文档：排列问题的常见方法及题型归类分析

排列问题的常见方法及题型归类分析排列问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，备考的有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用.同时,排列问题也是高中数学的重要知识之一,且排列的概念具有广泛的实际意义.由于解这类问题时方法灵活,切入点多，且抽象性强，在做题过程中发生重复或遗漏现象不易被发现，所以成为学习的难点之一.解决排列问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关.复杂的排列问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。1．相邻问题并组法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．【例1】A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有[]A．60种B．48种C．36种D．24种分析把A、B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人全排列,共有种,故选D.2．相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．【例2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是[]A．1440B．3600C．4820D分析除甲、乙外,其余5个的排列数为种,再用甲、乙去插6个空位有种不同的排法种数是种,故选B.3．定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．【例3】A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有[]A．24种B．60种C．90种D．120种分析B在A右边与B在A左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即种,故选B.4．特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素．【例4】.6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有种站法，故站法共有：（种）解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有种，故站法共有：（种）5.注意合理分类元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列数。再用分类计数原理求出总数。【例5】.求用0，1，2，3，4，5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。解：比2015大的四位数可分成以下三类：第一类：3×××，4×××，5×××，共有：（个）；第二类：21××，23××，24××，25××，共有：（个）；第三类：203×，204×，205×，共有：（个）∴比2015大的四位数共有237个。6．多元素问题分类法元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计．【例6】由数字0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有[]A．210个B．300个C．464个D．600个分析按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个、个、个、个、个,合并总计得300个,故选B.7．交叉问题集合法某些排列问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)【例7】从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？分析设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：(种)8．定序问题用除法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有种排列方法.【例8】.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？解：不考虑限制条件，组成的六位数有种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有：（个）.9．多排问题单排法把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理．【例9】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是[]A．36B．120C．720D．分析前后两排可看成一排的两段，因此本题可视为6个不同元素排成一排,共种,故选C.【例10】8个不同的元素排成前后两排，每排4个