文档：谈谈常见组合问题的求解策略

谈谈常见组合问题的求解策略对于组合问题一个首当其冲的问题就是要区别好与排列的不同，组合与排列问题的共同点都要“从n个不同的元素中取出m个不同的元素”，不同点是组合“不管顺序并成一组”，而排列“按照一定顺序排成一列”，因此从这个意义上讲，如果把排列分成取元素和排元素两大步，那么组合就是排列的第一步，在分清了排列和组合问题之后。下面对常见的几类组合问题求借策略作简单的探讨：一、抽样产检问题：例1、⑴假设在200件产品中，有3件次品，现在从抽取5件，其中有2件次品的选法有多少种？⑵某小组有10名学生，其中有3名女生，现在选举2名代表，至少有1名女生的选法有多少种？⑶有5名医生和4名护士，现在从中选3名，要求至少含有1名医生1名护士，有多少种不同的选法？解析：⑴直接分步从次品中选2个，从正品中选3个即可，共种。⑵先分类，再分步，第一类：1女1男，有种；第二类：2女0男，有种，共有种。⑶先分类，再分步，第一类：1医生2名护士，有种；第二类：2名医生1名护士，有种，共有种。点评：对于从一定结构的总体中取含有一定要求的部分都属于抽样问题，起处理方式是先分类后分步，对于结构中不止一种情况的绝对不能直接分步完成，如⑶。二、兼职问题：例2、车间中有11名工人，其中5名男士是钳工，4名是女工是车工，另外两名师傅既可以当钳工又可以当车工，现在从中选4名钳工和4名车工，有多少中不同的选派方法？解析：本题中，兼职人员是2名师傅，按照师傅参加钳工的人数来分类，第一类，设有师傅参加钳工，那有种不同的选法；第二类，一名师傅参加钳工，那有种不同的选派方法；第三类，两名师傅参加钳工，那有种不同的选派方法，因此共有种不同的选派方法。点评：对于兼职问题，在弄清了兼职人员的人数后，只要按照兼职人员一定参加其中某项活动的人数来分类，剩余兼职人员在另一种活动中待选，这样易于做到不重不漏。三、几何问题：例3、有12个点，其中5个点共面，此外再也没有4点共面的情况下，求这12个点可以确定多少个不同的平面？解析：该题可以分为四类：第一类，5个共面点确定1个平面；第二类，5个共面点中选2个其余7个点选1个可以确定个平面；第三类，5个共面点中任选1个其余7个点中选2个可确定个平面；第四类，7个嗲中任何3个点确定个平面，总共确定平面的个数为个平面。点评：对于几何问题，要先分清几何元素，然后再把参与的几何元素根据结构进行分类，按照其中某类几何元素参与的个数进行分类，另外某些时候还可以使用对立面来分析。四、挡板问题：例4、⑴.高二年级要从3个班级抽取10人参加数学竞赛，每班至少1人，一共有多少种不同的安排方法。⑵.10个相同的小球放到3个不同的盒子里，每个盒子不空，一共有多少种不同的放法。解析：两例的实质是一样的，属于同一模型——对象相同，这类问题处理方式中简单易操作的挡板法，10个相同的小球有9个空挡（确保盒子不空），从9个档中选2个放入两块挡板，将小球分成3部分（每一种放挡板的放法对应着10个小球分成3部分的分法），每部分一一对应着一个不同的小盒，因此一共有种不同的放法，而把10个竞赛名额分配给3个班，每班至少1个名额的方法与此一模一样。点评：研究的对象是不加区别的元素时，一般可考虑挡板法，这是一个基本的模型。五、分组分配问题：例5、有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个同学：⑴分成2本，2本，2本的三组；⑵甲、乙、丙三人每人两本；⑶分成4本，1本，1本的三组；⑷甲、乙、丙三人中1人4本，1人1本，1人1本；⑸甲4本、乙1本、丙1本；⑹分成3本、2本、1本的三组；⑺甲、乙、丙中1人3本，1人2本，1人1本；⑻甲3本、乙2本、丙1本。解析：对于分组分配问题，历来变化多，问题相似性强，极易混淆的问题，针对这一点，可以把所有的问题放到一起，总结的同时又是比较性的进行公式化的规定，从而以后碰到类似情况，就向其中对应情况套，达到不混淆，同时还简单快捷。⑴称完全等量分组，公式：（分步完成后除以完全等量的组数的全排列）。⑵称完全等量分配，公式（先完全等量分组，然后再全排列）。⑶称部分等量分组，公式（分步完成后除以部分等量组数的全排列）。⑷称部分等量分配，公式（先部分等量分组后，再全排列）。⑸称部分等量定向分配，公式（部分等量分组后，在乘以部分等量组数的全排列）。⑹称完全不等量分组，公式（按分步计数原理完成）。⑺称完全不等量自由分配，公式（先完全不等量分组后，在乘以全部足数的全排列）。⑻称完全不等量定向分配，公式（按分步计数原理完成，等同于完全不等量分组）。点评：本部分从内容到方法上都是比较独