2023届上海市宝山区高三年级上册学期一模数学试题【含答案】

2023届上海市宝山区高三上学期一模数学试题一、填空题1．集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B=_____．【答案】{2}【分析】直接利用交集的定义求解．【详解】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∩B={1，2}∩{2，3}={2}．故答案为：{2}．2．函数的定义域是______.【答案】【分析】根据已知，可得，解出不等式即可得到结果.【详解】要使函数有意义，则应满足，即该不等式等价于，解得.所以，函数的定义域是.故答案为：.3．设复数（其中i为虚数单位），则______.【答案】【分析】化简，根据复数模的运算即可求得结果.【详解】因为，所以.故答案为：.4．当时，的最小值为______．【答案】5【分析】将所求代数式变形为，利用基本不等式即可求解.【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.5．若函数y=ax(a＞0，a≠1)在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为12，则实数a=_________【答案】3【分析】由指数函数是单调函数，代入端点计算最值之和，即可求解.【详解】函数y=ax(a＞0，a≠1)为单调函数，所以在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为.解得或-4（舍）.答案为：3.6．两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，则他们同时命中的概率是______.【答案】0.3【分析】根据独立事件概率的乘法公式，即可求得结果.【详解】记“第一个篮球运动员罚球一次，命中”为事件，“第二个篮球运动员罚球一次，命中”为事件，则，，事件和相互独立.则“两人各投一次，则他们同时命中”可用事件来表示，.故答案为：0.3.7．将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为_________.【答案】##【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可.【详解】解：设圆锥的底面半径为，则，∴.∴圆锥的高，∴圆锥的体积.故答案为：.8．已知平面向量、满足，，则在方向上的数量投影的最小值是______.【答案】2【分析】先求出的范围，根据即可求得结果.【详解】因为在方向上的数量投影为，所以当最小时，数量投影取得最小值.设，则.因为，则当时，有最小值6.所以，在方向上的数量投影的最小值是.故答案为：2.9．从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种.（结果用数值表示）【答案】96【分析】若甲不参与测温，可先在其他４人中先选取一人进行测温工作，再从４人中选取３人参与其他工作.【详解】从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有种.故答案为：9610．双曲线C的左、右焦点分别为、，点A在y轴上.双曲线C与线段交于点P，与线段交于点Q，直线平行于双曲线C的渐近线，且，则双曲线C的离心率为______.【答案】【分析】根据双曲线的对称性，可得与轴平行.双曲线的渐近线方程为，可得出.根据，可得，代入相关数值，可得，进而得出离心率.【详解】如图，交轴于.根据双曲线的对称性，知与轴平行，且.设，则，，所以.双曲线渐近线方程为.，由已知直线斜率为，则直线的方程为，则，.因为，所以有，即，整理可得，，则，则，所以有，所以.故答案为：.11．某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面面积达到最大.【答案】##【分析】遮阴影面面积达到最大即是点到的距离最大，根据正弦定理表示出点到的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系．【详解】如图，过点C作交AB于D，连接，由题可知因此就是遮阳篷ABC与地面所成的角，因为，所以求遮阴影面面积最大，即是求最大，其中已知，设，，根据正弦定理当时遮阴影面面积最大，此时故答案为：12．对于正整数n，设是关于x的方程的实数根，记，其中表示不超过x的最大整数，则______.【答案】2021【分析】根据导数可得为单调递增函数，根据零点存在性定理找到的取值范围，代入即可得出通项公式，求出答案.【详解】设，则，当时，因此为单调递增函数，又因当时，且，所以当时，方程有唯一的实数根，且，所以，，因此故答案为：2021二、单选题13．已知a，b都是自然数，则“是偶数”是“a，b都是偶数”的（

）条件A．充分而不必要 B．必要而不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】举出特例，即可说明充分条件不成立，必要条件显然成立，即可得到答案.【详解】令，，则是偶数，而都是奇数；若a，b都是偶数，显然是偶数.所以，“是偶数”是“a，b都是偶数”的必要而不充分条件.故选：B.14．某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（

）人.A．16 B．18 C．20 D．24【答案】A【分析】由已知可求得抽样比为，再求出高三的学生数，即可求出结果.【详解】设高一学生数为，则高二学生数为，高三学生数为.所以，该高中共有学生数为，解得.用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，抽样比为，所以，高三年级应该抽取人.故选：A.15．设，且，则（

）A．－1 B． C．1 D．【答案】C【分析】根据题意，求出，则可以得到，，进而可得的值.【详解】，故，得，得到，，所以，，得，，，，则故选：C16．已知O为坐标原点，点在抛物线C：上，过点的直线交抛物线C于P、Q两点：①抛物线C的准线为；②直线AB与抛物线C相切；③；④，以上结论中正确的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】根据题意求出抛物线C方程，再假设出直线AB的直线方程，联立方程和利用韦达定理即可判断得出答案．【详解】将点代入抛物线方程，可得，故抛物线C的准线为，①错误；抛物线C方程为，令，，抛物线在A点处切线斜率与直线AB斜率相同，因此直线AB与抛物线C相切，②正确；由题可知，直线PQ斜率存在，所以设直线PQ的方程为，交点，，联立方程，整理可得：，且，因为，所以，③正确；因为，所以，所以，④错误故选：B．三、解答题17．已知函数，.(1)求函数的单调增区间；(2)在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，当，，且三角形ABC的面积为时，求a.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知可得，根据正弦函数的单调性，即可求出结果；（2）先解出，根据面积公式可求得，根据余弦定理，即可求解.【详解】（1）由题意可得，.由，可得，，.所以，函数的单调增区间为.（2）由（1）知，.因为，所以，，则，，又是锐角，所以，，解得，则.又，，则，所以，.根据余弦定理可得，，所以.18．已知数列满足，.(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)写出的具体展开式，并求其值.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）利用构造法，得到，可证明是等比数列；（2）根据等比数列的通项公式，求出，进而可求的通项公式；（3）直接写出的具体展开式，根据，利用等比数列的前项和公式，直接计算可得答案.【详解】（1），等式两边同时加上2，得，又，则为首项是3，公比的等比数列（2）由（1）得，为首项是3，公比的等比数列，，故.（3）19．如图，棱长为2的正方体中，M、N、P分别是、、的中点.(1)证明：M、N、、B四点共面；(2)求异面直线与MN所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）(3)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见详解；(2)；(3).【分析】（1）由已知可证明和，即可证明，进而得出结果；（2），所以即等于异面直线与MN所成角，在中，求出各边长，用余弦定理即可求出；（3）根据已知可得，四边形为梯形，，则，根据等体积法可知，求出，即可解出.【详解】（1）证明：如图1，连结、、.由已知可得，，，所以四边形为平行四边形，则.又M、N分别是、的中点，所以，且，所以，且.所以M、N、、B四点共面.（2）如图2，连结、、.因为平面，平面，所以.因为，是的中点，所以.又，所以.同理.在中，.又，在中，有，，，由余弦定理可得，.又，所以异面直线与所成角的大小即等于直线与所成角的大小，即等于.（3）如图3，，因为，且，且M、N、、B四点共面，所以四边形为梯形，设梯形高为，则，，所以.设到平面即到平面的距离为，则，，则，且.因为平面，平面，，所以到平面的距离等于线段到平面的距离.又，所以，所以，.20．已知椭圆C：，，，，这四点中恰有三点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)点E是椭圆C上的一个动点，求面积的最大值；(3)过的直线l交椭圆C于A、B两点，设直线l的斜率，在x轴上是否存在一点，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）观察可知，都在椭圆上，即满足椭圆方程，若在椭圆上，代入方程，联立解得，舍去；因此三点在椭圆上，即可解出椭圆的方程；（2）要使面积最大，则应有点E到直线的距离最大.当过点的直线与平行，且与椭圆相切时，取得最大或最小值，联立方程即可求得；（3）写出直线的方程为，与椭圆方程联立，可得，根据韦达定理求出的中点坐标以及线段的垂直平分线的方程，代入，即可求得的值.根据基本不等式，可求出实数m的取值范围.【详解】（1）因为，关于轴对称，根据题意以及椭圆的对称性可知，两点都在椭圆上，即有成立.若在椭圆上，则有.联立可得，，不合题意，舍去.所以，在椭圆上，即有，所以，代入，可得.所以，椭圆C的方程为.（2）要使面积最大，则应有点E到直线的距离最大.由，，可得直线方程为.过点作直线，使得，则到直线的距离即等于直线到直线的距离.显然，当直线与椭圆相切时，距离为最大或最小.则设直线方程为，联立直线与椭圆的方程可得，.因为，直线与椭圆相切，则，解得，.则当时，此时直线方程为，与直线距离最大，此时.又，所以面积的最大值为.（3）设，，假设在x轴上存在一点，使得、为邻边的平行四边形为菱形.因为直线过点，则直线的方程为，联立直线的方程与椭圆的方程可得，，恒成立，且，，，，所以，则的中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为，显然该直线过点.令，则，即.因为，所以，当且仅当时，即时，等号成立.所以，，所以，则，所以.即实数m的取值范围为.21．已知函数，.(1)判断函数的奇偶性；(2)若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围；(3)记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)时，为偶函数；时，为非奇非偶函数(2)；(3).【分析】（1）根据二次函数的性质以及奇偶函数的定义，即可判断；（2）根据极值，求出，得到，利用导数的性质，判断有3个不同的实根时，的取值范围；（3）根据的单调性，问题转化为，整理得，，分别判断函数和函数在上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出的取值范围.【详解】（1），因为的对称轴为，故当时，的对称轴为轴，此时为偶函数；时，为非奇非偶函数.（2）在处有极值，因为，则，故，得；，此时，，