探索相似三角形相似的条件 知识讲解(提高)-初中数学【名校学案详细解答】

探索相似三形相似的条(高【习标1.相似三角形的概.2.相似三角形的三个判定定.3.黄金分割.4.进步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能.【点理要一相三形概相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角.要诠：(1)书写两个三角形相似时，要意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的应点是A′，点B的应点是B′，对应点是′；(2)对于相似比，要注意顺序和应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似当相似比为1时两个三角形全等.要二相三形三判定定理：两分相等两三形似两成例夹相的个角相.三成例两三形似要诠：（1）要判定两个三角形是否相，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相.（2）此方法要求用三角形的两及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误.要三相三形常图及变：要四黄分定义一般点把线AB分两条线段AC和BC两,如果

AC

,那么线段被点C黄金割点做线段AB的黄金分割点AC与AB的比做黄金.要诠：

55AB≈0.618AB(0.618是金分割的近似值，2

是黄金分割的准确值.

作一条段黄分点如图，已知线段，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥，=

AB.（2）连接，在DA上截取DE.（3）在上取ACAE则点C为段AB的黄金分割.要诠：一条线段的黄金分割点有两个.【型题类一相三形概1、买西瓜为什么挑大个？思驰是一个好奇心很强的女孩，凡都喜欢问个为什么．一天，思驰跟爸爸上街买西瓜．见爸爸选中的全是大个西瓜，她的小脑袋瓜又转开了：买西瓜为什么挑大个？“你这个沈老师的得意门生，能用学过的数学知识解决吗？”，爸爸“将”了思驰一军．回到学校，思驰就找来远兮一起商量．两人便开始了一番精彩对话．思驰：西瓜可以近似看成球体，可以应用球的体积公式．远兮：大西瓜和小西瓜的皮厚几乎相等．思驰：人们买瓜是为了吃瓤．远兮：瓤的体积在整个西瓜体积中占的比越大越好．思驰：两者的体积比如何求呢？经过一段时间的商讨，她们提出了解决方案：设瓜瓤（视为球体）的半径为r，瓜皮厚度为a，则瓤和整个瓜的体积比为：

43

433r)

3

rr)(r)3r

3

＜1当a一定时r值越大

r()r

的值越接近于1，即西瓜越大瓤与整个瓜的体积比越接近于1．思驰把解决方案讲给父亲听后，父亲充满了赞许之意，父亲同时又提出了：能用你正在学习的相似图形知识解决问题吗？你学完图形的似这一章后，我相信你还能找出方的．问题：你认为生活中还有哪些与它类似的情形？【思路点拨】通过选西瓜的方法学会分析决生活中简单的实际问题，将西瓜沿球心所直线切开，得到瓤和皮两个圆，根据相似形的性质，算其半径的比，得到面积比，而得出正确结果．【答案与解析】解：如图，设西瓜外径为R，西瓜内径为r，瓜厚度为a，

于是两圆面积比为

Sr2rS(rR

2

，当r越大时，S：S越接近与1，故西瓜越大越合算．与此类似，买鸡蛋也应挑大个的．【总结升华】此题是一道材料分析题，通过题目息所给出的研究方法，进行探究是解答类题目的基本思路．类二相三形三判定2.如图，在正方形ABCD中E分别是边AD、CD上的，的延长线于点G．（1求证：△ABE∽△DEF；（2若正方形的边长为4，求的长

，连接EF并延交BC【思路点拨）利用正方形的性质，可A=D根据已知可得角相等三角形相似，可eq\o\ac(△,得)ABEDEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，得CG的，即可求得BG的．【答案与解析）证明ABCD为方形，，A=D=90AE=ED

，根据有两边对应成比例且夹

，DC，

，，ABE△DEF；（2）解：ABCD为方形，EDBG，

，又，正方形的边长为，ED=2，CG=6∴．

【总结升华】此考查了相似三角形的判定、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的合应用，解题的关键是数形结合思想的应用．举一反三【变式】如图，已知在△ABC△DEF中∠C=54°∠A=47°∠F=54°∠E=79°，求证：△ABC∽△DEF．【答案】解：在△ABC中，∠B=180∠A-∠C=79°在△ABC和△DEF中，＝

，∴△ABC∽△DEF．3、如图eq\o\ac(△,)ABC中AB=5，，CA=4D为AB中点，过点D的直线与BC交点，直线DE所得的三角形eq\o\ac(△,)ABC相，则DE的长为多少？【答案与解析】解：D为的中点，BD=，，当DBE=ACBeq\o\ac(△,)BAC时，如图1，则

=

，即

=

，解得DE=2；当BDE=ACB时，如图，DEAC于F，

DAF=CAB，ADFACB，△，

=

，即

=

，解得

，综上所述，若直线DE所的三角形ABC似，则DE=2或

．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，注意分类讨论思想在本题的应用，避免漏解．举一反三【变式】如图，在△于△ADE中,件，这个条件是___________．

AB

，要使△ABC于△ADE相似，还需要添加一个条【答案】∠∠．4如图，方格纸中每个小正形的边长为1，△ABC和DEF的顶点都在方格纸的格点上．（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（2）P，P，P，P，，D，F是DEF边上7个点，请在这7个格点中选取3个点为三角形的顶点，构成的三形与△ABC似（要求写出2个符合条件的三角形，在图连接相应线段，不必说明理由）【思路点拨）先根据小方的边长，出△ABC△DEF的三边长，后判断它是否对应成比例即可．

（2）只要构成的三角形与△ABC的边比相等即可（答案不唯一【答案与解析】解：（1）△ABC和△DEF相似；根据勾股定理AB=2

5

5

BC=5；DE=4

，DF=2

，EF=2

；∵

AB2DEDF

,∴△ABC∽△DEF．（2）答案不唯一，下面6个三形中的任意2个可；△DP，△PPF，△DPP，△P，PP，△FDP．【总结升华】此题主要考查的是相似三角形的判定方法：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似SSS）举一反三【变式如图已知每个小正方形的边长均为eq\o\ac(△,，)eq\o\ac(△,)与△DEF的顶点都在小正方形的顶上，那么△DEF与△ABC相似的是（）【答案】B.由勾股定理求得各三角形的三边长，然后根三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．类型三、黄金分割折纸与证明--用纸折出黄金分点：第一步：如图（将一张正方形纸片ABCD折，得到折痕；折出矩形BCFE的角线BF第二步：如图（AB边到BF，得到折痕，试说明点G为线AD的金分割点（AG＞GD【思路点拨连GF，设正方形边长为1，由折纸第一步，可知DF=

12

，在eq\o\ac(△,Rt)BCF中根据勾股定理得

出BF，在eq\o\ac(△,Rt)′GF和eq\o\ac(△,Rt)DGF中根据勾股定理由GF不列出关于AG的程，解方程求出的长即可说明点G是AD的金分割点．【答案与解析】证明：如图，连接GF，正方形的边长为1则DF=

12

．在eq\o\ac(△,Rt)BCF中，5则A′F=BF-BA′=2

-1．

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，设AG=A′G=x，则，在Rt△A和eq\o\ac(△,Rt)中有A'F

+A'G=DF+DG，即

52

1-1)²+x=()，2解得

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，即点G是AD的金分割点（【总结升华】本题考查黄金分割概念：把线段AB分成条线段AC和BC＞BC使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC做线段AB黄分割，点C叫做线段的黄金分割点