2020版高考数学（理）一轮复习通用版讲义第八章第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图

第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图1．多面体的结构特征2．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱❶矩形任一边所在的直线圆锥❷直角三角形任一直角边所在的直线圆台❸直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线圆柱：两个底面互相平行，有无数条母线，且长度相等，都与轴平行，过轴的截面是全等的矩形.圆锥：底面是圆面，有无数条母线，长度相等且交于一点，平行于底面的截面是与底面大小不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰三角形.圆台：上、下底面平行且不相等，母线的延长线交于一点，平行于底面的截面是与两底面大小都不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰梯形.3．空间几何体的三视图(1)几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法❹①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．4．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法❺的规则(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．三视图的长度特征：“长对正、宽相等、高平齐”，即正视图和俯视图长对正，侧视图和俯视图宽相等，正视图和侧视图高平齐．斜二测画法中的“三变”与“三不变”：“三变”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐标轴的夹角改变，,与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，,图形改变.))“三不变”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不改变，,与x，z轴平行的线段的长度不改变，,相对位置不改变.))

[熟记常用结论]1．特殊的四棱柱eq\x(四棱柱)eq\o(→,\s\up7(底面为平),\s\do5(行四边形))eq\x(平行六面体)eq\o(→,\s\up7(侧棱垂直),\s\do5(于底面))eq\x(直平行六面体)eq\o(→,\s\up7(底面为),\s\do5(矩形))eq\x(长方体)eq\o(→,\s\up7(底面边),\s\do5(长相等))eq\x(正四棱柱)eq\o(→,\s\up7(侧棱与底面),\s\do5(边长相等))eq\x(正方体)上述四棱柱有以下集合关系：{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}．2．球的截面的性质(1)球的截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝eq\r(R2－d2).3．常见几何体的三视图类型及其几何体的结构特征(1)三视图为三个三角形，一般对应三棱锥；(2)三视图为两个三角形，一个四边形，一般对应四棱锥；(3)三视图为两个三角形，一个圆，一般对应圆锥；(4)三视图为一个三角形，两个四边形，一般对应三棱柱；(5)三视图为两个四边形，一个圆，一般对应圆柱．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．()(4)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．()(5)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×二、选填题1．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()解析：选B俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.2.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()解析：选A由直观图的画法可知，落在y轴上的对角线的长度为2eq\r(2)，结合各选项可知选A.3.一个几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()解析：选B由几何体的直观图知，该几何体最上面的棱横放，且在中间的位置上，因此俯视图应排除A、C、D，经验证B符合题意，故选B.4.如图，长方体ABCD­A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是________，截去的几何体是________．答案：五棱柱三棱柱5.若一个三棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的高和底面边长分别为________，________.解析：由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为2eq\r(3)，故底面边长为4.答案：24考点一空间几何体的结构特征[基础自学过关][题组练透]1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A．圆柱 B．圆锥C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C截面是任意的，且都是圆面，则该几何体为球体．2．给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()C．2 D．3解析：选B①错误，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．故正确命题的个数是1.3．下列命题正确的是()A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形解析：选C如图所示，可排除A、B选项．对于D选项，只有截面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面为矩形或圆，否则截面为椭圆或椭圆的一部分．故选C.4．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形．答案：②③④[名师微点]辨别空间几何体的2种方法定义法紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定反例法通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可考点二空间几何体的三视图[全析考法过关][考法全析]考法(一)由几何体识别三视图[例1](2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()[解析]由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.[答案]Aeq\a\vs4\al([个性点拨])识别三视图的步骤(1)弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；(2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图；(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置．考法(二)由三视图求几何体的相关量[例2](2018·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4[解析]由三视图得到空间几何体的直观图如图所示，则PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.在△PCD中，PD＝2eq\r(2)，PC＝3，CD＝eq\r(5)，所以△PCD为锐角三角形．所以侧面中的直角三角形为△PAB，△PAD，△PBC，共3个．[答案]Ceq\a\vs4\al([变式发散])1．(变设问)在本例条件下，该四棱锥的所有棱中，最长棱的棱长为________．解析：由[例2]知，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，经计算可知，PB＝PD＝2eq\r(2)，PC＝3，CD＝eq\r(5)，故最长棱为PC，且PC＝3.答案：32．(变设问)在本例条件下，求该四棱锥的五个面中，最小面的面积为________．解析：易知面积最小的面为△PBC，且S△PBC＝eq\f(1,2)BC·PB＝eq\f(1,2)×1×2eq\r(2)＝eq\r(2)，故最小面的面积为eq\r(2).答案：eq\r(2)[个性点拨]1．由三视图确定几何体的3步骤2．三视图还原长方体口诀三视图，要还原，关键在于找顶点；长方体，三向切，三图相交顶点得；查视图，再检验，实线虚线细甄辨．考法(三)由几何体的部分视图确定剩余视图[例3](1)(2018·唐山五校联考)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()[解析]由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知应选A.[答案]A(2)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成的三棱锥C­ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为________．[解析]由三棱锥C­ABD的正视图、俯视图得三棱锥C­ABD的侧视图为直角边长是eq\f(\r(2),2)的等腰直角三角形，如图所示，所以三棱锥C­ABD的侧视图的面积为eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,4).[答案]eq\f(1,4)eq\a\vs4\al([个性点拨])由几何体的部分视图确定剩余的视图，应先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合题意．[过关训练]1．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是()解析：选B俯视图恰好是“图中四边形”外加四条曲线的投影线，故选B.2.一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为()解析：选D由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.考点三空间几何体的直观图[师生共研过关][典例精析](1)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四边形(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．[解析](1)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)，CD＝C′D′＝2，OA＝O′A′＝6.∴OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．(2)如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝eq\f(\r(2),2).∵四边形AECD为矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此可还原原图形如图②.在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴这块菜地的面积S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).[答案](1)C(2)2＋eq\f(\r(2),2)[解题技法]1．用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，在直观图中作出相应的点后，用平滑的曲线连接而画出．2．平面图形直观图与原图形面积间的关系对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S与直观图面积S′之间的关系S′＝eq\f(\r(2),4)S，能更快捷地进行相关问题的计算．[过关训练]1.如图是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么()A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AD，最短的是AC解析：选C由题中的直观图可知，A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，根据斜二测画法的规则可知，在原图形中AD∥y轴，BC∥x轴，又因为D′为B′C′的中点，所以△ABC为等腰三角形，且AD为底边BC上的高，则有AB＝AC＞AD成立．2．已知△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.eq\f(\r(3),4)a2 B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2 D.eq\f(\r(6),16)a2解析：选D法一：△ABC的实际图形和直观图如图①②所示，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.法二：由S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形的关系，得S直观图＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(6),16)a2.eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、题点全面练1．将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为()解析：选B根据题意，得点A在平面BCC1B1上的投影是点B，点D在平面BCC1B1上的投影是点C，棱AB1在平面BCC1B1上的投影是BB1，棱AD1在平面BCC1B1上的投影是BC1，棱B1D1在平面BCC1B1上的投影是B1C1，棱B1C是被挡住的棱，应画成虚线，作出该几何体的侧视图如图所示，故选B.2.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10 B．12C．14 D．16解析：选B由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为eq\f(2＋4×2,2)×2＝12.3．如图，一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为()解析：选D由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的正三棱柱．故选D.4.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2解析：选B先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图①所示．圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．∵ON＝eq\f(1,4)×16＝4，OM＝2，∴MN＝eq\r(OM2＋ON2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是()A．2 B.eq\f(9,2)C.eq\f(3,2) D．3解析：选D根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图所示，则体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1＋2,2)×2×x＝3，解得x＝3.6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是()C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分解析：选D根据几何体的三视图，可得侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.7.如图，△A′B′O′是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知A′B′∥y′轴，O′B′＝4，且△ABO的面积为16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为________．解析：因为A′B′∥y′轴，所以△ABO中，AB⊥OB.又因为△ABO的面积为16，所以eq\f(1,2)AB·OB＝16.因为OB＝O′B′＝4，所以AB＝8，所以A′B′＝4.因为A′C′⊥O′B′于C′，所以A′C′＝4sin45°＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)8．已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何体的形状给出下列命题：①矩形；②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③两个面都是等腰直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．解析：由三视图可知，该几何体是正四棱柱，作出其直观图为如图所示的四棱柱ABCD­A1B1C1D1，当选择的4个点是B1，B，C，C1时，可知①正确；当选择的4个点是B，A，B1，C时，可知②正确；易知③不正确．答案：①②9．一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为________cm.解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5(cm)．∴AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm)．答案：1310．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是________．解析：画出直观图可知，共需要6块．答案：6二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．(2018·开封一模)如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，球O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是()解析：选B由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C、D；若把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，由于两球不等，所以排除A，B正确．E，F，G分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中点，点M，N，Q，P分别在线段DF，AG，BE，C1B1上．以M，N，Q，P为顶点的三棱锥P­MNQ的俯视图不可能是()解析：选C当M与F重合，N与G重合，Q与E重合，P与B1重合时，三棱锥P­MNQ的俯视图为A；当M，N，Q，P是所在线段的中点时，三棱锥P­MNQ的俯视图为B；当M，N，Q，P位于所在线段的非端点位置时，存在三棱锥P­MNQ，使其俯视图为D.3．(2019·漳州调研)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为()A.eq\r(5)eq\r(2)C．3 D．2eq\r(3)解析：选C在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为AD的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1­MB1C所示．故通过计算可得D1C＝D1B1＝B1C＝2eq\r(2)，D1M＝MC＝eq\r(5)，MB1＝3，故最长棱的长度为3.4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上(点M异于B，C两点)，点N为线段CC1的中点，若平面AMN截正方体ABCD­A1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))解析：选B由题意，正