al）分布膊的功能：描佳述有两项可命能结果的随相机变量的每润一项结果的些概率分布。恳其模型是：灶两项选择的透价格模型（副theb荣inomi沃alOp絮tion脏Prici奶ngMo挪del，B漏OPM），犁即价格的上翅升或价格的阁下降。旦⒉弯贝氏随机独变量（Be你rnoul虑liRa跌ndom章varia惧ble）尊贝诺里分布评的建构元素汇是贝氏随机丈变量（Be装rnoul顺liRa雁ndom穿varia剑ble）。趁假定某个能薄重复进行的仔试验有两个演可能的结果微，每次试验谨产生的结果侨必为其一，葵这样的试验颤称为贝诺里失试验（Be效rnoul潮litr糖ial）。物在结果为成奖功时，则Y涛＝1；在结买果为失败时膛，则Y＝0阀，则贝氏随祖机变量Y的专概率函数为推：侦p（1）＝裁p（Y＝松1）＝p档p（0）＝拳p（Y＝兼0）＝1袋－p口⒊娘贝诺里随翼机变量（b哈inomi虾alRa电ndom照varia明ble）盐对n个贝诺版里试验，有钉0杂—牌n个眨“穿成功笑”弟。如果单个岁贝诺里试验惠的结果是随泼机的，则n剑个贝诺里试珍验的结果为包“勺成功设”里的总数也是尾随机的。什定义贝诺里匹随机变量岩X捞为n个贝诺栗里试验中结咏果为成功的焰总数。用膏“定Y资i勺”偏表示第i个护贝诺里试验恼的结果为非“营1转”集或开“再0临”暮（劣i塑＝1，2雁，饲…奸，n），则逮：叠X＝Y锐1愿＋Y询2永＋块…嘉＋Y巴n签。役贝诺里随机套变量由参数帽p和n定义额。p即每次昏试验结果为佩“遵成功汗”碌的概率；n词贝诺里试验柄的次数。丙对贝诺里分桃布，可作有歇如下假设：加⑴洽对所有贝坟诺里试验，销结果为慨“舞成功效”蝶的概率是一称个常数；份⑵印贝诺里试吩验相互独立寸。搭因此，贝诺候里随机变量颠X枯可以完全用膛两个参数描克述，即X握～B（n甜，p）。贝佛氏随机变量现Y凑是n＝1组的贝诺里随条机变量的值否，即：Y烈～B（1出，p）。棒⒋年贝诺里随造机变量X惭～B（n僻，p）的概高率函数P（见X=x款）的表示公插式：p（x）＝P（X＝x）＝〔p（x）＝P（X＝x）＝〔nCx〕×px（1－p）n－x〔nCx〕＝n！／[x！（n－x）！]角①渡X是贝诺坦里随机变量泰，表示n个依贝诺里试验况中的阿“受成功纺”谎的总数；X绿＝x，是这豆n个贝诺里立试验中成功劈的总数等于瓣x。汗②碌p（x）点和P（X娘＝x），表脱示n个贝诺窝里试验中，革成功的总数焰等于x的概旗率。种③叼〔避n帜C议x横〕是在n个惰贝诺里试验轮中有x个成堪功的排列方标式的数目。县④械p，是单肉个贝诺里试框验的结果为酿成功的概率叉；（1－p槽），是单个尤贝诺里试验扯的结果为不绵成功的概率帮。写⑤降揪p尿x厌（1－辅p）款n－x疑，是每一个草排列都具有她的概率。棒⒌榨贝诺里随兰机变量概率迷函数的形状京当单个贝诺模里试验的结尽果为成功的驼概率p＝5昨0%时，贝法诺里分布式魔对称的。吵若p词≠家50%，则撇贝诺里随机肿变量概率函宽数的图像就扰具有偏向性刊。衡①员当p＜厉50%诞时，概率函环数的会向右告偏（rig熊ht-sk负ewed）规，即图像的他右部有较长鹅的尾巴；舒②俭当p＞帽50%假时，概率函独数的会向左放偏（lef蛮t-ske蚂wed）。苦对同一贝诺糖里随机变量钉有p洪1般、p衔2缘，如果p葱1蝴＋p吗2括＝1，则它透们的图像呈醉镜像对称。螺§⒐教贝诺里随前机变量（b器ernou膀lliR扶andom义vari值able）蔬的预期值和喂方差肆贝诺里随机拜变量（be挎rnoul御liRa妄ndom摄varia抢ble）的米预期值和方炒差玉Mean（冠weigh岩teda钉verag合e）蔽Varia幻nce教Binom懂ial，B上（1，p）登p史p（1－p庙）凭Binom逝ial，B裳（n，p）锤np槐np（1－银p）龙Binom归ial，B御（5，0.锅5）排2.5（即载5末×身p）睁1.25即努5彻×液p（1－p掉）僵Binom筑ial，B迷（5，0.泉1）挡0.5（即提5羊×艰p）龄0.45即在5跪×趣p（1－p倒）黄连续的随机测变量分布斥（店Conti咐nuous慧Rand钓omVa弄riabl诱es姨）屈P240翁§⒑妥给定连续衔的单项分布拘（aco馆ntinu盛ousu例nifor仍mdis伴tribu位tion）烤，定义连续岔的单项随机奥变量并计算微概率仆连续的单一灯分布（Co滩ntinu调ousU魄nifor粘mDis膝tribu什tion）呜⒈添连续的单针项随机变量散的概率密度贺函数（pd炕f）：1／（b－a）（a1／（b－a）（a≤x≤b）f（x）＝0其他值外颤⒉蹲连续的单锦项随机变量洽的累积概率肆函数（cd节f）：0（x0（x≤a）F（x）=（x－a）／（b－a）（a＜x＜b）1（x≥b）孟计皆算概率密度俯函数f（x糖）在定义域拌（a莫≤疗x渣≤饥b）上的面扛积（即累积暂概率值）的扒数学方法是葛，对函数f酸（x）从a配到b积分（捎integ模ral），桃即：PP（a≤x≤b）＝∫abf（x）dx帝可以用上述亿等式对（－睡∞犁，＋宗∞絮）范围内的很任意两个实脑数求积分。戏因为连续随企机变量的值吧是无限的，矩所以，连续岭随机变量的栋值等于任一扒定点的概率杆为0。这对们计算连续随算机变量的累仿积概率函数默（cdf）慧有重要意义枯：对任何连间续的随机变别量X，有P幼（a地≤惕x枕≤合b）＝P勿（a<栋x剃≤卵b）＝P够（a挡≤孙x<b编）＝P（忌a<x敞<b）。朴当a茶≤馒x督≤欠b时，f万（x）＝1头/（b－a悔）表示的是锻连续随机变蜜量在区间a搭≤霞x郊≤莫b的平均概雪率。貌正态分布估（The厌Norma毙lDis胀tribu逃tion）能P243坏§⒒碗解释正态典分布的关键中特征任①计描述正态召分布的两个劈参数：平均窜值跌μ咐（Mean纸）和方差（肾σ划2肾）或标准差绩σ点。正态分布缎可以表示为沟：X～库N（棍μ贩，瞧σ权2倘）。量②拥正态分布姨的下述参数丝值：偏向性气（skew袄ness）搂＝0；峰度缩（kurt见osis）涨＝3，剩余汇峰度（ex蓝cess棋kurto漏sis）＝朝0。秆正态随机变缴量的平均值号（mean桂）、中值（援media抖n）、众数粗（mode陵）都相等。税③旷两个正态击随机变量的失线性叠加（咸linea搂rcom灶binat少ion），制还是正态分抵布。桶§⒓殿区别：单呜变量（un躬ivari描ance）胆分布和多变约量分布（m讲ultiv寒arian匀ce）供单变量分布古（univ选ariat柱edis赶tribu喊tion）归，描述单个哑的随机变量卖；多变量分渗布（mul包tivar扬iate珠distr糟ibuti蛙on），描王述的是一组玩随机变量的抄概率。仍当我们有一餐组资产时，构我们可以将誉每一项资产拔的收益分布辫分别模型化杯，也可以将进这些资产作识为一组（a更sag态roup）亿来将它们的舌收益分布模沃型化。作为庆一组，即考苗虑收益系列吗之间的统计突关系，其中杏经常使用的背模型就是多唉变量的正态哪分布（mu俊ltiva鸡riate最norm虽aldi掠strib咳ution皂）。东n种证券的渡收益的多变团量正态分布革，可以用三宗个参数予以狭定义：滨①尘单个证券访收益的平均驰值（mea雷n）的清单悟；箱②须证券收益诉方差的清单犁；疤③盗收益的所夕有互不相同录的相关系数螺（corr吧elati造ons）的己清单，共n深（n-1）健/2个。得与单变量正缴态分布相比政较，相关系剃数（cor燕relat腿ions）份是多变量的副正态分布的因区别特征之户一。屠§⒔奋解释相关漠系数在多变膏量正态分布折中的作用导§⒕患定义标准奶正态分布（寺stand验ards邮norma紫ldis漏tribu逢tion）看并解释如何诞使随机变量饭标准化损⒈武正态分布卵的概率密度裹函数（pd争f）的表达散式（－督∞词＜x巡＜＋洗∞丙）：f（x）＝exp[－（x－f（x）＝exp[－（x－μ）2／2σ2]／（σ√2π）耀当求μ吓＝0，践σ社＝1时，卵该正态分布浙称之为标准熔（stan凝dard）示正态分布或趋单位（un渐it）正态脂分布。承对于正态分葬布，标准差缠（柳σ期）越大，其妄相对于平均欠值的分布就壶越分散。利省用标准差，鹅我们能够对灿任何正态分慈布的结果的饼分散性作出稻概率报告：脱①朵大约有5躲0%的观察禁对象，在区隔间稼μ响学±船（2／3）伟σ转的范围内；扶②灵大约有6僚8%的观察净对象，在区怜间割μ竖清±σ含的范围内；纳③慰大约有9按5%的观察养对象，在区望间黑μ扣腹±错2味σ杰的范围内；外④回大约有9卵9%的观察朗对象，在区受间捐μ母际±狠3羽σ伟的范围内。柔⒉欲随机变量爱的标准化球标准正态随良机变量用Z渣～N（冻0，鹰1叹）表示。将盏随机变量特X～N浇（迫μ堤，坛σ让2猜）标准化的室公式：Z＝（X－Z＝（X－μ）／σ办随机变量X扎＝x伴0弓对应的标窗准正态随机假变量Z＝全z苏0扑＝（x捏0榆－磁μ怪）/拆σ志。魄其意义是：矩对X～赛N（促μ冒，螺σ想2蛇），随机变教量的值小于善或等于x匀0霜的概率，正仗好等于标准断正态分布Z遍～N（驳0，孤1高）中随机变诱量的值小于董或等于z逐0捧的概率〔z纽0脑＝（x轧0晋－茄μ竹）／猜σ连〕。勉即：对X杠～N（宿μ脾，菌σ壶2写）有P（X妻≤灾x乡0贺）；对Z杜～N（0器，床1箩）有N（Z包≤锡z鹊0销）。当z驶0云＝（x叼0幸－盗μ亿）／逐σ啊时，则P（甜X俗≤考x佛0絮）＝N（Z胆≤格z含0岸）。柱§⒖斧呈正态分的布的随机变盯量的信置区您间（con从fiden耽cein朽terva躺ls）造⒈田正态随机营变量X的确币切信置区间僵（conf葛idenc斧eint蔬erval街s）：江①滩P（x厅ˉ钳－1.64年5s羡≤呆X宏≤饮x乘ˉ翼＋1.64帮5s）＝痛90%；贫x哀ˉ疲（也记作钳μˆ怖）为样本平奖均值；s（慈也记作屋ỡ蓬）为样本的任标准差。等x芹ˉ阿和s是店测双算（poi热ntes甩timat戴es）。禾②腾P（x喉ˉ沃－1.96搏s虎≤疯X晶≤算x找ˉ铃＋1.96愁s）＝9示5%；懂③荐P（x龟ˉ殃－2.58盖s溜≤妈X沃≤毅x皱ˉ盈＋2.58昆s）＝9插9%；尖§⒗穿使用标准博正态分布（纽stand贿ards掏norma楼ldis甩tribu乎tion）催计算概率蝴⒈琴标准正态枪随机变量累衬积分布函数拦表N（x）峡的使用。比责如查找P（虎Z凉≤辜0.24）稻的值（即变宫量Z的值小朝于或等于0搜.24的概肝率），其步久骤：在表的察第一纵栏找草到0.20崖，在表的第心一横栏找到尿0.04，引两者对应的器值即为要找启的概率。院【例】礼①收P（Z衣≤伯1.28迷2）＝9沈0%，它安表示有10当%的值在图穗像的右边尾静部，并且，害P（x住ˉ拒－1.28芬2s拐≤耽X导≤恩x臂ˉ私＋1.2陕82s）＝璃80%。带②萄P（Z傲≤杰1.645歪）＝95故%，它表示狼有5%的忽值在图像的主右尾部，或抚有10%蝴的值在90彩%的信心区抓间之外（即判左右两边尾嚷部各有5钉%的值在9爪0%的信心由区间之外）夺。肌⒉购了解下列痒关系，有助扣于我们使用副累积分布函抬数N（x）险表：叠①吉当x暖≥幅0时，x右绩边的分布概株率P（Z北≥触x）＝1.午0－N启（x）；妙②钥对负数－勺x，有：N内（－x）=恶1.0－嫩N（x）绑。项因为：x右声边的分布概怒率和面积，渗等于－x左卸边的分布概挣率和面积，兴即：P（Z痛≥族x）＝N急（－x）或致P（Z锋≤某－x）。枣正态分布的颂应用锤（Appl渴icati产onof翼the蛮Norma愈lDis纸tribu篇tion）朝§⒘娇直平均值婶—辱方差分析法插

箩平均值陷—备方差分析法遍（mean突-vari怪ance尼analy歇sis）掉平均值烛—足方差分析法丸，将整体的用收益分布概狸括为平均值睁和方均差，扶进而对投资柔决策进行评悦价。粪①今将新资产谜加入到投资六组合中，为邮了实现获利趣须满足：[E（R[E（Rnew）－Rf]／σnew＞Corr（Rnew，Rp）×[E（Rp）－Rf]／σp受即：新资产亡的茄“欣夏普比捉”注，要大于投角资组合p的炉“谎夏普比上”残与新资产和舒投资组合P承的相关系数浮的乘积。臣②薪马克维茨终决策规则（杀Marko刑witz肢decis沉ionr分ule）。补对于资产A漫和B，投资朱者选择A而殿不选择B，斑其决策依据树是：填⑴潮A的平均池收益等于或甜大于B的平乖均收益，而昌A的收益的舒标准差更小洞；牺⑵涝A的平均永收益大于B码的平均收益取，而A与B洞收益的标准吩差相等。高§⒙役定义亏空李风险（sh捧ortfa袋llri孔sk）旦亏空风险（孙short迟fall熟risk）井，即在某段惯时间投资组跟合的价值会请下降到能够谋接受的最低阅水平以下。请如：某个已灰经界定收益沉计划的资产名的价值下降美到计划的债蓬务之下，即秘为亏空风险索（shor竭tfall楚risk涨）。永§⒚浙计算安全筝首位比率（讲safet游y-fir瓦stra疗tio）并伴利用罗伊的国安全首位标管准选择最佳毒投资组合视安全首位规迎则（Saf闸ety-f伶irst主Rules势），作为评耗估价值下滑暑风险（do请wnsid摆eris祸k）的方法插，关注的是像亏空风险（剧short题fall已risk）屡。沙假定R活L挖是投资者抚能接受的最别低收益水平赖。按照Ro驰y的安全首患位标准：最望优化的投资蜓组合，就是姥能够使该组骨合的收益R冒p擦下降到临界勒水平R装L枝以下的概率势最小化的投耻资组合，即歉：P均﹝架R世p辣<R移L桶﹞纯为最小值。钞当投资组合待收益是正态指分布的，我挑们使用标准找方差能计算班出P宰﹝歪R诵p愧<R代L稍﹞器。投资组合区的期望收益该为E（R挤p纲），则单位章标准差的〔庸E（R咸p欺）－R冰L熔〕最大时，式投资组合的矮P房﹝婶R罩p土<R乱L恩﹞歇最小。锄〔E（R娇p竖）－R默L状〕是平均收扎益（mea的nret昼urn）到味亏空标准的主距离。犹用扑SFRat标io表示者安全首位比抵率（saf茄ety-f欧irst肝ratio洲），则：寻SFRat折io=宫[E（R略p堪）-R棉L胃]/绕σ视悲p探应用Roy纠标准，对投掩资组合进行案选择的步骤去：盟①还计算投资辜组合的SF笋Ratio栽。绝②暑根据计算邀所得的SF去Ratio甜值评估标准效正态累积分腥布函数（c渠df）。收夏益值小于R肤L玻的概率就是肌N（－SF没Ratio鹿），即：P唱（R堂p箭<R膛L地）＝N（－螺SFRat炊io）=1周－N（SF军Ratio歼）。萝③终选择上一娘步中概率最持小的投资组红合。为SFRat凶io与恋“禾夏普比率脖”态的差别在于侍R渡L痛和R废f位（无风险收射益）。安全售首位规则为贝“既夏普比率咸”啊提供了一个湖新的角度：宁在使用夏普浓比例评价投界资组合时，氏假定投资组超合收益是正蓝态分布的，相则夏普比率就高的投资组掩合，是使投栽资组合收益扒小于无风险样收益的概率叨最小的投资惑组合。催§⒛墨对数正态顶分布（lo桑gnorm大aldi即strib涝ution峡）和正态分创布的关系支⒈式对数正态秤分布的概述末对随机变量废Y，如果它拳的自然对数皮㏑Y为正态铅分布，则Y肝为对数正态沾分布；反之能亦然。对对且数正态分布仪，有两点值急得注意：婶①勒它的下界阁由0界定；声②刮它偏向右饥边（即它的析右边由一个阵长的尾巴）村。木假定Y是对街数正态分布抽的，则对数剥正态分布的穷两个参数是渠：㏑Y的平武均值和方差侍（或标准差当）。这样就凡有两套平均温值和标准差业（或方差）芹：正态分布棉的平均值和晓标准差（或洗方差）；对胡数正态分布勾自身的平均努值和标准差瓣（或方差）假。造⒉朽求对数正该态分布自身搅的平均值和注标准差（或腐方差）火假定正态随泰机变量X有捞预期值催μ猾和方均差展σ歇2坑。定义：Y厅＝exp（棕X）＝e庭x妙，Y是取对意数的逆运算吴，即㏑Y＝厨X。X是正射态随机变量地，而Y是对拾数正态变量围。则：旺①赚Y的预期幸值是exp留（活μ根＋0.5殖σ奸2费），即E（棒Y）＝e袍xp（群μ拜＋0.5指σ拔2彼）。革其原因：对役数正态分布镇扩展了，它喊能向上扩展巧但是不能向吩下扩展超过堤零，因此，分分布的中心枯向右边移动闪，即增加了卧平均值。踪②抗对数正态影分布自身的喘平均值（穷μ悼L制）和方均差戒（遍σ今L戏2因）的计算公拼式：橡μ数L店＝exp吼（遮μ亮＋0.5检σ菠2万）籍σ单L林2折＝exp疲（2洪μ烧＋吼σ权2沙）迹×奶[exp（棚σ炭2抹）－1]挨§返21．区别拉：收益的连淘续复利和不淋连续复利键⒈肺股票收益娃分布和股票脑价格的关系拔如果股票的机连续复利收鼻益率（co池ntinu斯ously票comp宋ounde屑dret粘urn）是框正态分布的承，则将来的网股票价格必仆定是对数正候态分布的。叶同样重要地菜，即使股票猪的连续复利低收益不是正悠态分布的，港因为中心限便制理论（c姻entra睡llim距itth感eorem屋）的作用，娇股票的价格轧也可用对数仆正态分布来俗描述。鲁⒉棉连续复利堂收益率与持捡有期回报率坛（hold胃ing秩perio誉d处retu替rn）的关拐系衬假定股票价停格的一系列湿观察对象S占0答，S晌1刮，S丧2反，督…抄，S对T固，是等间距倡的。现在的扒股票价格S色0丽是一个确定添的数（不是葵随机变量）验，而股票的联未来价格却勤是一个随机棚变量。价格季比（S绪t尾+1箭／S闹t辱），等于1墨加上持有期汗回报率，即桨：S已t+1哗／S这t捎＝1＋R割t+1，案t提。哈连续复利收挎益率，是与末持有期回报恒率（R掀t+1，骨t咏）相伴随的比一个重要概吹念。连续复蔽利收益用r规t+1，诞t溪表示，则根老据EAR宾＝e待r朗s限五－1可得（仅EAR写鼻／偿effec限tive讨鼓annua唤l死rate岭即R馆t+1，呼t骡），在期间灾t到t+1肌内，两者的灾关系是：rrt+1，t＝㏑（St+1／St）＝㏑（1＋Rt+1，t）位在期间0到屠T内（T-响horiz睁on），连指续复利收益遣率与持有期蛙回报率HP钥R的关系是盆：rr0,T＝㏑（ST／S0）＝rT，T－1＋rT－1，T－2＋…＋r0,1浙因此，S殖T怠＝S你0治exp（招r括0,T议）。苗⒊咽独立的同拼一分布（I爹ID，in歇depen龟dentl创yand弹iden赤tical众ly）昼独立的同一花分布含义。贺①鸭独立，指指投资者不能床根据过去的帖收益预测未振来的收益；爷②矛同一就是葬假定静止。旬假定单个期秘间的连续复两利收益率r纺T，T掀–登1乖，是平均值切为票μ黑、方差为插σ慨2哥的IID随歇机变量，则纷在0到T期病间内连续复制利收益率r交0,T蜓的期望值为孝：E（rE（r0,T）＝E（rT，T–1）＋E（rT–1，T-2）＋…＋E（r0,1）＝μTσσ2（r0,T）＝σ2T部比蓄较S密T统＝S恋0铺exp（挨r房0,T橡）和Y＝主exp（绝X），我们亏可以将未来案股票价格S潮仓T申的模型作为举对数正态随斥机变量。因离为，r啦0,T使至少应该是膝近似的正态练随机变量。饼§她22．给定死持有期回报诞率HPR，嘴计算收益的绝连续复利我§动23．解释为蒙特卡洛模翠拟和历史模凯拟，并说明在它们的应用毙和局限性脱⒈冒蒙特卡洛姓模拟的简介麻蒙特卡洛模程拟的要旨，拆在爬梯之前捎要做的最后询一件事，就匀是摇动梯子恩。就像摇动胞梯子让我们讨接近爬梯的组风险一样，衬蒙特卡洛模膏拟让我们在夺实施一项政帽策前，对其礼进行试验。睛其目的，就恨是发现对复掌杂的金融问援题的近似解袄决方法。桶作为蒙特卡懒洛模拟整体胞的一部分，队就是通过各灵种各样的假游定，从概率荣分布中产生顽大量的随机丧样本，以模踢拟各种可能坟的风险。兽蒙特卡洛模倾拟的应用：瘦①退在实施一衰项政策或投腿资决策前，维对其进行试般验；缸②只评估处于风棍险中的价值巡（Valu闷eat创Risk）南；裁③拐对复杂的稼证券估价；辉④丘研究院用占以测试他们汇的模型和投糠资工具。卫⒉虾蒙特卡洛窝模拟的步骤秋。秋①弃根据基础而变量，明确崭规定感兴趣筋的问题的数卫量（Spe欲cify溪theq之uanti楚ties资ofin节teres嘱tin亮terms逮ofu逝nderl狂ying然varia托ble）。渐②遣明确规定窝时间坐标（盐Speci交fya低time采grid）译。壮③狼对产生前困在变量的风访险因素，明骨确规定其分竞布假说（S双pecif秃ydis浪tribu姐tiona粉lass竟umpti杨onsf康orth咐eris俗kfac赶tors罗that供drive斑the驼under盟lying兆vari津ables抚）。膝④哈使用计算架机程序或空惧白表格（s漂pread绝sheet昌）函数，产费生每一个风呜险因素的随柿机值。伸⑤蚀使用上一细步产生的随土机观察对象赵，计算基础得变量。槽⑥脆计算感兴淹趣的问题的毯数量。贝⑦叨返回到第芽4步重新操终作，直到试辱验的详尽数胆据完成。辽⒊骤蒙特卡洛咬模拟，是分害析方法的补蠢充。它只提羊供统计数据司，而不能提命供精确的结夺果，而分析票方法提供了津更深刻的因忧果关系。栽⒋序历史模拟茧（hist减oric极simul英ation隔，orb捉acks汉imula粘tion）溜，从历史纪鼓录中取样来侧模拟一个过截程。介第六章：取孩样和评估午Chapt避er短⒍羞Samp塞ling乳andE轰stima怀tion相本章简介（稿In恐trodu金ction引）崖本章的主题夹：是如何取结样？以及如筛何利用样本摇信息估算群足体参数？取锄样的核心是户中心限制理培论和估算（留centr含al周祸limit命序theor板em塞殿and庸衬estim昆ation榆）。背取样（四Sampl务ing驴）袜§⒈货敏定义样本随环机取样蜂（览simpl周e租总rando典m裙牌sampl备ing半）杜样本管（执simpl么e衰）蹲随机取样逐，即群体中缠的所有元素替入选的概率抄都相等。停两种随机取帽样的方法侧：奇简单的随机吸取样蚂（剃simpl适e刘贡rando助m涌禁sampl府ing恼）耍和分层次的撒随机取样喝（型strat烘ified拣仅rando网m坦券sampl琴ing类）筐。感两类数据：漏横截数据（甘cross耀-渡secti抹onal本坛date）款和时间系列渣数据（ti牙me格-残serie燃s枯茫date）穴。粒§⒉情缝定义并解释喜取样误差磨（有sampl孙ing秆层error肚）肯取样误差，撒即统计观察认到的值和统笑计要估算的分量之间的差弃。危§⒊挤匆定义取样分艳布胜（锡sampl蚂ing循壁distr导ibuti拒on抵）耳一个统计的丢取样分布（帆sam惑pling惕强distr偿ibuti右on控），映是我们从同醒一群体中随养机抽取规模驻相同的样本灭、并对样本龙进行统计计闷算室，歪而得出的所段有相互区别奔的可能值的滤分布。水§⒋皱区别：简想单的随机取诞样和分层的紫随机取样（介strat蝶ified盟rand棉omsa狠mplin糊g）增简单的随机敬取样隐（贝simpl绳e梁社rando得m步蛛sampl酷ing龄），缴即样本的获英得是任意的食，艇群体中的每园一个元素炎，乞都有同等的监机会被选中洞。冠分层次的随银机取样（s勿trati秃fied朵rando傍msam应pling疑），即根据晃一个或多个武分类标准，未将群体进一付步分为亚群熊体（sub熔popu触latio捏n／s浸trat间a）。然后还按每一层（桥亚群体）的逗相对规模，铜按比例地抽渣取简单的随遮机样本，并凶将这些样本究集中起来。陡§⒌步时间系列付（time携-seri汇es）数据贪和横向（c车ross-译secti宾onal）肉数据挖堆弄时间系列数落据，是时间阻间隔相等地缠、不连续地垄收集到的一走系列数据。雪横截数据，瓜是在某一时蝇间点上的个村体、团体、洗地区或公司埋的特征的数北据。杀样本平均值动的分布矮（Dist辈ribut寺iono过fthe俭samp善leme春an）堂§⒍嫂说明中心午极限定律（背centr犹alli财mitt蜜heore赚m）并说明帮它的重要性挖假定任一概年率分布描述蠢的群体有平景均值购荒µ寻绪和限定的方扛差稻σ昆2饮，鞋当我们从群株体中抽取规笋模为n的样胡本以计算样侄本平均值x连ˉ链时睁，化如果n足够盼大悉（易n副扒≥淋30），赢则可得恰：乖①眯梢样本平均值谅x业ˉ查的取样分布睛是近似的正嗓态分布凳；躲②掉该取样分农布的样本平势均值x谊ˉ拦＝临µ幻，方差膜σ责2交x悼ˉ烛＝泄σ师2西／n。俱中心极限理葛论童：洁①康毒能估计群体列的平均值尸；及②尝姨样本统计的批标准差早，荷就是统计的罩标准误差嗽（惑Stand识ard椒端Error馋鸟of艺埋Stati典stic溜）；常③宋量能够建构信敬心区间和测桂试假定。被§⒎怕计算和解溪释样本平均腹值的标准差竿（stan载dards宇er控ror）停样本平均值疼的标准差跨s穗屈x絮ˉ潜（牢Stand屠ard窄岩Error嫂售of线蔽Stati慕stic残）井的定义。煎样本统计的喘标准差批（液Stand划ard骂困devia混tion阔）行，彻就是统计的先标准差朝（超Stand民ard茅点Error仓）渐。因此，样辈本平均值炉x掀ˉ趁的标准差虫（金Stand旺ard递舰Error滑）棍的计算公式杆有二：垃σ受x雁ˉ颜＝遮σ准／走√企n依；代或踩s末x券ˉ作＝s／寺√巩n贪豆。nns2＝[∑（xi－xˉ）2]／（n－1）i＝1气群体平均值页的点估算和道区间估算贿Point佣and拖Inter激valE奸stima蹄teso废fthe丝Popu泄latio皂nMea秘n冒§⒏骗鉴别和描急述估算公式巡的必要特性滚（the搁desir诚able磨prope木rties泉）槐估算公式（士Estim悠ators动／esti臭matio捷nfor律mulas介）和估算值宰（什estim巴ate士）。估算值呼是我们使用寺估算公式对挖样本观察对设象进行计算尝所得出的特胶定值。己估算值和估退算公式的区暴别：从群体造中抽取不同梨的样本进行耕重复的抽样发统计时，估喜算公式会产默生不同的结碑果（即估算姐值）。蝇①阳公正性（秘unbia亩sedne屑ss）。一拒个公正的估掌算公式，就鞠是它的预期珠值（即取样弟分布的平均拢值）正好等式于它要评估响的参数。廊②脏有效性（畅effic献iency俭）。如果某擦个公正的估叫算公式是有奔效的，则除滤了该公式外斗，再没有另词外一个公正畅的估算公式奇，就同样的嚷参数得出具络有更小方差晓的取样分布冷。返③符一致性（士consi奖stenc拜y）。如果文估算公式具冤有一致性，筒则随着取样格规模的增大茂，准确的估叙算值（接近招群体参数值病的估算值）台的概率也会孝增加。即随象着取样规模客无限扩大，绒估算值的取仍样分布越来荣越集中于我泄们要估算的狮参数的值。株这三个特征箭，也是选择吧估算公式的紧三个标准。渴§⒐计区别群体得参数的点估罩算（ap渐oint戒estim超ate）和滴信置区间估桐算（ac玻onfid圾ence打inter改vale材stima欺te）树对平均值或提其他参数的旨关注稳，圆集中于两个傍问题饱：蝇①腥蚀假定测试。丹它针对的问酷题是便“博参数值是等镜于某个特定电值吗？观”②短估算（e呆stima飞tion）脆。它针对的窗问题是侍“挖参数的值是现什么？犹”颈估算包括：捕点估算（a昼Poin薄tEst偷imate苍s）和信置葱区间估算。泼

这点估算（置aPoi毛ntEs漂timat合es）柴按照样本平窑均值计算而倡得的群体参蹈数的单个估稿算值，称之已为平均值的尸点估算。啊

条狐群体平均值课的信心区间嫩（壮Confi翁dence申驰Inter庄vals楚杰for沟深the跌宪Popul郑ation差弊Mean踢）鲜巡⒈申树信置区间的命定义如信置区间陷，即我们能禁够以东给定的概率曾1－危α开（货信置乳度级）肯定该区启间包括了它哄要测算的参潜数。启这个区间称绳为该参数的驶（豪1－洲α窑）稼﹪展蝇信置区间。漠信置区间对山参数给出概厘率解释或实烘践解释。睁①宴按照概率厦解释，例如挑群体平均值淡95%的信裹置区间表示幅，在重复取染样中，在长逼远上，有9芒5%的这样候信置区间将是包括群体平拔均值。寒②段按实践解抄释，我们有屿95%的信欧心肯定单个毙该区间（9灾5%的信置平区间）即能寒够包括群体棍平均值。助⒉球信置区间考的建构（C傻onstr船uctio秀nof奋Confi与dence胸Inte远rvals框）滑参数碗的（上1－捞α挪）%速信置区间的曾结构：点估妹算值夸±巩信赖因素性严×孕标准误差吓（Poin历test病imate豆串±斑Reli痕abili衡tyfa恋ctor盼×旦Stan租dard另error析）。惜点估算值（怖Point吼esti蹈mate）斑，即一个样驳本统计的值太；信赖因素劳（Reli蒸abili晃tyfa捏ctor）垄，是以点估烟算值的假定里分布和信置猎度剧（节1－守α跃）湿为根据的一宵个数据；标较准误差（S绒tanda蒜rder扇ror），步是提供点估煤算值的样本抄统计的标准餐误差。竖§⒑棋描述t-捏分布的特川征碌（疮Stude下nt蛛’贼st-石dist反ribut疼ion）渠⒈器t分布（余t-Di奏strib坊ution遗），是由单奔一参数即自市由度df（屠degre打esof旗free啦dom）定底义的一个对标称的概率分眉布。理⒉胃t分布与索正态分布的汤比较。苹假定我们从伯一个正态分馋布中取样，枕则比率z＝疲（x脾ˉ窜－沫µ纹）／段σ裳／粪√罢n，是一个狼标准的正态斯分布（平均纳值为0，标臣准差为1）辈；比率t欺＝（x凉ˉ迫－坛µ课）／龟s株／桨√雁n，则是t开分布（平均隔值为0，自团由度为n－贼1）。缴这个用t表盈示的比率，慰不是正态分袜布，因为它灰是两个随机羞变量（拼样本的平均休值和标准差遵）的比，而腹标准正态分丘布的定义只量有一个随机齿变量x丙ˉ缺。然而，随绍着自由度的悬增加，t－势分布接近于色标准正态分酱布（分布越洞尖锐、尾巴这越瘦）。句§⒒锡泪计算和解释挣自由度旷（爆degre熟es闭赵of渡司freed婚om烤）沾自由度的概耳念。对P4蚁0计算样本测标准差s的天公式，分母事上的项（n峰－1）就是锈使用该等式笔估算群体标矮准差的自由议度数字。到使用讨“北自由度畜”吼术语其原因伴为：在随机拜样本中，我打们假定观察而对象的选取毁是互不依赖译的。假定计期算有n个互牢不依赖的观任察对象的样欢本的平均值蹲，则只有（的n－1）个掉观察对象是型可以独立地录选择的。脂（n－1）以也常常被作苦为根据t分匹布（t－D耗istri勿butio鉴n）确定信勺赖因素的自掉由度。配§⒓信大对群体方差性已知或未知睁的正态分布皱，兆计算和解释巷群体平均值活的信置区间蛙

它方差已知孕的呈正态分灿布的群体的币平均值的信干置区间策从方差为饿σ盏2泽的正态群体悉分布中取样葬，则群体平例均值柄μ彼的付（刺1－拢α屋）%惭信置区间为扭：xxˉ±zα/2×σ／√n帖标准正态分侵布Z（0，敏1）信置区登间的信赖因旱素（Rel请iabil包ityF暖actor膛s）节α旬信置区间呜z制件α身/2汽α健=0.1消90%的信把置区间重Z蚂0.0外5衣=1.6代45伯α杠=0.0金5征95%的信匙置区间秧Z训0.0怠25意=1.9早6趣α戚=0.0趣1兴99%的信详置区间颤Z变0.0翠05欢=2.57跨5盏随着信置度末的增加，信示置区间越来东越宽，对我斗们要估算的寇数据能给出但的信息就越卡不精确。咽

傲方差未知蛮的群体的平丙均值的信置福区间的求解塘⒈喊方法一：蹲z替换法（舌thez恨－Alte您rnati么ve）盯从方差未知汤的任何分布邮的群体中取盆样，当取样飘规模较大时碍，则群体平茫均值米μ众的水（散1－碌α型）%亏信心区间为糖：xxˉ±zα/2×S／√n银⒉纱方法二：所t分布法（垃t－Dis杰tribu号tion）意如果从一个升方差未知的疗群体中取样筹，并且满足释下列两个条平件中的任一采条件的，即料：裳①鼓样本较大叹；圾②金样本较小献但是群体呈炭正态分布或籍近似的正态锋分布。则群段体平均值的胜信心区间可乓以表示为：xxˉ±tα/2×S／√n栽计算信赖因押素（Rel寺iabil升ityF发actor错s）的根据剂取样的群体施样本规模较视小的统计尸样本规模较彼大的统计诚方差已知的掠正态分布冻z照z椅方差未知的盘正态分布苗t眯t（或z）予方差已知的条非正态分布旨Nota掏vaila朋ble谜z色方差未知的领非正态分布诵Nota乔vaila债ble肃t（或z）重§⒔禽从任何类劣型的分布中钥抽取大量的透样本，在群尊体方差未知戏时，计算和症解释群体平煮均值的信置良区间纳§⒕险对选择适葡当样本规模以的问题进行翠讨论事§⒖从故讨论数据挖伯掘偏见全（链date晕-索minin外g葱抬bias铸）盾数据窥探偏终见来（私Date蝇-混snoop仗ing讲），线即以刺探他钩人经验性结侨果来引导自点己的分析而币得出推论所温产生的偏见怪。核防止办法：钢检验新数据鬼，以防止过猾分依靠过去错的研究，来晋解释发现和给得出结论。语数据挖掘偏胳见（Dat金e根-里minin外g舌幕bias）施，指重复的河钻研同一数办据，直至有抛所发现。数岩据挖掘偏见斩的四点迹象捆：对数据挖匪掘太多而又木缺乏信心（朝Toom纵uchd布iggin条g／Too棚litt惜leco的nfide罢nce）；缸没有过去也遵没有将来（麻Nost天ory／伯Nofu厨ture）卡。秀防止的办法随是在样本数普据之外测试摆交易规则。牧§⒗贱讨论样本堂选取偏见、厚现存关系偏敢见、超前偏肾见、时间期进间偏见。耻⒈自盖样本选择偏所见（Sam子ples制elect扬ionb朱ias），吼即因为数据纽可获得性的怒原因，而将棋某项资产排讽除在分析之固外，由此产毅生的问题为哄样本选择偏各见。康⒉家现存关系毁偏见（su集rvivo走rship傍bias阁）。如果测姥试设计没有旷考虑到已经询关闭、被兼步并或因其他式原因离开了壤数据库的公女司的账户，旷则属于现存输关系偏见。厚⒊猜超前偏见忽（look欣-ahea扔dbia牙s）。如果厚一项测试设障计在测试数喇据上使用了酱不能获得的氏信息，则会材产生超前偏萍见。奏⒋外时间期间望偏见（ti估me-pe效riod皮bias）误。如果作为杏测试设计根订据的时间期使间，使结果背在时间相—顾期间上特定亦化，属于时宇间期间偏见临。要注意对跟取样期间长断度的选择。残第七章：假妥定测试椅Chapt艘er森⒎狂萝Hypot因hesis抱Test留ing菜假定测试骗（Hypo兽thesi貌sTes螺ting）轮§⒈兼定义假定策并描述假定椅测试的步骤余假定，即对掉群体的说明垄。假定测试牌的步骤（S冰teps拖inth余eHyp买othes牢isTe效sting支）：曾①位提出假定执（stat骡ingt燕hehy证pothe约sis）；左②昏确定测试秤统计和它的就概率分布（英Ident搞ifyin贪gthe武test挑stat哗istic娘and胶itsp府robab遭ility落dist猪ribut房ion）；副③包有效度的箩特定化（S暗pecif薄ying下thes钓ignif住icanc邀elev喇el）；底④醋声明决定始规则（St脖ating跑the嘱decis营ionr耻ule）；群⑤殊收集数据城和进行计算叔（Coll怎ectin终gthe榆date路and惑calcu炸latin窄gthe助test记stat载istic酸）；辟⑥隆做出统计怖结论（ma耍kest于atist团ical吊decis漠ion）；线⑦舍做出经济姑或投资结论悟（make哀the钞econo雁mici匆nvest瘦ment识decis覆ion）。惕上述第春③赵、必④芝步是假定测获试的传统方廊法，可以用责p－值（p娃－valu躺e）方法来循替代这些步械骤。丝§⒉读定义和解任释零假定（擦null钞hypot姓hesis获）和替代假酒定（alt办ernat裂iveh藏ypoth每esis）祝假定的类型贺有两种：砌①烟零假定（弟then签ullh希ypoth港eses）较，用H熄0兄表示；溪②勺替代假定燕（the玉alter欺nativ轰ehyp鱼othes嚷es），用织H猪a撤表示。根零假定：除贿非用以进行屡假定测试的乔样本有证据测表明零假定挖是错误的，韵否则该假定霸就被认为是业正确。如果碍有证据表明妹零假定是错霸误的，则将奶导致替代假难定。维替代假定，望即零假定不桐成立时的假张定。惭§⒊认单边（o扫ne-ta眼iled）兄假定测试和男双边（tw葵o-tai例led）假祥定测试牧⒈耗假定公式东。假定某一刊群体有参数戚为咱θ德，魔θ拐0六为该参数郑的一个值，绞对于两者的她关系可以通狠过下列三种爽方式形成零哭假定和替代伤假定：慨①其智H际0初：太θ始＝越θ羊0景对像H说a张：熟θ≠θ旷0糟（不等仪于替代假定膀）联②袋授H眼0纱：慰θ≤θ冷0期对校H懒a活：纪θ冶＞影θ井0惜（大于究替代假定）报③秆陪H宴0匙：穷θ≥θ舱0高对爬H炉a舰：刚θ尾＜孙θ待0去（小于瓦替代假定）粗⒉岔公式姿①纵是双边（t渔wo-si劝de／tw跨o-tai善led）假铁定测试；公搂式做②戴与圈③棵，是单边（鹅one-s赠ide／o妻ne-ta傅iled）棉假定测试。虑§⒋镰讨论零假部定和替代假馋定的选择弟最常用的是块“喉不等于（n侍oteq雾ualt颗o）史”晃替代假定，钳即公式边①锯。如果有证黄据表明参数墙可能大于0起或小于0，塞则我们可以眉否定零假定郊。放然而，我们默有时要为我金们孝“注怀疑的（艰suspe切cted南）父”偶或寨“跟希望的（h此oped紫for）苍”干情形寻找支悦持证据。在游此情形，我启们可以将替帽代假定定义找为嫌“屈该情形是真蔬的孝”敞，而将零假桐定语定义为竭“忽情形的非真闯”避。如果证据错支持对零假都定的否定并很接受替代假热定，则我们子在统计上可往以肯定地认桐为我们的想找法是正确的赏。狱注意：虽“欧大于面”仅和寸“驻小于梨”斩替代测试，弓比售“惜不等于磁”翼替代测试更左强烈地反映拣了研究者的征确信。为了隶强调态度的递中立性，在机有些时候即皇使单边的替户代测试试合陶理的，研究斜者也会选择袭“距不等于友”躁替代测试。赤§⒌胜定义和解甚释测试统计捕（ate三stst受atist朱ic）仍测试统计（爸Test象Stati事stic）度的定义，是花根据样本计么算得出的数完据，它的值杂是决定支持抬或反对零假熄定的根据。夺一般地，测哥试假定有如搅下公式：测试统计＝（测试统计＝（θ—θ0）／sxˉ禽θ禽为买样本统计；鬼θ盘0部为战H册0倘下群体参数圾的值（类θ葬0建）；刷s壮x据ˉ棚为积样本统计的苗标准误差（抓stand塘arde稀rror）鲜。对公式的摆说明：其他递条件不变时淡，转s祖x访ˉ质越小，则更测试统计越诸大，否定零支假定的概率艳就越大。而培且，取样规爱模n越大，图则s侮x宾ˉ狱越小。绑测试零假定滚的测试统计赚，遵循的概梁率分布有四浩种类型：朗①壶t余—凳分布（对t爱—匠测试）；球②移z月—次分布，即标装准正态分布前（对z遭—泼测试）；吸③元卡方分布野，即the占chi-句squar颈e（x出2成）dist听ribut光ion（对住卡方的测试草）；泡④省F红—糠分布（对F礼—涝测试）。捎§⒍雀定义和解铲释误差类别榆Ⅰ妇及误差类别丢Ⅱ咽（type屋险Ⅱ芽erro圈r）惑§⒎修解释有效脉度（as绕ignif侍icanc姜elev硬el）并说陪明有效度在厚假定测试中旁的应用呢测试统计计叔算出来后，吴有两种可能贯的行为，即类：否定或不引否定零假定刻。我们行为饮的根据是将勿计算出来的臂测试统计和椅特定的可能粱值进行比较耳。我们选择钩的比较值，构是以选取的援有效度（t昆hele拘velo膊fsig阻nific广ance）驾为根据的。助有效度相当辰于证明标准费，它反映了气为反对零假蛛定所必要的暂样本证据。狮测试零假定挪时，存在四疫种可能的结董果：览①盲否定错误即的零假定，板这是正确行菊为；泛②男否定正确握的零假定，沿这属于类型缘Ⅰ援错误；截③助不否定错蠢误的零假定饶，这属于类姑型蜡Ⅱ息错误；嘴④梅不否定正参确的零假定商，这是正确耳行为。采否定H脂0俭，只能犯类捞型傻Ⅰ功的错误；不廉否定H瓣0对，只能犯类饶型兽Ⅱ兔的错误。象我们用双α义表示眉犯类型I的吊错误的概率床，这个概率灿就是有效度覆（the降level床ofs且ignif恨icanc慎e）；用秩β予犯类型II宗的错误的概吸率。盏控制两种类惑型错误的概否率涉及到此颗消彼长（t客rade-殿off）。倡假定其他量岛不变，窝α僻减小则睁β女会增加；吵β稠减小则三α接会增加。同浇时减小加两种类型错叛误的概率的争唯一方法，消就是增加样希本的规模。荣在实践中，嫂通常不能对局两种类型的延错误的此消万彼长进行定罩量的分析，拾因为，类型额II错误的束概率相β刻很难定量化央。通常，我爷们只能将挠α否特定化。宏§⒏叉定义测试秩能力（th货epow筹erof贝ate蓝st）历如果测试的味有效度是不鹿正确地否定怜零假定的概雪率，那么测翠试能力（t猾hepo瓜wero山fat吴est），害就是正确地久否定零假定岂的概率，即厚正确地否定逝错误的零假予定的概率。见某些情况，胞不止一个测分试统计能够后适用于假定姑测试。如果举我们知道这黑些测试统计爽的相对测试轨能力，则在铺决定使用的模测试统计时堪应选择测试严能力最强的在统计。头为了保证测缎试的公正性吊，我们应该寇在计算测试口统计之前确俊定有效度。偿在进行假定绍测试时，通晕常有三个有扮效度，即：充α逼＝0.1珍0、脚α热＝0.0拼5、吵α健＝0.1毙0。彼α撤越小，证明诵零假定是错旬误的证据就槐越强。秋§⒐株定义和解秤释结论规则家（ade跟cisio蜘nrul钟e）攀通常的原则漏可以简述为核：在测试零亮假定时，对肾于由特定的物有效度守α守所决定的给椅定值，我们筹将计算所得油的测试统计绪的值与之进国行比较，如轻果我们发现肉两者同样极揭端，或者后篇者比前者更认极端，则我俗们应该否定导零假定。相如果结果是咸否定零假定拾，则可以说拉该结果在统笛计上有效；弟否则，我们鬼只能说该结语果在统计上挥无效。害否定点或临贩界值（re碌jecti晓onpo淹ints／罗criti遵calv革alues甚）的定义。投测试统计的猫否定点，就漂是为了决定洪否定或不否由定零假定，楼而与计算所症得的测试统篇计值相比照偷的值。悦对于单边测讨试，反对点愿的表示方法男是，测试统挤计的符号（片如z、t、滥F等）和说上明错误类型累I的特定概挑率足α裁的下标（魔如反对点Z酒α从）；唇对于双边测陶试，反对点平的表示方法咐是Z盐α式/2榴。喉【例】否兄定点的应用厅（以z看—达测试为例，词选取0.0息5为有效度细）丈①嘴对于测试墨H漏0罩：午θ删＝膛θ傻0咐vers鼠us雨H炼a袍：齿θ≠θ衫0滩私该测试为有娃效度是0.挣05的双边俯测试，每一先个尾巴的零堂假定测试统砍计分布，应箭为0.02断5的概率。朝该测试存在甘正负两个反料对点，即：间z绒0。0排25广＝1.诸96和-z衣0。0敬25煎＝－1具.96。若乐z表示计算瑞所得的测试箱统计值，则耗当z＜-闯1.96或滴z＞1.9双6时，则应增该否定零假掘定。绘②芽对于测试旧H罢0裙：尤θ≤θ卡0唯vers植us横H词a慢：润θ免＞奴θ辟0跌，反对点是惭z鸟0。0健5打＝1.惧645。如厌果z＞1.抱645，则袜应该否定零种假定。侵③特对于测试念H龙0亿：碧θ≥θ袍0骤vers盈us转H惨a画：促θ绍＜锁θ率0忘，反对点是迅z虹0。0炭5蛛=－1枪.645。顿如果z＜－丰1.645茧，则应该反词对零假定。浙§⒑惊解释信心鹰区间和假定漆测试的关系给两者的关系四：对于测试公H竿0库：商θ坏＝转θ早0绕vers烫usH咸a最：脂θ≠θ它0威，零假定条丢件下，当群且体参数的假伞定值在相应堤的信心区间守之外时，则嫌零假定就应足该被否定。予如：门对迁α盼＝0.0秀5的z－测欲试（两边测丢试），当牵θ猴0衬＜既θ发－1.96午s签x印ˉ访或弱θ众0猛＞旷θ滥＋1.96选s坑x语ˉ象时（Z选α楼／2滋＝瞧±脊1.96）迫，则零假定没就应该被否涉定。春平均值为榨μ扑的群体的9列5%的信心助区间是x途ˉ±兆1.96挡×晴s咽x恒ˉ欧延。粘§⒒津辨别：统养计结论（s欢tatis震tical改deci钳sion）盏和经济结论响（econ半omic旷decis去ion）竞我们应该注竖意假定值的艺统计上有效劳与经济上有的效区别：在听统计上有效略，不一定在姨经济上有效英。因为要考形虑到交易成周本、税收和秃风险。经济束结论不仅要轨考虑统计结捷论，还要考姿虑到所有有等关的经济问黎题。吴P乌—坟值（p-v弹alue）壁的定义，就皱是指否定零仓假定的最低溪有效度。逆如果P税—滩值小于特定汉的有效度，撕零假定就应烧该受到否定胶；否则，零滑假定就不应剪该受到否定三。P禽—蝴值越小，否予定零假定和摆有利于替代碍假定的证据黄就越强烈。质与反对点方讲法相比，P村—庙值提供了更菜精确的有关商证据强度的芬信息。脏有关平均值尾的测试计（Hypo雕thesi写sTes缸tsCo舰ncern给ingt哈heMe冻an）辰内容：第一籍部分，是有津关单个群体送的平均值是迫否与假定值晓相等的测试窃；第二、三胖部分针对的跃问题是：两毫个样本平均侨值之间的差同（分别针对济相互独立的忽样本和不相神互独立的样塑本）。衰§⒓狠对于方差阴已知或未知底的正态分布恭群体，进行挨群体平均值钥的假定测试俭时，能确定勺适当的测试涨统计并能解烂释其结果（马单个平均值祸的测试穴）青

轮t逝—摊测试悉有关潜在（基under稻lying岩）或群体平申均值的假定翻测试，一般详使用t畅—戒测试。凶t舅—器测试，即假搜定测试使用水的统计分布志遵守t亏—别分布。t拿—专分布是由一蝶个参数（即溪自由度df葡）定义的分烦布。悄t陪—加分布与标准焦正态分布的剖关系。抬①坛相同点：区对称分布；艺平均值为0探。暗②导不同点：派标准差大于辨1；远离平栽均值的结果墨的概率更大塞。唯⒈摄方差未知沙的群体平均潮值假定测试盐的测试统计抵方差未知的刺取样群体，耻如果满足两恰个条件之一饿的，则测试饿单个群体平伸均值捉μ版的假定测试臭的测试统计绣为：ttn－1＝（xˉ－μ0）／s／√n深这两个条件睬是：密①箭样本的规瑞模较大；种②陕样本的规乳模较小，但饶是取样群体日是正态分布亮或近似正态驳分布的。火t盯n－1熔为有n－1篇个自由度的钱t播—序统计（n为访取样规模）导；x鸭ˉ上为样本平均好值；往μ昼0愈为群体平均奏值的假定值霜；s为样本检的标准差。尾⒉英方差未知上的正态分布龄群体平均值草假定测试的钟测试统计间方差未知的济正态分布群石体，若样本坡规模为n，薪则群体平均贷值100（出1－侧α膊）%的信心本区间为：[昨x丽ˉ妖－伪t洒α订/2汇×昏s程x页ˉ涂,勒x路ˉ肃＋返t缠α氧/2勇×面s董x盏ˉ谎]势。边t斜α杯/2质是自由度为延n－1时由α渔／2的概率然保持在右边速尾部之内的验t的值；－跪t锁α蝶/2腥是自由度为珍n－1时昨α吐／2的概率迎保持在左边件尾部之内的归t的值。掩如果样本规修模较大，我顾们也可以使垃用z衡—抓测试。萝

旗z糟—露测试（th念ez-T菌estA避ltern痛ative酸）挣⒈代果取样群编体的方差为贷σ库2四，并且是正毯态分布，则结对单个群体铺平均值拆μ计的假定测试梦的测试统计端为：z＝（xz＝（xˉ－μ0）／σ／√n钳遇⒉贴果取样群伍体的方差未帮知，并且取河样的规模较刺大，则根据斩中心限制定寨律，有一个漫替代的测试奶统计：z＝（xz＝（xˉ－μ0）／s／√n肃

挎z赛—术测试的否定们点（Rej神ectio拘nPoi枪ntof秧az-侨Test）见LEVEL碰(桑α娃)像hypot董hesis罚rejec悬tion否point锦rejec唯tion僻inter犯val脱α营=0.1基0棋H街0调：汤θ友=安θ喉0忠屑vs.攀秘H道a肺：推θ≠θ倒0赠±位1.645眉z＜-1.乞645或z研＞1.64镇5辣H柔0灌：劝θ≤θ贱0黑绣vs.处壮H抛a爱：语θ游＞匆θ连0揪1.28锐z＞1.2袋8掠H芽0赚：盗θ≥θ辅0抹袍vs.见匀H蓝a哥：豆θ胆＜与θ绕0冲-1.28样z＜-1.往28繁α沙=0.0陡5寸H滩0岂：私θ香=登θ佣0谊耳vs.扁朋H扩a伶：段θ≠θ斯0大±斤1.96秋z＜-1.膨96或z＞狮1.96惠H循0驶：投θ≤θ顷0交禽vs.的何H锡a翠：盲θ蓄＞姥θ夏0狭1.645出z＞1.6足45损H卡0侧：在θ≥θ捷0抱搁vs.思形H临a沫：垂θ算＜玩θ妇0郊-1.64掌5座z＜-1.抗645盆α闭=0.1榆0捕H诸0驳：廉θ践=重θ纠0苹馋vs.删皇H号a嫂：惧θ≠θ汪0狐±屿2志.575萌z＜-梳2旗.575或必z＞砌2讲.575懂H拥0疤：壮θ≤θ犬0营鲜vs.念盟H珠a刷：疲θ益＞免θ锁0涂2旗.33汤z＞麦2赴.33状H休0为：些θ≥θ放0偷弱vs.围丙H各a把：撇θ越＜哗θ杯0江-2爱.芦33倦z＜险-2缠.33凑

惯有关群体龟平均值的测状试（群体方统差未知）怕取样的群体值样本规模较艘小饰样本规模较准大就正态分布的睁群体稍t秀—居测试垃t果—胞测试（或z脱—课测试）族非正态分布叙的群体秋Nota员vaila怪ble绢t评—抚测试（或z铲—脆测试）寇有关平均值父的差的测试笼（Test显Conc破ernin烧gDif匆feren今cesb腥etwee泡nMea鸽ns）墙§⒔陕据相互独忙立的随机样宫本，对两个贴正态分布的护群体的平均许值是否相等增进行假定测荐试时，在两满个样本的方某差相等或不洞相等的情况侮下，能确定桂适当的测试害统计并能解水释其结果易内容简介。治前提：取样斗群体起码是最近似的正态床分布，并且躬样本相互独划立。内容：棍讨论测试两镇个群体平均袭值的差的两挎个t含—太测试。两种堆情形：群体造的方差未知虑但是相等；冤方均差不相宴等但可以近昼似地看作t云—涛测试。盖⒈屑假定的形幕成。用轮μ赚1侵，举μ铸2释表示两个群彼体的平均值边。则假定可遥写成如下方嫩式：唱①除门H有0梁：形μ晃1勾－伪μ牲2阴＝0对川身H是a溪：氏μ垮1史－肤μ向2甚≠谱0；竖②柏帜H笑0崇：廉μ查1菜－裙μ抛2犬≤恶0对弊H汉a产：本μ掌1絮－辛μ春2夸＞0；知③您凝H益0丽：头μ猛1玩－材μ汤2悄≥领0对蚊H笛a滩：钥μ资1苹－充μ穴2航＜0。周也可写成其库他形式的假桐定，如：H年0哀：务μ若1狮－歼μ丛2浙＝2对迹H内a武：尖μ呢1者－免μ伞2姐≠奔2，等。乘⒉互测试两个委群体的平均塘值之差的测坦试统计验正态分布的弃两个群体，汁其方差未知率但相等，测肤试样本为相慰互独立的随映机样本，则雄t脱—质测试为：t＝[（xt＝[（x1ˉ－x2ˉ）－（μ1－μ2）]／[（sp2／n1）＋（sp2／n2）]1／2闸计算共同方铸差s警p瓜2山（comm形onva班rianc券e）的联合颈估算公式（共Poole坦dest队imato及r）是：疤s相p滑2栋＝[（丘n浩1芳－1）s夺1昌2彻+（n既2骆－1）s叛2宗2鞠]／（n崇来1喝＋n捉2艺－2）。自磨由度的数字政为n夜1科＋n偏2大－2。慢⒊罗测试两个烧群体的平均谋值之差的测辫试统计秀正态分布的扬两个群体，词其方差不等翼且未知，测昨试样本为相谋互独立的随惠机样本，则披近似的t都—倚测试为：t＝[（xt＝[（x1ˉ－x2ˉ）－（μ1－μ2）]／[（s12／n1）＋（s22／n2）]1／2添在使用t－悦分布表时，下“跟修正（mo厕difie尘d）的自由铅度循”坛用下述公式它计算：df＝df＝[（s12／n1）＋（s22／n2）]2／[（s12／n1）2／n1＋（s22／n2）2／n2]狂关于差的平翼均值的测试嗽（Test演Conc宵ernin佛g榴Mean渗Diffe换rence鹊s旋）座§⒕蜂两个正态诱分布的群体融的差的平均凡值进行假定孔测试时（即饮成对比较测龙试／pai短red粒compa禾rison泥s乎），能确定迟适当的测试型统计并能解锹释其结果揉本部分的t闭—藏测试的基础夸是，成对的依观察对象（凤paire筝dobs拜ervat督ions）获组成的数据魔。测试本身绪也可以称为羽成对比较的倦测试（pa臂ired惕compa出rison壮s武test却）。头假定有观察贩对象A、B繁，且样本相跪互关联。观推察对象是成块对的，用d但坦i鉴＝x胞Ai治－x茎Bi冬表示两个堡成对的观察端对象的差，闻x置Ai液和x舰Bi贯是第i个脆成对观察对手象。用她μ啊d絮表示群体球差的平均值轻。格μ异d0达是群体差利的平均值的麻假定值。则饼三种方式的疤假定为：拐①充肃H蝴0吵：厘μ私d狸姓＝所μ禁d0湖对径H店a蔽：差μ舌d法≠μ姻d0镜；（实践颗中，常令桂μ崇d0矛＝0）换②宰炮H懂0谨：猴μ化d盒≤μ狠d0竭对溉H债a薄：爆μ助d拦＞遣μ返d0渗；目③绣患H旨0住：剃μ梯d吊≥μ矛d0叛对俱H勾a喇：罪μ柏d气＜朽μ也d0详；补样本差的平偷均值（d重ˉ尚）、样本差锅的方差（s胀烫d非2源）、差的平语均值的标准葱误差（s熊d炼ˉ誓）偷d仪ˉ肾＝（缩∑按d挖i询）／n；芬（倡i际＝1，2，骑…疏，n）泻s护d训2至＝（桃∑歼d虾乏i惨革－d宏ˉ那）／（n－酒1）；（朝i寻＝1，2，傅…厨，n）姨s黎d喜ˉ瑞填＝s废d巨／役√呀n；唇测试差的平校均值的测试耐统计（群体恋是正态分布兵的，方均差响未知）t＝（dt＝（dˉ－μd0）／sdˉ肚有关方差的买假定测试优（Hypo迁thesi钻sTes厚tsCo派ncern辽ingV然arian职ce）声§⒖纺正态分布叹的方差进行冈假定测试时示，能确定适间当的测试统遗计并能解释语其结果眉⒈微测试单个砖方差的假定汽的形成。假牌定单个群体止的方差为银σ册2循，用孟σ颜0端2者表示以方差的假定叹值，则三种票形式的假定牛为：颂①待H像0妹：泻σ撑2夜疯＝煎σ钞0凤2驱对芝H阔a让：们σ帽2颈≠σ都0历2颈；糖②钻H豆0耍：率σ丑2系≤σ饶0店2板对估H南a众：挖σ引2硬＞毛σ捕0庆2律；瓦③尸H假0万：摄σ利2锻≥σ贫0捡2蒙对沾H失a拢：耽σ舞2漏＜慕σ爹0访2杏；松⒉县卡方分布采（白chi－s符quare风dist陪ribut悔ion宴）热卡方测试统姿计，用X捡2押表示。其特哲点：抗①混非对称分麻布；麦②丰与t辱—久分布一样，绳它是一个分净布的族系。公自由度的可电能值n－1权不同（n为虽样本规模）楼，分布也不包同。自由度润是表示它的孩参数。纵③享最低边界养为0，即X序许2撕不能有负值进。锡⒉澡有关测试杯群体方差的突测试统计（絮群体为正态阴分布）趣从正态分布烂的群体中取献出n个相互评独立的样品谅，则测试统厘计为：XX2＝（n－1）s2／σ02吸s早拍2财＝[栋∑镜（x雅御i约啄－x薪ˉ好）畏2过]／（n－志1），（晴i叮=1，2瞎，消…途，n）。卡恐方测试对违浇背前提条件姥的行为很敏肉感，如：取倦样的不随机齿和群体的非尿正态分布。呆与其他假定锻测试一样，意卡方测试能魔够给出信置确区间的解释丰。不同点在去于基于卡方巩测试给出的斧信置区间是缝不对称的。轧如果样本的办规模为n，帆则群体方差鸦的双边信置猫区间有上限核L和下限U戏：戚L＝（n你－1）s沫2肆X奶2悼α塔／2焰U＝（n牧－1）s意2垃X迁2唯1－涨α逗／2蝇⒊什否定点（侨自由度为n受－1的卡方注分布）比①拘对于景H译0互：捉σ钢2拒＝匀σ煎0释2衬vs.控滩H占a乎：护σ吃2痕≠σ膏0钢2铅反对点：X腾袋2耻α叫／2迫（上端的但α锡/2点）和排X条2伸1－躲α歼／2滩（下端的喇α州/2点）；纸反对区间：脂X膛2已≥滑X随2亏α携／2徒或浅X秤2励屠≤钥X桐2裳1－肯α秋／2罩。雕②两对于夹H骨0谈：功σ贺2浴≤σ枯0勿2化vs.阴么H平a扇：者σ钱2离＞芬σ采0持2庙反对点：X吗2尼α达（上端的从α抽点）；反对更区间：凝X跪2锄≥纲X宾2厚α我。并③脑对于润H莫0仔：宜σ纲2晨≥σ花0芽2块vs.扮萌H芽a童：西σ赖2野＜燥σ旋0恋2岛反对点：X棒描2茂1－蜘α估（下端的劲α漏点）；反对殿区间：年X营2窜探≤挤X喝2若1－盏α弊。题有关方差的塞差的测试箩（Tes饭tCon烛cerni荷ngDi叫ffere括nces搅betwe历enVa岁rianc宁es）洗§⒗辫据相互独指立的随机样视本，对两个殿正态分布的害群体的方差伞是否相等进犁行假定测试扰时，能确定庭适当的测试柄统计并能解柔释其结果顷⒈如假定的形暂成。假定两暮个正态分布泼群体的方差景分别为抗σ旷1扩2同和迁σ骂2费2妙，平均值纸分别为竟μ辨1棒和慰μ愿2弟。纽则三种形式浓的假定为：障①帐部H全0撞：复σ描1宴2喝＝臣σ丽2段2华对宵H摊a跪：王σ