等比数列的通项求和及其性质

n1nnnnn1nnnnnn*Sn11－q11n1－q1等比数列通项求和及性质1等比数列的定义如果一个数列从第2每一项与它的前一项的比等于同一个常数qq≠么这个数列叫做等比数列，这个常数等比数列的公比．2等比中项如果在ab插入一个数GaGb成比数列，那么做ab等比中项．3等比数列的通项公式及其变通项公式aq

n1a≠其中a是首项q是比．通项公式的变形aaq11nm

nm

.

m

m

aqnm

nan

n

n

a

a

a

a

a

a

a,aa,aa,a2nSkk32kqk

aS

k

Skk

Skk5等比数列前n项和公式Sn6等比数列的单调性

q或S当q，

>0<1a时{是递增数列；11n当q，

<0<1a时{是递减数列；11n当q1a

常数列．n

mnpqprskkmk2mnqbnnnnn2n3nTmnpqprskkmk2mnqbnnnnn2n3nTTSSnn36n28646nnnn7等比数列及其前项和的性设数列{a

n

等比数列Sn．n①若mnp，则aaaa中mnpN.特别地，若2sp，则a＝a中，，N.②相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，a

…是等比数列，公比为qm(m∈N

③若数a{是两个项数相同的等比数列，则bapa·}pqn常数)是等比数列．④S

m

Sq＝m.nnmmn⑤当q≠1或q＝1k奇数时S

，SS，S－S…等比数．k2k32kT⑥若a1a…anT则Tn，，…等比数列．n2n⑦

若数{

n

SS－a的项数2S分为偶数项与奇数项的和q2n＋

1＝q.题型一基本运算【例1】等比数{a中，前n项和为SS＝7S63则公比q的值)A2C3

B2D【例2】各项均为正数的等比{a}，若a1aa2a则a值________题型二等比列的判定与证明【例1】知数{a的前n和为S且an.(1)＝a1求证{等比数列；nnn(2)数{a的通项公式n

1nnnn1nn2nnnn36789nnn12431nnnn1nn2nnnn36789nnn1243769SSnn1【例2】知数{a满足a＝1a2＋2.a(1)b：数{等比数列；(2)数{a的通项公式n(3)＝a2数{的前n和S.nn1nnn题型三等比列性质的应用【例1】等比数{a中，前n项和为S知S8，＝，则a＋aa等于()1A.857C.8

1B－855D.8【例2比数{的各项均为正数a＋23aaa的通项公式a________.过关练习1.已知等比数a满足a3a＋aa，则aa＋a＝(n1135357A21C63

B．42D842．对意等比数a，下列说法一定正确的()nAaaa比数列139Ca，a比数列248

aaa成等比数列236．aaa成等比数列3693.等比数a}a，a，则数{lga}前8和等()n45nA6C4

B．D3SS4．设等比数a的前n为S，若＝则()36A28C.3

7B.3D3

nnn1nnnnnnn1nnnn5．成等差数列的三个正数的和于，并且这三个数分别加上2,5,13为等比数b中的bbb.n345(1)数列{b的通项公式；n(2)数列{b的前n和.nn课后练习【补救练习】1．等差数a的公差为2，若a，a成等比数列，a}前n和S＝()n248nAnn1)nC.2

B．(n－1)nD.22.设S比数a的前n和，若a1比q2S－S48k()nn12kA7C5

B．D43.数列{}等差数列，若a，a3a＋构成公比为q比数列，则q________.n1354.等比数a}前n和为S，公比不为1.a，且对任意的nN*有a________.5.设数{的前n和为S.已知2S＝33.(1){的通项公式；n(2)数{b满足ablog求{的前n和T.nnn3nn

＋a－a＝0则S＝2n1n5

nnn32aannn32aa226.已知数a}b}足＝λ＝a＋n＝1)(a321)λ实数为正整数．11nn(1)任实数λ，证明数a}是等比数列；n(2)判数b是否为等比数列，并证明你的结．n【巩固练习】1.已知等比数a的前n记为Ⅱaaa，则Ⅱ＝()nn3489A512C81

B．D162．已知数a是递增的等比列aa＝9a8数{}前n和等．n1423n3．设{是首项为a，公差为的等差数列S前n．若SS等比数列，则a为n1n12414．已数a满足a1a3an1n1n(1)，并a113(2)明＋…＋<.12n

通项公式；

a1010112a1010112【拔高练习】1.设{是由正数组成的等比列S为其前n和．已知a，S＝7S＝()nn24351531A.B.243317C.D.422.数列{}首项为a＝