概率与统计（解析版）-2021年高考数学(新高考)

热点11概率与统计

【命题趋势】

新高考统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以

排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。试题考查特点是以实际应用问题为载

体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分

布以及正态分布对应的数学期望以及方差。概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际

生活。取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点。解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点

趋势，应该引起关注。

【满分技巧】

1.明确变量间的相关关系，体会最小二乘法和线性回归方法是解决两个变量线性相关的基本方法，就

能适应高考的要求。

2.求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概

率时.，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析

清楚这些事件互斥（独立）的原因；（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个

事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.

3.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问

题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.

【考查题型】选择题、填空、解答题

【常考知识】总体分布、正态分布与线性回归、离散型随机变量的分布列、等可能性事件、互斥事件和相

互独立事件的概率

【限时检测】（建议用时：90分钟）

一、单选题

1.（2020年全国统一高考数学试卷（新课标I））某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和

温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（％y）（i=l，2，，2。）

得到下面的散点图:

100%

80%

爵，

瞅60%

然40%

20%

0

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程

类型的是（）

A.y^a+bxB.y=a+hx2

C.y=a+bexD.y=a+b\nx

【答案】D

【分析】

根据散点图的分布可选择合适的函数模型.

【详解】

由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，

因此，最适合作为发芽率》和温度x的回归方程类型的是y="+81nx.

故选：D.

【点睛】

本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.

2.（2020年全国统一高考数学试卷（新课标II））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务,

每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名

参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,

志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,

则至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

【答案】B

【分析】

算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.

【详解】

由题意，第二天新增订单数为500+1600—1200=900,设需要志愿者x名，

50x

——>0.95,x217.1,故需要志愿者18名.

900

故选：B

【点晴】

本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.

3.（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标H1））在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率

分别为四,22，乩，。4,且£化=1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）

1=1

A.P,=p4=0.1,p2=p,=0.4B.Pt=P4=0.4,p2==0.1

C.Pi=Pi=0.2,p2=P3=0.3D.Pt=P4=0.3,p2=p3=0.2

【答案】B

【分析】

计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的•组.

【详解】

对于A选项，该组数据的平均数为5=(1+4)Xo.1+(2+3)X0.4=2.5,

方差为s；=(l-2.5『x0.1+(2-2.5『x0.4+(3-2.5)2x0.4+(4-2.5『x0.1=0.65；

对于B选项，该组数据的平均数为京=(l+4)x().4+(2+3)x().l=2.5,

方差为—2.5)2x0.4+(2-2.5)2x0.1+(3—2.5)2x0.1+(4—2.5)2x0.4=1.85；

对于C选项，该组数据的平均数为耳=(1+4)x0.2+(2+3)x().3=2.5,

方差为s；=(1—2.5『x0.2+(2—2.5)2xO.3+(3—2.5)2x0.3+(4—2.5)2x0.2=jQ5；

对于D选项，该组数据的平均数为京=(l+4)x().3+(2+3)x0.2=2.5,

方差为5^=(1-2.5)2x0.3+(2-2.5)2x0.2+(3-2.5)2x0.2+(4-2.5丫x0.3=1.45.

因此，B选项这一组的标准差最大.

故选：B.

【点睛】

本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

4.(2020年新高考全国卷I数学高考试题(山东))某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生

喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占

该校学生总数的比例是()

A.62%B.56%

C.46%D.42%

【答案】C

【分析】

记“该中学学生喜欢足球”为事件A,“该中学学生喜欢游泳”为事件8,则“该中学学生喜欢足球或游

泳”为事件A+3,“该中学学生既喜欢足球乂喜欢游泳”为事件儿8,然后根据积事件的概率公式

P(AB)=2(4)+口3)-尸(4+8)可得结果.

【详解】

记“该中学学生喜欢足球”为事件A,“该中学学生喜欢游泳”为事件8,则“该中学学生喜欢足球或游

泳”为事件A+B,“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件43,

则尸(A)=0.6,P(B)=0.82,P(A+B)=0.96,

所以P(4•8)=P(A)+P(B)-P(A+8)=0.6+0.82-0.96=0.46

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.

故选：C.

【点睛】

本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.

5.(2020年天津市高考数学试卷)从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm),将所得数据分

为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图，则在被

抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为()

A.10B.18C.20D.36

【答案】B

【分析】

根据直方图确定直径落在区间［5.43,5.47）之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.

【详解】

根据直方图，直径落在区间［5.43,5.47）之间的零件频率为：（6.25+5.00）x0.02=0.225,

则区间［5.43,5.47）内零件的个数为:80x0.225=18.

故选:B.

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.

6.（2020•河南开封市•高三一模（理））某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正

常照明的概率都是0.8,那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是（）

A.0.8192B.0.9728C.0.9744D.0.9984

【答案】B

【分析】

先计算4个都不亮和只有1个亮的概率，利用对立事件概率公式即可求至少有两个能正常照明的概率.

【详解】

4个都不亮的概率为。一0.8）4=0.0016,

只有1个亮的概率为4x0.8x（l-0.8）3=0.0256,

所以至少有两个能正常照明的概率是1—0.0016—0.0256=0.9728,

故选：B

7.(2020•四川成都市•高三其他模拟(理))众所周知，人类通常有4种血型：。、A、8、A8,又

已知I,4种血型0、A、B、AB的人数所占比分别为41%,28%,24%,7%,在临床上，某一血型的人能输

血给什么血型的人，是有严格规定的，而这条输血法则是生物学的一大成就.这些规则可以归结为4条：①

X-X；②O—X；@X-AB；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(X代表。、A、B、

AB任一种血型).按照规则，在不知道双方血型的情况下，一位供血者能为一位受血者正确输血的概率为

()

A.0.5625B.0.4375C.0.4127D.0.5873

【答案】D

【分析】

由题意可知，当供血者血型为。型时，受血者为。、A、8、AB,均可，求出其概率；当供血者血型为

A型时，受血者血型为A、AB,求出其概率；当供血者血型为B型时,，受血者血型为5、AB,求出其

概率；当供血者血型为型时，受血者血型为AB,求出其概率，而每一个情况之间是互斥的，从而可求

出概率

【详解】

①当供血者血型为0型时，受血者为。、A、B、AB,均可，故概率耳=0.41,②当供血者血型为A型

时，受血者血型为A、AB,故概率巴=0.28x(0.28+0.07)=0.098,③当供血者血型为8型时，受血

者血型为5、AB,故概率6=0.24x(0.24+0.07)=0.0744,④当供血者血型为AB型时，受血者血型

为AB,故概率A=0.07x0.07=0.0049,

故正确输血的概率为尸=片+鸟+4+匕=0.5873.

故选：D.

【点睛】此题考查互斥事件的概率的求法，属于中档题

8.(2020•云南昆明市•昆明八中高二期中(理))2021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高考新模式,

即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2

门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分

制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（）

・・O...O

甲同学成绩年级平均分

A.甲的化学成绩领先年级平均分最多.

B.甲有2个科目的成绩低于年级平均分.

C.甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理.

D.对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果.

【答案】A

【分析】

根据雷达图，对四个选项逐个分析，可选出答案.

【详解】

根据雷达图，可知物理成绩领先年级平均分最多，即A错误；

甲的政治、历史两个科目的成绩低于年级平均分，即B正确；

甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理，即C正确；

对甲而言，物理成绩比年级平均分高，历史成绩比年级平均分低，而化学、生物、地理、政治中优势最明

显的两科为化学和地理，故物理、化学、地理的成绩是比较理想的一种选科结果，即D正确.

故选:A.

【点睛】

本题考查统计知识，涉及到雷达图的识别及应用，考查学生识图能力、数据分析能力，是一道容易题.

9.（2020•全国高三专题练习（理））党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社

会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化.若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013

年到2019年的统计数据可得国内生产总值（GOP）》（单位：万亿元）关于年份代号》的回归方程为

=6.06A-+50.36（x=l,2,3,4,5,6,7）,由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：

万元）约为（）

A.14.04B.202.16C.13.58D.14.50

【答案】A

【分析】将2035年的年份代号代入回归直线方程便可得到答案.

【详解】

到2035年底对应的年份代号为23,由回归方程5=6.06x+50.36得，我国国内生产总值约为

6.06x23+50.36=202.16（万亿元），又空曳土14.04,所以到2035年底我国人均国内生产总值约

14.4

为14.04万元.

故选：A.

【点睛】

本题考查线性回归直线方程的实际应用，属于基础题.解答时，注意本题所求为2035年底人均国内生产总

值，容易错选B选项.

二、多选题

10.（2020•广东湛江市•高三其他模拟）因防疫的需要，多数大学开学后启用封闭式管理.某大学开学

后也启用封闭式管理，该校有在校学生9000人，其中男生4000人，女生5000人，为了解学生在封闭式管

理期间对学校的管理和服务的满意度，随机调查了40名男生和50名女生，每位被调查的学生都对学校的

管理和服务给出了满意或不满意的评价，经统计得到如下列联表:

n满意不满意

N□

□工LZJ

附表:

K代

20.1000.050.0250.0100.001

k)

k2.7063.8415.0246.63510.828

附：心——幽也——

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

以下说法正确的有()

A.满意度的调查过程采用了分层抽样的抽样方法

B.该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值为0.6

C.有99%的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系

D.没有99%的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系

【答案】AC

【分析】

根据题中列联表分析数据并计算K2'对选项逐一判断即可.

【详解】

因为男女比例为4000：5000,故A正确.满意的频率为""=420.667,所以该学校学生对学校的管理

903

和服务满意的概率的估计值约为0.667,所以B错误.

由列联表K-=90x（2Qxl0-20x40）-=9>6.635,故有99%的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否

40x50x60x30

与性别有关系，所以C正确，D错误.

故选：AC.

11.（2020年新高考全国卷H数学考试题文档版（海南卷））我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推

进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（）

A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加；

B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；

C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%;

D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;

【答案】CD

【分析】

注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判

定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD正确.

【详解】

由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少,

第8天到第9天复产指数减少，故A错误；

由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间,

复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；

由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%,故C正确；

由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确；

【点睛】

本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理

解与观测，属中档题.

12.（2020•福建莆田市•高三其他模拟）某导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题,

2

目前中国668个城市中有超过1的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正

在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：

年份X2016201720182019

包装垃圾y（万吨）46913.5

JTY

(1)有下列函数模型：®y=a-b016；@y^asm——+h；(3)y=alg(%+/?)(«>O,/?>l)(参考数

2016

据：lg2=0.3010,lg3=0.4771）,以上函数模型（）

3

A.选择模型①，函数模型解析式y=4</）A2M）,近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y（万吨）与年

份X的函数关系

B.选择模型②，函数模型解析式y=4sin——+久）16,近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y（万吨）

与年份x的函数关系

C.若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2021年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨

D.若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨

【答案】AD

【分析】

37TX

分别选函数模型：y=4-Gr2016,y=4sin——+2016,代入数据计算得到近似值，比较即可，根据

22016

选择的函数模型，令y>40计算得出结论.

【详解】

3

若选y=4•(1)-236,计算可得对应数据近似为4,6,9,12.5,

TTY

若选y=4sin诟需+2016,计算可得对应数据近似值都大于2012,显然A正确，B错误;

按照选择函数模型y=4•63广2016,

a

令y>40,即4X(2)"2OI6>40

产。16>10,

/.x-2016>log310

2

X-2016>譬=——1——*5.6786

1。3Ig3-lg2

2

.-.x>2021.6786.

即从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误D正确.

故选：AD

【点睛】

关键点点睛：根据给出的函数模型，利用所给数据比较拟合程度即可选出适合的函数模型，根据所选函数

模型，解不等式即可求出结论，考查运算能力，属于中档题.

三、填空题

13.（2020年浙江省高考数学试卷）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取

球,每次取1个,不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为4，则P&旬=__；E0=

【答案】71

3

【分析】

先确定4=0对应事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根据数学期

望公式求结果.

【详解】

因为&=0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球,

所以PC=O）=；+；X；=；,

随机变量自=（）,1,2,

21211121I

=——x——|X—X1X——X——=—

2D434324323

所以Ee)=0xL+lx'+2xL=l.

故答案为：-U.

【点睛】

本题考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.

14.（2020年江苏省高考数学试卷）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点

数和为5的概率是.

【答案】：

【分析】

分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可.

【详解】

根据题意可得基本事件数总为6x6=36个.

点数和为5的基本事件有（1,4）,（4,1）,（2,3）,（3,2）共4个.

41

出现向上的点数和为5的概率为尸===一.

369

故答案为：—.

9

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

15.（2020年天津市高考数学试卷）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为工和假定两球是否落入盒

23

子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为

……12

【答案】--

63

【分析】

根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的

概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.

【详解】

甲、乙两球落入盒子的概率分别为!

23

且两球是否落入盒子互不影响，

所以甲、乙都落入盒子的概率为!x：=，，

236

甲、乙两球都不落入盒子的概率为—=

所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为

故答案为：—：~.

63

【点睛】

本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.

16.（2020•上海虹口区•高三一模）从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两

人都没有被选到的概率为（用数字作答）.

【答案】7

6

【分析】

先计算出从4名同学中选2名同学的情况，再计算出甲、乙两人都没有被选到的情况，即可求出概率.

【详解】

4x3

解：从4名同学中选2名同学共有。：=耳下=6种，

甲、乙两人都没有被选到有1种，

..・甲、乙两人都没有被选到的概率为!.

6

四、解答题

17.（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标III））某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每

天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次

[0,200](200,400](400,600]

空气质量等级

1（优）21625

2（良）51012

3（轻度污染）678

4（中度污染）720

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4,则称

这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2X2列联表，并根据列联表，判断是否有.95%的把握

认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

人次W400人次＞400

空气质量好

空气质量不好

_n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸（？仁左）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为().43、0.27、0.21、0.09：(2)

350；(3)有，理由见解析.

【分析】

(1)根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；

(2)利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；

(3)根据表格中的数据完善2x2列联表，计算出K2的观测值，再结合临界值表可得结论.

【详解】

(1)由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为"需竺=0.43,等级为2的概率为

5+：：；12=027,等级为3的概率为彳『=0.21,等级为4的概率为二需°=0.09：

100x20+300x35+500x45”八

(2)由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为-----------------------=350

100

(3)2x2列联表如下:

人次W400人次＞400

空气质量不好3337

空气质量好228

55x45x70x30

因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.

【点睛】

本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于

基础题.

18.(2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标I))甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定

赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空

者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至

其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的

概率都为—，

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率.

【答案】(1)—:(2)—；(3)—.

16416

【分析】

(1)根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；

(2)计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

(3)列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率

和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得内赢的概率.

【详解】

(1)记事件M:甲连胜四场,

(2)记事件A为甲输，事件5为乙输，器件C为丙输,

则四局内结束比赛的概率为

4

P'=P（ABAB）+P（ACAC）+P（BCBC）+P（BABA）=4x-=-,

4

3

所以，需要进行第五场比赛的概率为P=l-尸'=:：

4

（3）记事件A为甲输，事件3为乙输，事件C为丙输，

记事件M：甲赢，记事件N:丙赢，

则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、

BABCC、BACBC.BCACB>BCABC、BCBAC,

所以，甲赢的概率为P（M）

由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等,

97

所以内赢的概率为尸（N）=l—2x^=布.

【点睛】

本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题.

19.（2020•四川成都市•高三其他模拟（理））西尼罗河病毒（WAV）是一种脑炎病毒，例VK通常是由鸟

类携带，经蚊子传播给人类.1999年8-10月，美国纽约首次爆发了/例下脑炎流行.在治疗上目前尚未有什

么特效药可用，感染者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法，有研究表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制

/阶厂的复制，抑制其对细胞的致病作用.现某药企加大了利巴韦林含片的生产，为了提高生产效率，该药企

负责人收集了5组实验数据，得到利巴韦林的投入量x（千克）和利巴韦林含片产量y（百盒）的统计数据

如下：

投入量x（千克）12345

产量y（百盒）1620232526

由相关系数厂可以反映两个变量相关性的强弱，1厂上[0.75,1],认为变量相关性很强；|r|e[0.3,0.75],认

为变量相关性一般；I「怕[0,025],认为变量相关性较弱.

(1)计算相关系数r,并判断变量x、y相关性强弱；

(2)根据上表中的数据，建立y关于x的线性回归方程9=添+6；为了使某组利巴韦林含片产量达到150

百盒，估计该组应投入多少利巴韦林？

参考数据：7660*25.69.

参考公式：相关系数r二I“"j“，线性回归方程亍=晟+6中，

J力―/3•一方

V/=!V/=!

=-------------，a=y-bx.

大七-可2

/=1

25

【答案】(1)r=-^a0.97,*与y具有很强的相关性；(2)54.2千克.

A/660

【分析】

555

⑴根据题中数据分别计算出亍、歹、za-可("一歹)、z(%-可一、X(y—y)-代入题中公式可

f=li=\/=1

得r的值，可得答案；

(2)由题中数据计算出石，可得y关于x的线性回归方程，可得当y=150(百盒)时，x的值，可得答案.

【详解】

解：(1)元=：x(l+2+3+4+5)=3,7=1x(16+20+23+25+26)=22,

5

^(x,.-x)(y；-y)=(1-3)X(16-22)+(2-3)x(20-22)+(3-3)x(23-22)

i=\

+(4-3)x(25-22)+(5-3)x(26-22)=25,

5

—5)=(1-3)2+(2-3)2+(3—3)2+(4—3)2+(5—3)2=10,

i=l

之(y-寸=(16-22)2+(20—22)2+(23—22)2

i=\

+(25-22y+&6—22)2=66,

5

可(y-》)25

r

则=[2—j=—j=«0.97

也宓yf屈

Vi=\V/=1

所以x与y具有很强的相关性.

,Z&—可(K—刃25

(2)由(1)得，b=^~^--------------------=£=2.5,

za•-元『10

；=1

2=y一线=22-2.5x3=14.5，

所以y关于x的线性回归方程为E=2.5X+14.5.

当y=150(百盒)时，x=54.2(千克)

故要使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入54.2千克利巴韦林.

【点睛】

本题主要考查线性回归方程及相关系数r的相关知识，考查学生分析问题与解决问题的能力，考查学生的

计算能力，属于中档题.

20.(2020•四川宜宾市•高三一模(理))第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在

我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展,

完善人口发展战略和政策体系、促进人口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的

基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校

4

生（走读生及半走读生）按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为7:2,住校生中男生占一，

7

现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集体户户主进行人口普查登记.

（1）应从住校的男生、女生中各抽取多少人？

（2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训

①求这3人中既有男生又有女生的概率；

②用X表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量X的分布列与数学期望.

69

【答案】（1）男生、女生就分别抽取4人，3人；（2）①不；②分布列答案见解析，数学期望：

【分析】

（1）找到住校生中男女生的比例关系，即可求出男女生分别抽取的人数.（2）①抽取的3名户主中既有男

生，又有女生，包含男生有1人，女生有2人和男生有2人，女生有1人两种情况，分别求出概率再求和

即可；②找到变量才的所有可能取值，服从超几何分布，求出概率，列出分布列，求出期望即可.

【详解】

43

（1）由已知住校生中男生占一，则女生占一，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此男生、女生就

77

分别抽取4人，3人.

（2）①设事件/为“抽取的3名户主中既有男生，又有女生”，设事件/为“抽取的3名户主中男生有1

人，女生有2人”；事件C为“抽取的3名户主中男生有2人，女生有1人“，贝且8与C互斥,

P（8）=等T，尸（。）=萼=1|，故P（A）=P（B）+P（C）=

所以，事件/发生的概率为9.

7

②随机变量X的所有可能取值为0，1,2,3,

P(x=k)=（%=0,1,2,3）.随机变量才的分布列为

0123

418121

P

35353535

4181219

随机变量I的数学期望E(X)=0x—+lx二+2XL+3X-5-='

353535357