有限差分法基本原理

有限差分法基本原理第1页，共45页，2023年，2月20日，星期六流体的控制方程第2页，共45页，2023年，2月20日，星期六流体的控制方程第3页，共45页，2023年，2月20日，星期六数值离散概述

有限差分法求解流动控制方程的基本过程是：首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替连续的求解域，将待求解的流动变量（如密度、速度等）存储在各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而将偏微分方程转化为代数形式的差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差分方程组。求出该差分方程组的解，也就得到了网格点上流动变量的数值解。第4页，共45页，2023年，2月20日，星期六离散网格点第5页，共45页，2023年，2月20日，星期六差分和逼近误差

差分概念：

设有的解析函数，函数对的导数为：

、分别是函数及自变量的微分，是函数对自变量的导数，又称微商。上式中的、分别称为函数及其自变量的差分，为函数对自变量的差商。第6页，共45页，2023年，2月20日，星期六

差分的三种形式（一阶）：

向前差分

向后差分

中心差分

与其对应的差商的三种形式（一阶）：

向前差商

向后差商

中心差商差分和逼近误差第7页，共45页，2023年，2月20日，星期六

由导数（微商）和差商的定义可知，当自变量的差分（增量）趋近于零时，就可以由差商得到导数。因此在数值计算中常用差商近似代替导数。差分和逼近误差第8页，共45页，2023年，2月20日，星期六差分和逼近误差

用泰勒级数展开可以推导出导数的有限差分形式。第9页，共45页，2023年，2月20日，星期六差分和逼近误差第10页，共45页，2023年，2月20日，星期六差分和逼近误差

逼近误差：差商与导数之间的误差，表明差商逼近导数的程度。由函数的Taylor级数展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分的量级，称为用差商代替导数的精度。

第11页，共45页，2023年，2月20日，星期六差分和逼近误差第12页，共45页，2023年，2月20日，星期六差分和逼近误差第13页，共45页，2023年，2月20日，星期六第14页，共45页，2023年，2月20日，星期六差分和逼近误差第15页，共45页，2023年，2月20日，星期六差分和逼近误差第16页，共45页，2023年，2月20日，星期六差分和逼近误差

二阶中心差分：第17页，共45页，2023年，2月20日，星期六

二阶中心差分：差分和逼近误差第18页，共45页，2023年，2月20日，星期六差分方程的建立过程

差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。第19页，共45页，2023年，2月20日，星期六模型方程

为了抓住问题的实质，同时又不使讨论的问题过于复杂，常用一些简单的方程来模拟流体力学方程进行讨论分析，以阐明关于一些离散方法的概念。这些方程就叫做模型方程。常用的模型方程：

对流方程：

对流－扩散方程：

热传导方程：第20页，共45页，2023年，2月20日，星期六

Poisson方程：

Laplace方程：第21页，共45页，2023年，2月20日，星期六差分方程的建立过程

以对流方程说明差分方程的建立过程。第22页，共45页，2023年，2月20日，星期六1.划分网格

选定步长和，然后在坐标平面用平行于坐标轴的两族直线划分网格：2.针对某一点，用差商近似代替导数

对流方程在点为差分方程的建立过程第23页，共45页，2023年，2月20日，星期六第24页，共45页，2023年，2月20日，星期六

时间导数用一阶向前差商近似代替：

空间导数用一阶中心差商近似代替：则对流方程在点对应的差分方程为第25页，共45页，2023年，2月20日，星期六差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程问题的差分格式。上述初值问题的差分格式可改写为：观察上述差分格式可看出：若知道第层的，可由一个差分式子直接算出第层的，故称这类格式为显示格式。第26页，共45页，2023年，2月20日，星期六

显式有限差分模板：第27页，共45页，2023年，2月20日，星期六

时间推进：第28页，共45页，2023年，2月20日，星期六

例

考虑长度为1的均匀直杆，其表面是绝热的，而且杆截面足够细，可以把断面上的所有点的温度看成是相同的。轴取为沿杆轴方向，对应杆的端点，则杆内温度分布随时间变化由下面的扩散方程来描述：第29页，共45页，2023年，2月20日，星期六

时间导数用一阶向前差商近似代替：

空间导数用二阶中心差商近似代替：

取，则最终的差分方程：第30页，共45页，2023年，2月20日，星期六

显式有限差分模板：第31页，共45页，2023年，2月20日，星期六0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.00.51.01.52.02.53.0100100000000000100100100100100100100100100100100100505062.562.568.868.80252537.537.545.30012.512.521.921.90006.256.2514.100006.256.250006.256.2514.10012.512.521.921.90252537.537.545.3505062.562.568.868.8第32页，共45页，2023年，2月20日，星期六

如仍取而为缩短计算时间，时间步长取，则最终的差分方程：0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.00.51.01.510010000000000010010010010010010010002000100-10000100000000000001000100-1001000200第33页，共45页，2023年，2月20日，星期六差分法的基本理论上例中，令表示差分方程的精确解．利用Taylor级数将上式中邻近节点的解在(i，n)点展开，整理并略去上标后可得上式就是与差分方程等价的微分方程式。一般地说，任何一个微分方程的差分方程,其差商都可以用Taylor级数表示，这样都可以得到一个与差分方程对应的新的微分方程，该微分方程称为差分方程的修正方程式。1.相容性第34页，共45页，2023年，2月20日，星期六上式中的就是差分方程与微分方程的差别，称之为截断误差。显然与、成正比，一般情况下，当步长趋向零时,有限差分方程的截断误差是趋向于零的，则称有限差分方程与相应的偏微分方程是相容的。一个可用的偏微分方程的差分表达式必须是相容的。否则在、趋近零时，差分方程不能趋于原微分方程，差分方程的解就不能代表微分方程的解，差分求解就失去了意义!第35页，共45页，2023年，2月20日，星期六

2.收敛性收敛性研究的是差分方程的解与微分方程的解之间的差别问题。如果在求解区域中的任一离散点上，当网格步长、趋于零时，有限差分方程的解趋近于所近似的微分方程解，则称有限差分方程的解是收敛的。一般情况下，证明收敛性是非常难的，暂不予以证明。第36页，共45页，2023年，2月20日，星期六3.稳定性稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。在数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差，因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不稳定的。第37页，共45页，2023年，2月20日，星期六上式中为差分方程的精确解,如果令为差分方程的近似数值解，之间的误差为。同样，近似数值解也满足同样的方程：分析例题VonNeumann稳定性分析方法简介上式称为误差传播方程。第38页，共45页，2023年，2月20日，星期六4.Lax等价定理对于一个适定的线性初值问题，如果有限差分近似是相容的，则稳定性是收敛性的充分和必要条件。这是有限差分方法最基本的定律。适用条件：1）偏微分方程的解存在、唯一且连续地依赖于初值；2）该定理只适用于线性问题，对非线性此定理至今未得到证明。重要的实际意义：一般情况下，证明有限差分方程的解收敛于它所近似的偏微分方程的解比较困难。而证明有限差分方程的稳定性和相容性相对来说比较容易。根据该定理只要证明有限差分方程是相容的、稳定的，就保证了收敛性。第39页，共45页，2023年，2月20日，星期六几种差分格式介绍FTCS格式（时间向前差分、空间中心差分）

第40页，共45页，2023年