辽宁省部分学校2022-2023学年高一下学期4月联考数学试题（ 含答案解析 ）

第1页/共1页高一考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第二册第六章至必修第三册第八章.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的定义求解.【详解】由题意，得.故选：D.2.已知向量，，且，的夹角为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先求出，然后对平方，结合向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】由可得，，由数量积的定义：.于是.故选：B3.若，，则是（）A第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】D【解析】【分析】判断出、的符号，由此可判断出角的终边所在的象限.【详解】由，，得，，所以是第四象限角.故选:D.4.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式，二倍角公式和和差公式进行化简求值.【详解】故选：C5.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，把得到的图象向左平移个单位长度，再把得到的图象向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】通过正切函数图象变换求出，然后利用整体代换法求解函数的对称中心.【详解】由题意，得，由，得，所以图象的对称中心为.故选：D.6.如图，在正方形网格中，蚂蚁甲从点爬到了点，蚂蚁乙从点爬到了点，则向量与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立合适的坐标系后，使用夹角公式求解即可.【详解】如图，以为原点，为2个单位长度，建立直角坐标系，则，，，，，所以向量，夹角的余弦值为.故选：C7.若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设扇形的面积为，由三角函数线结合得到答案.【详解】画出的三角函数线，如下：则，，，设扇形的面积为，则，，又，故，所以，，因为，所以.所以.故选：A8.某超市2022年从1月到12月冰激凌的销售数量与月份近似满足函数，该超市只有8月份冰激凌的销售数量达到最大值，最大值为8500，只有2月份冰激凌的销售数量达到最小值，最小值为500，则该超市冰激凌的销售数量不少于6500的月份共有（）A4个月 B.5个月 C.6个月 D.7个月【答案】B【解析】【分析】通过最大值与最小值求出，利用最值横坐标之差求出，代入最值，根据，求出值，则得到，列出不等式，求出的范围即可.【详解】由题意，得，，由，得，所以.因为，所以，所以，所以，又，所以当时，，故.由，得，则，所以，当时，，又，所以，7，8，9，10，即该超市冰激凌的销售数量不少于6500的月份数是5.故选：B.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知某时钟的分针长4cm，将快了5分钟的该时钟校准后，则（）A.时针转过的角为B.分针转过的角为C.分针扫过的扇形的弧长为D.分针扫过的扇形的面积为【答案】BC【解析】【分析】根据分针转一圈为60分，时针转一圈为12小时，分别求得其圆周角，再利用弧长公式和面积公式求解.【详解】由题意，得时针转过的角为，分针转过的角为，分针扫过的扇形的弧长为，面积为.故选：BC.10.已知点，，，，则（）A. B.C. D.四边形为直角梯形【答案】BCD【解析】【分析】由向量的坐标表示逐一计算即可.【详解】由题意得，故A错误；，因为，所以，故B正确；，而，所以，且,结合，可得四边形为直角梯形，故CD正确.故选：BCD.11.已知函数，且，在上的图像与直线恰有2个交点，则的值可能是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】先利用诱导公式将化简为，利用条件，得到，再利用在上的图像与直线恰有2个交点，从而求出的范围，得到结果.【详解】，，又因为，，即.又在上的图像与直线恰有2个交点，由，得到，所以或，得到或，，当取1时，由，得到，当取0，1时，由，得到，，所以且，即，故或.故选：AC12.若，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用三角函数诱导公式和恒等变换求解.【详解】因为，，，，所以，由选项可知，AC符合.故选：AC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则______，______【答案】①.②.【解析】【分析】利用正切的和角及倍角公式，再利用条件即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故答案为：，.14.LED（发光二极管）是一种能够将电能转化为可见光的固态的半导体器件，它可以直接把电转化为光.LED灯的抗震性能非常好，被广泛运用于手机、台灯、家电等日常家电.如图，小明同学发现家里的LED灯是正六边形形状的，其平面图可简化为正六边形，若向量在向量方向上的投影为，则______.【答案】【解析】【分析】根据投影向量的定义即可计算.【详解】如图，，过点作垂直于直线，垂足为，因为，所以，则，在方向上的投影为.故答案为：15.若，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】将化简得到求解.【详解】解：由，得，得，因为，所以的取值范围是.故答案为：16.在正方形中，，，分别为线段，上的动点，且，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】设，确定，由正弦定理表示出的长，根据数量积定义求得的表达式，结合三角恒等变换以及正弦函数性质，即可求得答案.【详解】设，则，，得，，所以,由，得，得，所以,故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根据诱导公式将题干条件化简，然后所得分式的分子分母同时除以，得到的方程后进行求解；（2）待求表达式补上一个分母：，然后分子分母同时除以即可.【小问1详解】依题意得，，解得【小问2详解】.18.已知点，，，为线段的中点，为线段上靠近的三等分点.（1）求，的坐标.（2）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答.问题：按角分类，判断______的形状，并说明理由.（注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分）【答案】（1）的坐标为，的坐标为（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据中点坐标公式求出的坐标，先得到，从而得到点的坐标；（2）根据数量积的正负判断角的类型，得到三角形的形状.【小问1详解】因为，故的坐标为，，故，所以，即的坐标为；【小问2详解】选①，为钝角三角形，理由如下：由（1）可知，，，因为，所以为锐角.易得，因为，所以为锐角.因，所以为钝角.故为钝角三角形.选②，为锐角三角形.理由如下：由（1）可知，，，因为，所以为锐角.易得，因为，所以为锐角.因为，所以为锐角.故为锐角三角形.19.已知向量，，函数.（1）求的单调递减区间；（2）若，，是的三个内角，且，求的取值范围.【答案】（1）递减区间为（2）【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示、二倍角正余弦公式、辅助角公式化简得，根据正弦型函数的性质求减区间；（2）根据已知可得，再确定范围，利用正弦型函数的性质求范围.【小问1详解】，由，得：，故的单调递减区间为.【小问2详解】由，得，，所以或，即或（舍去），因为，所以，则，则，故，所以的取值范围为.20.在平行四边形中，点和点关于点对称，.（1）用，表示，；（2）若为线段上一点，且，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）结合图形，由向量的加法和减法、数乘运算求解即可；（2）由向量的运算得出，再由，得出的值.【小问1详解】由题意，可得，.【小问2详解】设，，则，因为，所以所以.21.已知，，，.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据两角和差公式用已知角表示未知角求解即可；（2）应用同角三角函数关系结合两角和差公式求解即可.【小问1详解】由，得，因为，所以，则.【小问2详解】由，得，得，得.由，得，因为，所以，故22.若函数满足，且，，则称为“型函数”.（1）判断函数是否为“型函数”，并说明理由；（2）已知为定义域为的奇函数，当时，，函数为“型函数”，当时，，若函数在上的零点个数为9，求的取值范围.【答案】（1）函数是“型函数”，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）判断出关于直线对称，且最小正周期为，由定义可判断出答案；（2）由题意得到的零点为，0，1，即或或，由对称性和周期性画出在上的图象，数形结合求出.【小问1详解】由，得，所以的周期为，由，，得的图象关于直线对称，因为，所以的图象关于直线对称，又的最小正周期为，所以函数是“型函数”.【小问2详解】令，得，因为是定义域为的奇函数，所以的零点为，0，1.令，所以或0或1，即或或.画出在上图象，由的图象关于直线对称，可画出在上的图象.由的最小正周期为，可画出在上的图象.故在上的图象如图所示，所以函数在