浅谈高等代数在高中数学中的若干应用 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选浅谈高等代数在高中数学中的若干应用摘要：高等代数在高中数学的教学中占有着一定的地位，对指导高中学生数学学习具有非常重要的意义。本文主要讨论了多项式、行列式、线性方程组以及柯西不等式等理论在高中数学中的应用，阐述了高等代数课程内容对高中数学的指导作用，从而让我们能够发现高等数学与初等数学之间的联系。通过高等代数与高中数学知识的相互渗透，让我们能够更容易地解决高中数学中的一些相对来说比较难以解决的问题，用一种更广阔的眼光来看待中高中数学问题。 关键词：高等代数，高中数学，应用

引言：高等代数在高等数学中是一门非常重要的专业基础课。笔者看来很多同学之所以会有这样的想法完全是因为他们还没有完全从中学阶段中的解题思想中改变过来，很多同学还停留在主要以具体的解题方法和解题模式来看待某些问题阶段中，导致有些同学觉得高等数学与初等数学中存在着脱节现象，从而在学习过程中感觉到非常困惑。其实，在教学中渗透高等代数的内容学习之后，站在更高层次再回过头来看看复杂的中学数学问题，如果用高等代数的某些知识点和思想是可以很轻松地解决。因此，本文将从几个方面来研究用高等代数的思想和方法去解决高中数学中一些相对来说比较困难和复杂的问题，为我们今后的教学工作提供非常有用的帮助。一、高等代数和高中数学的关系1．高等代数和高中数学的差异 我们知道高等代数是高中数学的提升和发展，而高中数学又是高等代数的基础。因此，我们在学习高等代数的时候应该把它和高中数学进行比较学习。首先，高中数学讨论了多项式的运算法则，而高等代数则是拓宽了多项式的含义，在充分的定义了多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讨论了关于多项式的整除理论及最大公因式理论。 高中数学主要讨论了一元一次未知数方程、一元二次未知数方程的求解方法及一元 次未知数二次的未知数方程根与其未知数系数的关系。而高等代数紧接着讨论了一元n

方程根的概念，以及复数域上一元n次未知数方程根与未知数系数的关系及其所得方程根的数量，在关于实数域和有理数域的方程系数中，一元n次未知数方程根的特性以及12022年安徽省中小学教育教学论文评选它是如何求出的，还学习了一元n次未知数方程根的近似根及其用公式的方法得出的结果的介绍。高中数学中的有理数、整数、实数、复数和高等代数中的数域、数环在运算法则上有很多相似之处，只是数域和数环是在无限维的欧式空间中适用的，它当然也包括高中数学中的有理数、整数、实数、复数等。在高中数学学习的平面向量和高等代数中的空间向量，它们就是从一维空间向三维空间甚至是无限维空间过渡和延伸的，这些概念被统称为欧式空间。高中数学中的图形在坐标中的扩大缩小以及转动平移为高等代数中的坐标变换理论提供了直观的解释。另外一方面，高中数学在思想和方法上主要体现在三个阶段上。第一个阶段是指数学的一些实际做题方式，例如代数的各种消元法等等；第二个阶段是指一些比较大众化的通法，如配方法以及换元法等等；第三个阶段就是解决数学问题的思想和观点，如推理思想、整体思想、抽象思想、化归思想等等。而高等代数主要则是以抽象的代数形式为主，并且其抽象性很高、逻辑性很严密以及应用性很广泛。使其成为高等数学中的三大基础学科之一，足以见得其重要地位。 2．高等数学与高中数学的联系

我们知道高等代数在内容上是高中数学的延伸和拓展，并且解决了高中数学当中很多难以解释清楚的问题，这对用高等数学的思想和方法来引导高中数学的学习是非常有帮助的。一些数学观念在高中数学中慢慢开始产生，包括数学研究的定理、定义和性质等等，并且在高等代数中的很多理论使之能够得到深化和发展。高中数学研究的理论主要是关于在现实世界的数量关系和空间形式，是比较明显和实际的对象。然而高中数学中的这些实实在在的数量关系和空间形式，在高等代数中出现时却是更为深层和广泛的含义。所以，高等代数不仅是高等数学中的三大基础课程之一，同时也对高中数学的学习具有非常关键的指导作用，足以见得高等代数与中学数学中的联系是尤为密切的。二、高等代数在高中数学的应用1．多项式理论在高中数学的应用

（1）重因式分解多项式引理1[1]若一个多项式f存在重因式，比如kn,f=aop1k1pk2p2n22022年安徽省中小学教育教学论文评选(ki,1i使ik,1pi在数域F上不可约，i,2,1,n)则可求f与f的最大公因式为dp1k11pk21pkn12n分析我们可以利用令Ffap2 p其中，d是f与d01nf的次数。所f的最大公因式，另外F的次数一般是低于以就降低了分解的难度。例1求多项式fx510x320x215x4在Q上的标准分解式。解由题意知f5x430x240x15,f在Q上的标准分解（f）=x33x23x1,gffx23x4.所以g的不可约因式为x,4x1.但是fx1,于是，由重因式定理可以知道，x1为f的4重因式，因此因式为:fx1x4（2）利用因数定理分解多项式引理2[1]xc是f的因式的充分必要条件是f0,也就是说xc是f的因式，当且仅当是f的根，并且是f的几重根，x1就是f的几重因式。例2求多项式fx510x320x215x4在有理数域上的标准分解式。分析只需解出f的若干个根，就能够求出f的若干个分解因式，用f与这几个因式积的商，得出商式，达到降次分解的效果。32022年安徽省中小学教育教学论文评选解f的首项系数1的因子有1,24，故f的根有可能是,1,2,4将其代入f逐一检验，得出-1和4是f的有理根。不妨设fx1x4x3ax2bx1利用多项式乘法法则将右边展开且合并同类项，得fx5a3x4b43ax33b4ax234bx4,后，进行逐项比较，得ab3.所以，fx1x4x33x23x1x1x4 利用分解出多项式中的一次式来令原多项式的次数减小，从而可以达到使多项式降次分解的目的。（3）带余除法在求数列通项公式中的应用定理1[2]对于P中的任意两个多项式f与g，其中g0，则一定有P中的多项式q存在，使得fq,成立，其中g或者r0，并且这样的q是唯一被确定的。例3设数列n 满足：a1,1a5an25an2a,n,2,1,23313n并令bnan1ann,2,1,,求数列的通项公式。解因为a,1a5,a5a2a,123n23n13n则用anan13an25an12an,05an12an,对上面的式子作带余除法，得到2an3an23an2an12an1即42022年安徽省中小学教育教学论文评选3bn12bn0,,故是一个公比为2的等比数列，且b1a2a12，33故nb23n

，n,2,1.例4已知数列n 与满足bnanan1bn1a1,0bn3,nN*n21,nN*,且a1,2a24.（1）求a3、a4、a5的值；（2）设cna2n1a2n试证明：是等比数列。解不难求得a3,3a4,5a5,4并且对任意nN*，有a2n1a2n2a2n10,由（1）可得cna2na2n10,由（2）得到cn1a2n2a2n3,0又由已知条件得2a2na2n12a2n20,由（4）式可得a2n1a2n22a2n30,以上两式相加有2a2n2a2n12a2n30,又由（2）式加上（3）式得于是，cncn10.所以cn1cna2n2a2n3a2na2n10,是等比数列。52022年安徽省中小学教育教学论文评选3．系行列式在高中数学中的应用（1）利用行列式分解式多项式因式分解是高中数学非常常见的问题，在利用高等代数中的行列式理论解决这类问题的时候，从而能够很简单的解决这类问题。下面的这个例子可以很好的体现出来。例5对a3b3c33abc因式分解。解由题意，可设Dabc,cabbca则Da3b3c33abc.另一方面Da++ca++ca++cbc-ca).=cabbca111-ab-=(a++cc)abbca=(a++c)(a2+b2+c2所以，我们有a3b3c33abcabca2b2c2abbcca.（2）应用行列式解决数列问题行列式在高中数学的应用非常广泛，尤其是行列式应用在数列问题中，数列在高中数学中具有非常重要的作用，并且有些关于数列的问题是非常复杂和难以理解的。本节将着重叙述怎样通过行列式理论去解决数列问题。定理2设ra,sa,la是等差数列n 中的任意三项，则rar1sas1.0lal 162022年安徽省中小学教育教学论文评选证明设n 的公差为d，则由等差数列的通项公式知,ar,as,al是直线1,0则bm,ydxa1d上的点，从而由三点共线知定理2成立。bm定理3如果am,la,ra为等差数列n 的第m、、项，且amalbl1arbr1lbl,rb也是等差数列的第m,,项。ambm1证明把albl10,展开整理得arbr1amblalbrarbmambralbmarbl.在等式两端分别加上a,lbl,并因式分解得blbmaralbrblalam,即blbmalam.由am,al,ar为等差数列n 的第brblaralm,r项，可得alam1,aral则blbm1,1故brbl,b,c1，求证：bm,bl,br为等差数列的第m,r项。分别为a1例6在等差数列n 中，已知ra,sa,tarac0.sabtbc证明由定理2有72022年安徽省中小学教育教学论文评选ra11.0sb11tc11展开得sa1tb1r10,整理即得sabtbcrac0.从上面的几个例子可以看出，利用行列式解决数列问题时，我们可以发现问题将变得简单清楚。学生会更容易的接受这些复杂难以理解的问题，有助于提高学生的逻辑思维能力。4．线性方程组在高中数学的应用线性方程组在高中数学中的应用主要表现在用来解决一些关于平面几何、空间几何以及二元方程组的问题。下面我们就通过一个例题来简单学习一下线性方程组是如何解决高中数学中的一些关于二元一次未知数方程组的问题。因此，我们可以从几个角度来解二元一次未知数方程组。25xy,4x2y12.解法1从代数的角度看，上述是一个二元一次方程组，通过消元可以求解，消元法还可以求出系数行列式的值，可用克莱姆法则。消元是求解线性方程组的常用方法，不仅适用于求二元一次未知数方程组，也是解n元一次方程组的有效方法。解法2从解析几何的角度看，求解二元一次方程组axbya1xb1c,c1,ba,ba11.y的问题，可以看成是两条直线的位置关系问题，这两条直线的斜率分别为根据两条直线的斜率之间的关系，有以下三种情况：若aa1,则两条直线相交，方程组有唯一解，唯一解是交点坐标；bb182022年安徽省中小学教育教学论文评选若aa1,且abc,则两条直线平行，方程无解；bb1a1b1c1若a,且,两条直线重合，方程有无穷多解。a1abcbb1a1b1c1解法3从向量几何的角度，上述方程组还可以改写为25

x12

y412

,

x、y它的几何意义是向量412

是否可以用25

和12

线性表示。如果25

和12

线性无关，且412可以用25

和12

线性表示，则存在唯一的使得25

x12

y412

,

成立，此时方程组有唯一解；如果向量52,12 和 12 4

共线，方程组有无穷多个解；当124不能用52和12

线性表出时，方程组无解。可以看出，从向量几何的角度是通过看方程组数矩阵的列向量的共线关系来判断方程的解。例10求过点P0,0,02与平面：3xy2z10平行且与直线l:x1y3z1421相交的直线的方程。v1解1,2,且1l设直线的方向向量为vX,Y,Z，由直线1l的方程知1l的方向向量,4过点1P0,3,1.由与1l相交，因此92022年安徽省中小学教育教学论文评选 uuuururr

(PPvv=1 2 1 ) 0,即132.0421XYZ展开得又与平面平行，所以XY2Z0,3XY2Z0,联立方程组，得令Z为自由未知量，取Z1XY2Z,03XY2Z.0，求得X,0Y0,故所求直线的方程为xyz2.021 从上面的例子我们可以看出，利用线性方程组理论也可以判断空间两条直线的位置关系，即异面、相交、平行和重合。5．柯西不等式在高中数学的应用柯西不等式理论在高等数学中的应用非常广泛，其不仅在高等代数中有所应用，在高等数学的其它学科中同样具有非常重要的作用。柯西不等式虽然在高中数学中只是简单的介绍一下，但是在解决高中数学中一些较为复杂的问题时却具有事半功倍的效果。在n维欧式空间V中，任意取V中的一个标准正交基1,2,,n,对任意a11a22ann，b11b22bnn,V,有,a1b1a2b2anbn.因而，在任意标准正交基下，其柯西不等式都具有a1b1a2b2anbna12a2a212b22bn22n102022年安徽省中小学教育教学论文评选的形式。柯西施瓦兹不等式在高等数学以及高等代数中被重点的介绍以及在很多定理的证明之中被多次的用到。而柯西施瓦兹不等式在中学数学的应用上主要体现在一些不等式的证明以及求最值的问题中。例11已知xyz15,求x2y2z2的最小值。解用柯西不等式可得11x2y2z2x1y1z,即故x2y2z275,只有当x3x2y2z2152225,zy5时，取得最小值为75.例12求证：acbda2b2c2d2. 分析在解决不等式的证明的一类题时，我们一般使用比较法或分析法，根据观察本题中可以发现，当时不等式显然成立。因此，只需研究当acbd0,acbd0时，不等式的大小情况。欲证acbda2b2c2d2,只需证acbda2b22d2成立，即2abcda2d2b2c2,亦即adbc20.显然最后一个不等式成立。所以acbda2b2c2d2.112022年安徽省中小学教育教学论文评选事实上，由柯西不等式可以直接得到acbda2b22d2,从而acbdacbda2b2c2d2.因此所证不等式成立。结语：高等代数是高等数学中的一门非常重要的学科，它和