三重积分的计算及重积分的应用

演示文稿三重积分的计算及重积分的应用现在是1页\一共有51页\编辑于星期六（优选）三重积分的计算及重积分的应用现在是2页\一共有51页\编辑于星期六把积分化为三次积分,其中由曲面提示:

积分域为原式及平面所围成的闭区域.P183

题7练习题现在是3页\一共有51页\编辑于星期六

计算三重积分其中是由

xoy平面上曲线所围成的闭区域.提示:

利用柱坐标原式绕x

轴旋转而成的曲面与平面P183

题8(3)现在是4页\一共有51页\编辑于星期六三重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性简化计算3.消去被积函数绝对值符号1.积分区域关于坐标面的对称性.2.被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性.只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才能简化.利用对称性简化三重积分的计算：现在是5页\一共有51页\编辑于星期六其它情形依此类推.三重积分计算的简化现在是6页\一共有51页\编辑于星期六P182

题1(1)

设有空间闭区域

则有（）现在是7页\一共有51页\编辑于星期六例1

解典型例题现在是8页\一共有51页\编辑于星期六

例2

解利用球面坐标现在是9页\一共有51页\编辑于星期六例3

解

在球坐标系下利用洛必达法则与导数定义,得其中现在是10页\一共有51页\编辑于星期六第四节一、立体体积三、物体的质心重积分的应用

第十章四、物体的转动惯量二、曲面的面积五、物体的引力现在是11页\一共有51页\编辑于星期六二重积分的元素法将定积分的元素法推广到二重积分，可得二重积分的元素法：若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性：

并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域dσ时，相应地部分量可近似地表示为f(x,y)dσ的形式，其中(x,y)在dσ内。f(x,y)dσ称为所求量U的元素，记为dU，则所求量的积分表达式为：（即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和），现在是12页\一共有51页\编辑于星期六一、立体体积现在是13页\一共有51页\编辑于星期六一、立体体积

曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为

占有空间有界域

的立体的体积为现在是14页\一共有51页\编辑于星期六任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.例1.求曲面分析:

第一步:求切平面方程;第二步:求与S2的交线在xOy面上的投影,写出所围区域D;第三步:求体积V.(示意图)现在是15页\一共有51页\编辑于星期六任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.解:

曲面的切平面方程为它与曲面的交线在

xOy

面上的投影为(记所围域为D)在点例1.求曲面现在是16页\一共有51页\编辑于星期六例2.求半径为a

的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为现在是17页\一共有51页\编辑于星期六二、曲面的面积现在是18页\一共有51页\编辑于星期六曲面方程：D:有界闭区域求曲面的面积A现在是19页\一共有51页\编辑于星期六设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D

上的投影为d

,(称为面积元素)则(见P99)现在是20页\一共有51页\编辑于星期六故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即现在是21页\一共有51页\编辑于星期六若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且现在是22页\一共有51页\编辑于星期六曲面面积其中D是曲面在坐标面z=0上的投影区域求曲面面积的步骤：（1）求曲面在坐标面z=0上的投影区域D（2）在区域D上计算二重积分：现在是23页\一共有51页\编辑于星期六同理可得设曲面的方程为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：现在是24页\一共有51页\编辑于星期六例3求球面被平面所截的球冠的面积。解：球冠在xoy面上的投影区域：现在是25页\一共有51页\编辑于星期六现在是26页\一共有51页\编辑于星期六现在是27页\一共有51页\编辑于星期六半球面面积：球面面积：现在是28页\一共有51页\编辑于星期六例4求圆锥面被圆柱面所截部分的面积。投影区域：所求曲面：现在是29页\一共有51页\编辑于星期六作业P155

10P175

1，2，3习题课现在是30页\一共有51页\编辑于星期六三、物体的质心现在是31页\一共有51页\编辑于星期六三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域

,有连续密度函数则公式,分别位于为为即:采用“分割，近似，求和，取极限”可导出其质心现在是32页\一共有51页\编辑于星期六将分成

n

小块,将第k块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第k块上任取一点现在是33页\一共有51页\编辑于星期六同理可得则得形心坐标：现在是34页\一共有51页\编辑于星期六若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(A

为D

的面积)得D

的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度—对x

轴的

静矩—对y

轴的

静矩现在是35页\一共有51页\编辑于星期六例5.求位于两圆和的质心（形心）。

解:

利用对称性可知而之间均匀薄片现在是36页\一共有51页\编辑于星期六z=0yxzo

柱面坐标a...用哪种坐标？例6..现在是37页\一共有51页\编辑于星期六四、物体的转动惯量现在是38页\一共有51页\编辑于星期六设平面有n个质点该质点系的转动惯量第k个质点的位置质点系的转动惯量质量xoy现在是39页\一共有51页\编辑于星期六平面薄片的转动惯量TheMomentofInertiaofaLamina现在是40页\一共有51页\编辑于星期六如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.现在是41页\一共有51页\编辑于星期六例7.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.现在是42页\一共有51页\编辑于星期六空间有界闭区域上物体的转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元因此物体对z轴的转动惯量:对z轴的转动惯量为现在是43页\一共有51页\编辑于星期六类似可得:对x

轴的转动惯量对y

轴的转动惯量对原点的转动惯量现在是44页\一共有51页\编辑于星期六解:

取球心为原点,z轴为l

轴,则球体的质量例8.求均匀球体对于过球心的一条轴

l

的转动惯量.设球所占域为(用球坐标)现在是45页\一共有51页\编辑于星期六五、物体的引力现在是46页\一共有51页\编辑于星期六

,G

为引力常数五、物体的引力设物体占有空间区域,物体对位于点P0(x0,y0,z0)处的单位质量质点的引力为其密度函数引力元素在三坐标轴上分量为其中现在是47页\一共有51页\编辑于星期六若求xOy面上的平面薄片D,对点P0处的单位质量质点的引力分量,因此引力分量为则上式改为D上的二重积分,密度函数改为即可.例如,其中:现在是48页\一共有