浅谈分类讨论在数学教学中的应用 论文

浅谈分类讨论在数学教学中的应用摘要：在日常生活或是自然科学中，我们总会或多或少的遇到需要从多个方面考虑的问题。不同的前提条件对应着不同的解决方法，而每一种方法的最终目的都是相同的。倘若考虑不周或是有遗漏，那么最后的选择也必定会有差错。所以掌握好分类讨论的思想，无论是在数学教学还是日常生活中都是非常有必要的。本文即是对分类讨论思想的探究，并且着重探讨分类讨论在数学教学中的应用。关键词：解题策略，思维，渗透引言：分类讨论思想在数学教学中有广泛应用，不论是简单的计算还是复杂的推理都少不了将情况逐一分析比较的过程，采用分类讨论的方法，可以有效的防止误差，并且还可以将复杂的问题分解成若干个较为简单的问题去解决，真正的做到化繁为简。一、预备知识：1.本节中我们首先来了解一下分类讨论思想的相关概念、使用原则及步骤。 （1）分类讨论的概念：

分类讨论即是将对象分门别类之后分别进行研究，它既是一种解题策略又是一种重要的数学思想。当我们所研究的问题比较复杂，不能仅用一种方法或者一种情况概而论之时，根据所研究的数学对象的根本属性和具体内容，再按照一定的原则和方法，在相互对照的基础上，将研究对象逐一分解，分成若干个既相互有联系又有区别的部分,最后，再将各个部分得出的最终结果放在一起观察比较，总结出最后的结果，即为问题的答案。我们把这种先将问题分类别，分情况然后再逐一讨论的方法称作分类讨论。（2）分类讨论的使用原则：

A.在每一次的分类过程中，必须按照统一的标准去划分。 此条原则是为了保证分类时有一个共同的前提，以免因标准的不同而导致思路混乱，分类出差错。B.将问题分类之后所得到的各个部分，它们之间应该是相互独立的。第1页(共8页)此条原则是为了保证分类讨论得出的各个部分之间既不重复也不遗漏。C.分类讨论应该逐级有顺序的依次进行。D.问题可以根据定理、公式、性质等的使用条件去分类讨论。E.尽量少的分类，努力使问题的解答过程简洁。 （3）分类讨论的步骤：

分类讨论经常与开放性的探究问题综合起来考察，无论是分类讨论还是探究问题，都需要扎实的基本功和严谨的数学思维。由于问题的解决方法也不止一种，所以更需要具有灵活的思维方式，找寻最简单快捷的解题途径。要用发展的眼光看待问题，不能以偏概全，全面透彻的观察问题，对于需要分类讨论的问题更要仔细阅读题干内容，看清限制条件，按照步骤一步步的探究，摆脱想当然的错误思想。 A.确定所需要分类的对象

B.遵循统一的标准，把问题中的一些条件作出不重复不遗漏的分类

C.逐类进行讨论（遇到更加复杂的问题，还需要进行二次甚至多次分类，同样需要逐级进行讨论）

D.对各级各类的讨论结果进行总结归纳，合并后得出问题的最终答案。二、数学教学中分类讨论思想的渗透：在数学的教学过程中，一直都存在用发展的眼光去看待数学的思想方法，不仅仅要求掌握问题的解决方法和其中蕴含的数学思想，还需要在后续的学习和解决问题时通过应用更加深刻的体会它的作用。它也是数学知识的概括与升华，要经过教师在教学中长期的，有意识的，有目的的渗透，讲解，并能使学生在后续的学习中继续实践，逐渐形成学生自己的知识。很显然，由于数学思想方法的渗透性与实践性，导致数学教学中并不能直接的向学生指出或者展示，只能通过教师在课前精心的设计相关教学内容，选取合适的教学方法，或者采取合作探究的模式，让学生在一种相对自然的环境里学习，探究。三、分类讨论在数学教学中的应用：1.在平时的数学教学过程中，分类讨论需在必要时刻渗透其中，因为需要真 第2页(共8页)正掌握分类讨论的精髓，不是短时间内就可以达到的。教师在教学时，应该将分类讨论的思想渐渐地融入进去，使学生可以慢慢的接受并内化，直至可以完全没有障碍的熟练地运用分类讨论的思想方法。实质上，任何情况下的分类讨论标准并不是单一存在的，所以接下来虽然我是从概念，图形等方面分别介绍分类讨论在数学教学中的应用，但是其中肯定会有穿插重叠的部分，需要清楚分类讨论对于各类数学应用的本质。同样，也是从这些方面，需要教师引导学生，帮助学生增强分类讨论的意识，尽可能的克服分类讨论中学生常犯的盲目性和主观性等错误。（1）概念、运算性质数学的学习最重要的即是对数学相关概念的掌握和有关运算性质的理解，其中还包括数学中常见到的命题、定理等。有些概念或者性质，人们在一开始定义时就已经采用了分类讨论。例如绝对值、函数的单调性、不等式两边同时乘一个正数或者负数、三角函数的定义域等概念,在不同的条件下对应着不同的结论。这就需要学生要非常熟练地掌握这些概念及性质，借助于概念的分类标准对问题进行分析，在平时的运算过程中也要时刻提醒自己需要着重注意的情况，以避免考虑不周，得出错误的答案。例3.1.1：设一个圆锥曲线T,它的两个焦点分别是1F、F2，如果曲线T上存在点P满足PF1:F1F2:PF2=5：4：3，则该曲线的离心率是多少？解析：根据题干信息，可将PF1、F1情况如下：F2、PF2分别设为5t、4t、3t，分类讨论①若该圆锥曲线为椭圆：则2aPF1PF2=8ta=4t,2c=4t,c=2t,所以得出该曲线的离心率为e=0.5②若该圆锥曲线为双曲线：则2aPF1PF2=2ta=t,2c=4t,c=2t,所以得出该曲线的离心率为e=2综上所述，该曲线的离心率为0.5或者2.小结：本题没有给出具体的圆锥曲线方程，所以存在两种情况需要讨论：椭圆或双曲线，由于抛物线不存在离心率这一概念，所以我们只考虑两种情况。很多时候，学生会想当然的将圆锥曲线按照一种情况计算，忽略另外一种。这是由于对圆锥曲线的概念掌握不牢固导致的，椭圆和双曲线同属于圆锥曲线，这需要教师在日常的数学教学中加以强调，防止学生犯类似错误。第3页(共8页)若例3.1.2：设集合Axx24x0，Bxx22(a)1xa21,0aR，AB=B,求a的值。解析：由题意可知，A中的元素为0，-4，因为AB=B，所以BA,分类讨论情况如下：①B属于空集，即B中无元素，则4(a)124(a2)10，解得a<-1。②B不属于空集，当B中只包含一个元素，则，a=-1，B中的元素为0，在集合A中，符合题意。当B中包含两个元素，则4(a)124(a2)10，且B中的两个元素为0，-4，解得a=1，符合题意。综上所述，a的值为a=1或a=-1或a<-1.小结：本题主要考察对集合的概念及集合的交并运算。首先根据集合A与集合B的关系，找到所有集合B中应当存在的元素的可能性，这也要求学生要非常熟悉集合的运算法则。此外，本题还考察了二次函数含参问题，也需要学生在分类讨论的基础上拥有较强的运算功底。 （2）图形

在解决有关图形的问题时，包括立体图形，经常需要将数形结合、迁移转化等思想与分类讨论结合在一起使用，有时也会受到图形本身性质和条件的约束，考虑时需要更加的全面。同时，对于动态图形在某一时刻，某一情境下的形态，还需要学生具有一定的空间想象能力和良好的作图功底，这些对于日后碰到需要分类讨论的图形问题，才能够迅速准确的找到分类的标准，从而大大提高了学生的解题效率。例3.2.1:已知一个三角形ABC,它的三边长分别为4、4、6，在三角形所在的平面内画一条直线，恰好将三角形ABC分成了两个三角形，若要使得其中的一个三角形是等腰三角形，那么这样的直线最多可以画多少条？ 解析：由于该直线将三角形划分成了两个三角形，所以该直线必经过三角形ABC的一个顶点。但如果经过的是B或C的话，则不能使得到的两个三角形中存在一个等腰三角形，所以该直线必经过A点。接下来需要使得到的三角形ABD或者三角形ACD为等腰三角形，分类讨论情况如下：

第4页(共8页)①以BD或CD为斜边，即使得AB=AD或者AC=AD，各可以得到一条线段②以AB或AC为斜边，即使得AD=BD或者AD=CD，各可以得到一条线段所以综上所述，这样的直线最多可画4条。小结：本题中运用了两次分类讨论，第一次根据原三角形ABC的特点得出直线必经过A点，第二次根据对形成三角形的斜边的讨论，得出最终结果。在分类过程中，要尽量避免少分类，对分类结果检查清楚，要非常全面的考虑所有可能的情况，关于图形的分类更要谨慎周密。 （3）参数

在高中数学中经常会遇到函数或者是不等式含参的问题，函数包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、分段函数或三角函数等。所给函数表达式中会出现用字母表示的常数，我们将其称之为参数。一般的函数问题，都需要我们把问题当中出现的参数求出来，然而根据题干要求，参数的求值问题有时也需要利用分类讨论的方法。并且，当题目中的参数有几何与意义时，还需要适当的采用数形结合思想，全面透彻的分析由于参数的变化而引起的其他变化情况。例3.3.1：已知不等式ax2x30的解集为[-3,1],求a的值。解析：根据a的正负及为0情况作以下分类：

①当a=0时，

不等式为2x-3>0，解得x>3/2.与题意不符，舍去。②当a>0时，对应的二次函数yax22x3开口向上，所以该不等式的解集应该在两根之外，与题意不符，舍去。

③当a<0时，对应的二次函数yax22x3开口向下，所以该不等式的解集应该在两根之间，符合题意，即该二次函数的两根根分别为-3和1，求得最后的结果a=1. 综上所述，a的值应为1. 小结：此题作为高中数学不等式常见题型，分析对应函数的开口方向，并将分类讨论思想与数形结合思想相结合，需要学生熟练掌握。在最开始接触这类题型时，应该按照步骤一步一步慢慢来，将情况划分清楚，并讲解清楚划分的标准， 第5页(共8页)由浅入深，克服学生怕麻烦的思想。这样，对于之后遇到的简单题的迭加问题，也能够思路清晰准确的找到突破口。例3.3.2：存在函数yx22x3，x[a3,]，求函数的最小值。 解析：题干中的二次函数的对称轴为x=1，根据对称轴与给定区间的相对位置关系，可以做以下分类：

①对称轴在所给区间的左侧，即a>1,此时该函数的最小值就在x=a处取得，最小值为a2a3②对称轴在所给区间中间，即a<1，

此时该函数的最小值就在对称轴x=1处取，最小值为-4综上所述，当a>1时，函数的最小值为a2a3；当a<1时，函数的最小值为-4.小结：此题是用来考察对二次函数的图像把握问题，通过对最小值在端点处或在对称轴处取得的分类讨论，比较各自的结果，找到正确的答案。对于这种在区间上求解最值的问题，在高中数学教学中也非常常见，要求学生在分类讨论时，做到全面而又有层次，将参数的取值情况进行精确的分类，任何一步出现的差错都有可能导致最后的结果千差万别。只要做到了有条理，清楚地分类，那么距离正确的结果也就不远了。 （4）数列

由于数列这一部分在数学的教学过程中占有比较重要的比重，虽然解决数列问题是有迹可循的，但还是容易忽略掉一些比较特殊的情况。比如在等比数列求和时，学生很容易忽略当q=1时的情况。诸如此类的情况还有很多，需要学生在熟练掌握数列相关概念和性质的同时，对某些容易忽视的情况也要进行相应的讨论。nP例3.4.1：已知数列的前n项和为Sn16nn2，求数列的前n项和。解析：数列为单调递减的等差数列，na=-2n+17.所以做以下分类：第6页(共8页)①当na>0时，n816nn2n8).nP=a1a2na=Sn②当na<0时，n>8na)nP=a1a2na=(a1a2a8)(a9=8S-(Sn8S)nn2(n8)=28S-Sn=n216n128综上所述，nP16n216n128(小结：这种类型的题目除了考察数列方面的有关知识外，还添加了绝对值数列这一类，增加了问题的难度。因此在求解数列的前n项和时，需使用分类讨论的方法，找出na刚好为0或者介于正负的项数的临界值。在数学教学的过程中，要努力克服学生看到这类题目的畏难情绪，找清楚问题解决的关键，确定分类讨论的标准，按照步骤将数列与绝对值数列的关系找到，从而推导出绝对值数列的前n项和。四、结束语分类讨论在数学教学中有十分重要和广泛的应用，同时，分类讨论作为一种数学思想，与数形结合、函数方程等思想结合，也会给解题带来极大的便利。本文所介绍的是在数学教学中比较常见的几类应用，我们可以针对常见题型熟悉分类讨论的操作，将分类讨论思想应用到日常教学中去。参考文献： [1]康晓林：分类讨论思想在高中数学教学中的应用方法分析[J].考试周刊,2017（103）：78-78

[2]黄胜亮：谈中学数学“分类与讨论”的教学[J].时代青年,2012（6）：226- 第7页(共