2023年东北三省三校高考数学二模试卷及答案解析

第=page11页，共=sectionpages11页2023年东北三省三校高考数学二模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={1,2,3}，A.{2,1} B.{2,2.已知复数z满足|z|+z=A.3+4i B.3−4i3.已知向量a=(1,0)，A.3 B.3 C.1 D.4.有7名运动员(5男2女)参加A，B，C三个集训营集训，其中A集训营安排5人，B集训营与C集训营各安排1人，且两名女运动员不在同一个集训营，则不同的安排方案种数为(

)A.18 B.22 C.30 D.365.两条直线y=kx(k>0)和y=−2kx分别与抛物线yA.12 B.1 C.2 6.如图，直角梯形ABCD中，AB=3CD，∠ABC

A.112π3 B.48π C.1287.定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1−xA.6 B.12 C.30 D.568.已知三个互异的正数a，b，c满足c=2lnca+a，b=lA.a<b<c B.a>b二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.函数f(x)=A.f(x)为偶函数 B.f(x)的最小正周期是π

C.f(x10.金枪鱼因为肉质柔嫩鲜美、营养丰富深受现代人喜爱，常被制作成罐头食用.但当这种鱼罐头中的汞含量超过1.0mg/kg时，食用它就会对人体产生危害.某工厂现有甲、乙两条金枪鱼罐头生产线，现从甲、乙两条生产线中各随机选出10盒罐头并检验其汞含量(单位为mg/kg)，其中甲生产线数据统计如下：0.07，0.24，0.39，0.54，0.61，0.66，0.73，0.82，0.95，0.99A.甲生产线的金枪鱼罐头汞含量数值样本的上四分位数是0.82

B.甲生产线的金枪鱼罐头汞含量数值样本的上四分位数是0.775

C.由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量平均值高于两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量平均值

D.由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值较两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值更稳定11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，点E，F是棱DD1，CC1的中点，点A.MC1的最小值为6−2

B.存在点M，使得AM⊥CE

C.存在点M，使得12.已知函数f(x)=A.对任意m，n∈N*，函数f(x)有且只有两个极值点

B.存在m，n∈N*，曲线y=f(x)有经过原点的切线

C.对于任意三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.大气压强p=压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”(Pa,1Pa=1N/m2)，已知大气压强p(P14.曲线x2+y2=15.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F16.A、B、C、D、E五个队进行单循环赛(单循环赛制是指所有参赛队在竞赛中均能相遇一次)，胜一场得3分，负一场得0分，平局各得1分.若A队2胜2负，B队得8分，C队得9分，E队胜了D队，则D队得分为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bc(1+cosA)=4a2．

(1)证明：b18.(本小题12.0分)

调查问卷中常常涉及到个人隐私或本人不愿正面回答的问题，被访人可能拒绝回答，即使回答，也不能期望答案是真实的.某小区要调查业主对物业工作是否满意的真实情况，现利用“随机化选答抽样”方法制作了具体调查方案，其操作流程如下：在一个箱子里放3个红球和2个白球，被调查者在摸到球后记住颜色并立即将球放回，如果抽到的是红球，则回答“你的性别是否为男性？”如果抽到的是白球，则回答“你对物业工作现状是否满意？”两个问题均用“是”或“否”回答．

(1)共收取调查问卷100份，其中答案为“是”的问卷为60份，求一个业主对物业工作表示满意的概率，已知该小区共有业主500人，估计该小区业主对物业工作满意的人数；

(2)现为了提高对物业工作满意的业主比例，对小区业主进行随机访谈，请表示不满意的业主在访谈中提出两个有待改进的问题．

(i)若物业对每一个待改进的问题均提出一个相应的解决方案，该方案需要由5名业主委员会代表投票决定是否可行.每位代表投赞同票的概率均为13，方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，并最终解决该问题，求某个问题能够被解决的概率p0；

(ii)19.(本小题12.0分)

如图，已知斜四棱柱ABCD−A1B1C1D1，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，点A1在底面ABCD的射影为O，且AD=BC=CD=A20.(本小题12.0分)

已知数列{an}，设mn=a1+a2+⋯+ann(n∈N*)，若{an}满足性质Ω：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有21.(本小题12.0分)

已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为223，x轴被抛物线C2：y=x24−b截得的线段长与C1长轴长的比为2：3．

(1)求C1、C2的方程；

(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA、MB22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=lnx−ax−1(a>0)．

(1)当a答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由题意可知，2∈B，即22−2+m=0，解得m=−2，

故B={x2.【答案】C

【解析】解：设z=a+bi，a，b∈R，

因为|z|=a2+b2，

所以|z|+z=a+3.【答案】B

【解析】解：因为a=(1,0)，b=(−12,32)4.【答案】B

【解析】解：由题意可知，完成这件事情分3类，第1类：2个女生分别去A，B，5个男生有1人去了C，

有C51A22=5×2×1=10种；第2类：2个女生分别去A，C，5个男生有1人去了B，

有C51A22=5×2×1=10种；第35.【答案】C

【解析】解：联立y2=4xy=kx，由于x≠0，

可得xA=4k2，yA=4k，即A(4k2,4k)，

同理可得B(1k2,−26.【答案】D

【解析】解：由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台．

取圆台的轴截面，由题意知，球心O一定在线段AD或AD的延长线上，

如图1，当球心O在线段AD上时．

过点C作CE⊥AB于E点，则CE=BCsin30°=2，BE=BCcos30°=23，

所以CD=3，AB=33．

设球的半径为R，OA=x(0≤x≤2)，OD=2−x，

则由勾股定理可得，R2=OD2+CD2=(2−x)2+3R2=OA7.【答案】C

【解析】解：因为函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，所以函数f(x)的图像关于直线x=1对称，故f(2+x)=f(−x)，

又f(x)是R上奇函数，所以f(2+x)=f(−x)=−f(x)，所以f(4+x)=f(x)，故函数f(x)的周期为4，

考虑一个周期[−1,3]，由函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，又由f(x)是R上奇函数，且关于直线x=1对称，

知f(x)在区间[1,2]上单调递增，在区间[−1,0]上单调递减，在区间[2,3]上单调递增，

因为f(0)=08.【答案】D

【解析】解：因为c=2lnca+a，所以c−2lnc=a−2lna，设f(x)=x−2lnx(x>0)，

则f′(x)=1−2x=x−2x，令f′(x)>0得x>2，令f′(x)<0得0<x<2，

所以函数f(x)在(0,2)递减，函数f(x)在(2,+∞)递增，

所以f(x)min=f(2)=2(1−ln2)>09.【答案】AD【解析】解：对于A，x∈R，因为f(−x)=|sin(−x)|+cos(−x)=|sinx|+cosx=f(x)，所以f(x)是偶函数，故选项A正确；

对于B，因为f(x+π)=|sin(x+π)|+cos(x+π)=|sinx|−cosx≠f(x)，所以f(x)的最小正周期不是π，故B错误；

对于C，当x∈(0,π2)时，f(10.【答案】AC【解析】解：AB选项，10×0.75=7.5，则从小到大排列，第8个数为上四分位数，

即0.82，A正确，B错误；

C选项，甲生产线数据平均数为110×(0.07+0.24+0.39+0.54+0.61+0.73+0.82+0.95+0.99)=0.534，

故两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量为0.534+0.42=0.467，11.【答案】AC【解析】解：根据题意可知AD⊥平面CDD1C1，

所以∠AMD为AM与面CDD1C1所成角，且AD⊥DM，

因为正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，AM与面CDD1C1所成角的正切值为32，

所以tan∠AMD=ADDM=3DM=32，解得DM=2，

所以点M的轨迹为以D点为圆心，2为半径的圆在侧面CDD1C1内的弧GH，如图，

此时CH=GD1=1，

对于A选项，有MC1≥C1D−DM=6−2，当且仅当M，C1，D三点共线时等号成立，

故MC1的最小值为6−2，正确；

对于B选项，因为AD⊥平面CDD1C1，CE⊂平面CDD1C1，所以AD⊥CE，

假设存在点M，使得AM⊥CE，则AD⋂AM=A，CE⊥平面ADM，

由于DM⊂平面ADM，故有CE⊥DM，

另一方面，在侧面CDD1C1中，取棱C1D1的中点N，

由点E是棱DD1的中点，进而结合平面几何知识易得CE⊥DN，

故要使CE⊥DM，则点N与点M重合，

由于CH=GD1=1，ND1=3212.【答案】BC【解析】解：对于A，当m=2，n=1时，f(x)=x2+1x，f′(x)=2x−1x2=0，解得x=312，

故当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈(0,312)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈(312,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以函数f(x)=x2+1x只有一个极小值点，故A错误；

对于B，由A选项知，当m=2，n=1时，f(x)=x2+1x，f′(x)=2x−1x2，

假设其存在过原点知切线，则可设切点为(x0,y0)(x0>0)，斜率为k=2x0−1x02

所以，其切线方程为：y−(x02+1x0)=(2x0−1x02)(x−x0)

又因为其过坐标原点，则0−(x02+1x0)=(2x0−1x02)(0−x0)，整理解方程得x0=32，

故该曲线f(x)=x2+1x存在过原点的切线，故B正确；

对于C，对于m，n∈N*，f′(13.【答案】8730

【解析】解：由题意可知：p=p0e−kh=13p0，解得−kh=−14.【答案】2+【解析】解：∵将−x或−y代入曲线方程中，曲线方程不变，

∴曲线x2+y2=|x|+|y|关于x轴，y轴对称，

∴只需求出第一象限的面积即可，

∵当x≥0，y≥0时，曲线方程可化为(x−12)2+(y−12)2=12，

15.【答案】15【解析】解：设直线MN为y=2(x−c)，

双曲线的渐近线方程为y=±bax，

联立y=baxy=2(x−c)可得，x=2ac2a−b，y=2bc2a−b，不妨令M(2ac2a−b,2bc2a−b)，

同理可得N(2ac16.【答案】1

【解析】解：由题意每个队伍都进行了四场比赛，

因为B队得8分，C队得9分，

所以B队2胜2平，C队3胜1负，

又因A队2胜2负，

则B队只能和D、E是平局，所以B队胜了A、C两队，

因此C队负的一场，输给B队，即C队胜了A，D，E三队，

所以A队赢D、E两队，

又因为E队胜了D队，

所以D队负了三场，平了一场，赢了零场，

所以D队得分为1分．

故答案为：1．

根据B队得8分，C队得9分，可得B队2胜2平，C队3胜1负，先分析B队的情况，再分析C队的情况，再分析A队的情况，即可得出答案．

本题主要考查简单的合情推理，完成本题的关键是抓住“A队2胜2负，B队得8分，C队得9分”这三个条件，以此为突破口，根据赛制与得分之间的逻辑关系进行推理分析，进而得出结论．

17.【答案】证明：(1)因为bc(1+cosA)=4a2，

所以bc(1+b2+c2−a22bc)=4a2，

所以bc+b2+c2−a【解析】(1)利用余弦定理结合条件即得；

(2)利用余弦定理结合条件可得b18.【答案】解：(1)记：事件A“业主对物业工作表示满意”，则P(A)×25+35×12=60100⇒P(A)=34，

所以，500×34=375(人)，

故该小区业主对物业工作表示满意的人数约为375人；

(2)(i【解析】(1)根据红球与白球的个数比例以及问卷调査的情况，通过比例求解即可；

(2)(i)由每位代表投赞同票的概率均为13，且方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，根据二项分布的概率公式运算求解即可；

(ii)由(119.【答案】解：(1)证明：∴AB=2，BC=CD=AD=1，作CE//AD交AB于E，如图，

则可得四边形ADCE是菱形，AE=CD=EB=CE=BC，△BCE是等边三角形，

∴∠ABC=60°，∠DCE=∠ECB=60°，∠ACD=∠ACE=30°，

∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，

又BC⊥AA1，AA1∩AB=A，AA1，AB⊂平面AA1C1C，

∴BC⊥平面A1ACC1，又BC⊂平面ABCD，

∴平面ABCD⊥平面A1ACC【解析】(1)根据线面垂直的判定定理，面面垂直判定定理，即可证明；

(2)20.【答案】解：(1)(i−j)mk+(j