《导与练》高考数学（理）一轮复习之优质学案46空间向量在立体几何中的应用（一）

第四十六课时空间向量在立体几何中的应用(一)课前预习案考纲要求 1.理解直线的方向向量与平面的法向量。2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理。4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在讨论几何问题中的作用。根底学问梳理1.用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行①设直线和的方向向量分别为和，那么或与重合_____________.②两个不共线向量，与平面共面，直线的一个方向向量为，那么或在内__________________________________.③两个不共线的向量，与平面共面，那么或与重合__________________________________.2.用向量运算证明两条直线垂直设直线和的方向向量分别为和，那么_____________.3.用向量运算求两条直线所成的角设直线和的方向向量分别为和，直线和所成的角为，那么与的关系是_____________，即_____________.两条异面直线所成角的范围是_______.4.用平面的法向量证明两个平面平行或垂直设分别是平面的法向量，那么或与重合_________________；__________________________.5.直线与平面的夹角(1)_________________________________________叫做斜线和平面所成的角,斜线和平面所成的角是斜线和这个平面内全部直线所成角中_____________．(2)直线与平面所成角的范围是________________.(3)假设斜线与它在平面内射影的夹角为,此射影与平面内直线的夹角为,斜线与平面内该直线的夹角为,那么之间的关系是_____________．6.利用平面的法向量求直线和平面所成的角直线的方向向量，平面α的法向量为，与α所成的角为，那么sin=．预习自测1、以点为顶点的三角形是()A、等腰直角三角形B、等边三角形C、直角三角形D、无法推断2、，那么向量与的夹角是〔〕 A、 B、 C、 D、3、正方体中，与平面所成角的余弦值为()A、B、C、D、4、在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，那么与平面所成角的大小是()A．B．C．D．.5、设，那么与平行的单位向量的坐标为.6、，求平面的一个法向量.课堂探究案典型例题考点1：利用向量证明平行与垂直问题【典例1】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.〔1〕求证：AF∥平面BDE；〔2〕求证：CF⊥平面BDE。考点2利用向量求两条异面直线所成的角【典例2】【2012上海】如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，，，，求：〔1〕三角形的面积；〔2〕异面直线与所成的角的大小。考点3：利用向量求直线与平面所成的角【典例3】如图,三棱柱中,，,.(1)证明：；(2)假设平面⊥平面,,求直线与平面所成角的正弦值.【变式1】如图，在正三棱柱中，AB=4,,点D是BC的中点，点E在AC上，且〔1〕证明：平面平面;〔2〕求直线AD和平面所成角的正弦值。当堂检测1、正四棱柱中，=，为中点，那么异面直线与所成角的余弦值为()〔A〕(B)(C)(D)2、如图,在直棱柱,,.(1)证明:；(2)求直线与平面所成角的正弦值.课后拓展案A组全员必做题1、正四棱柱中，，那么异面直线与所成角的余弦值为〔〕A．B．C．D．2、正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，那么AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦(A) (B) (C) (D)3、如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，那么直线与直线夹角的余弦值为〔〕A.B.C.D.B组4、如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点。〔1〕求直线BE与平面ABB1A1〔2〕在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F//平面A1ADADBCA1D1B1CEB组提高选做题在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．参考答案预习自测1.A2.A3.D5.或6.解：设为平面的一个法向量，那么即∴令，得，即平面的一个法向量为．典型例题【典例1】证明：〔1〕设、交点为，连接，∵正方形边长为，∴，，又，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面．〔2〕∵平面⊥平面，平面平面，平面，⊥，∴⊥平面，∴⊥，⊥，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，那么，，，，．∴，，．∵，，∴⊥，⊥，又，∴⊥平面．【典例2】解：〔1〕∵为矩形，∴⊥．∵⊥底面，平面，∴⊥．又∵，∴⊥平面，∴∴．〔2〕，∴．，，∴，∴，即异面直线与所成的角大小为．【典例3】〔1〕证明：取中点，连接、、．∵，∴⊥，∵，∴，又∵∠，∴，∴，∴∠，∴⊥．又∵，∴⊥平面，∴⊥．〔2〕解：∵平面⊥平面，∴⊥平面，∴，，两两垂直．以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，那么，，，，∴，，．设为平面的一个法向量，那么即∴令，那么，设直线与平面所成角为，∴．【变式1】〔1〕证明：∵该棱柱为正三棱柱，∴⊥平面，∵平面，∴，又，∴⊥平面，∵平面，∴平面⊥平面．〔2〕解：取中点，中点,连接,．以为原点，，,所在直线为轴，轴,轴建立空间直角坐标系〔图略〕，那么，，，．,∴，，.设为平面的一个法向量，那么∴∴令，那么，∴.设直线与平面所成角为，∴，故直线与平面所成角的正弦值为.当堂检测１．C２．〔1〕证明：∵该棱柱为直棱柱，∴平面，∵平面，∴，又，，∴平面，∵平面，∴.〔2〕分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设=，那么，，，，∴，，∴，∴，∴，，，，那么，，．设为平面的一个法向量，那么∴∴令，那么．设直线与平面所成的角为，∴．A组全员必做题4.解：分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系〔图略〕，设棱长为2，那么，，平面的一个法向量，∴．〔1〕设直线与平面所成角为，那么．〔2〕，，∴，．设为平面的一个法向量，那么即整理得令，得．设，那么，∴，解得，即是棱中点时，平面．B组提高选做题(1)证明如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，那么D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,2)，0))、P(0,0，a)、Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2))).eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0，\f(a,2)))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0，a,0)．∵eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(DC,\s\up6(→))，即EF⊥CD.(2)解设G(x,0，z)，那么eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2)))，假设使GF⊥平面PCB，那么由eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2)))·(a,0,0)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))＝0，得x＝eq\f(a,2)；由eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝e